• 5

§ 4. Модели

4.1. Модели евклидовой плоскости. Предположим, что некото­рая геометрическая система (скажем, геометрия Евклида) задана с помощью аксиоматики (т. е. системы аксиом). Объекты, удовлетво­ряющие аксиомам такой геометрической системы, допускают различ­ные конкретные истолкования; эти истолкования называются интер­претациями или моделями рассматриваемой геометрической системы.

Приведем некоторые простые примеры интерпретаций. Предполо­жим, что мы уже имеем некоторую интерпретацию геометрии Евклида, например понимаем под геометрией Евклида то, что мы узнаем о ней

22        аксиомы и основные понятия геометрии

в школе. С помощью этой интерпретации мы сейчас построим другие интерпретации евклидовой геометрии.

Пусть г — некоторый отрезок. Условимся называть «точкой» вся­кий шар радиуса г, «прямой» — всякий бесконечный круговой цилиндр радиуса г и «плоскостью» — всякую полосу толщины 2г, т. е. часть пространства, заключенную между двумя параллельными плоскостями, отстоящими друг от друга на расстоянии 2г. Будем, далее, говорить, что «точка» лежит на «прямой», если соответствующий шар целиком заключается в цилиндре. Расстоянием между двумя «точками» будем

называть расстояние между цент­рами соответствующих шаров. Очевидным образом можно опре­делить теперь «углы», «отрезки», '.треугольники», и т. д. Легко понять, что мы получаем таким образом новую интерпретацию евклидовой геометрии: все акси­омы (а значит, и теоремы) оста­ются в этой интерпретации спра­ведливыми. Например, через любые две различные «точки» можно провести «прямую» и при­том только одну (рис. 2).

Другую интерпретацию евкли­довой геометрии') мы получим с Рис. 2. помощью так называемой стерео­

графической проекции. Мы огра­ничимся случаем геометрии на плоскости. Пусть П — некоторая плоскость и 5—не пересекающая ее сфера. Обозначим через N наиболее удаленную от плоскости П точку сферы S. Если теперь А—произвольная точка плоскости П, то мы обозначим через А' ту точку сферы 5, в которой отрезок AN пересекает сферу 5 (рис. 3). Переход от точек А, В, плоскости П к соответствующим точкам А', В', ... сферы S и называется стереографической проекцией. При стереографической проекции плоскость П переходит в множество Г!', которое получается, если из сферы S удалить («выколоть») точку N.

Если теперь /— некоторая прямая на плоскости IL то при стерео­графической проекции она переходит в проходящую через точку N окружность /' (из которой удалена точка N). Действительно, если точка А пробегает прямую /, то все отрезки AN лежат в одной плоскости (рис. 4), которая в пересечении со сферой S и определяет окружность /'.

 

') Еще две модели, связанные с начертательной геометрией, читатель найдет в статье «Методы изображений» (см. стр. 228—290 этой книги ЭЭМ).

молкли

23

Будем теперь называть множество ГГ «.плоскостью», каждую его гонку (т. е. отличную от N точку сферы 5) — «.точкой», а каждую проходящую через tohkv N окружность на сфере 5 (с удаленной

 

точкой iV) — «прямой линией». «Расстоянием» между «точками» А и В будем называть обычное расстояние между соответствующими им

 

точками А и В на плоскости II. Иначе говоря, все геометрические объекты плоскости П мы перенесем с помощью стереографической проекции на «плоскость» ГГ. Ясно, что при этом сохранятся все

аксиомы и теоремы евклидовой геометрии, т. е. «плоскость» II' представляет собой модель (или интерпретацию) евклидовой плоскости. Можно доказать, что в этой интерпретации «угол» между двумя пересекающимися «прямыми» /' и /' равен обычному углу между ка­сательными, проведенными к окружностям Ли/» в точке их пересече­ния (рис. 5). Далее, две «прямые» в том и только в том случае па­раллельны, если изображающие их окружности не имеют общих точек, отличных от N, т. е. касаются друг друга в точке N. Из этого наглядно ясно, что на нашей модели выполняется V постулат Евклида.

 

Из построенной модели легко получить еще одну модель евклидовой плоскости. Именно, обозначим через Р точку сферы S (рис. 6), ближайшую к плоскости П. Далее, для любой «точки» А' «плоскости» ГГ мы обозна­чим через А" точку пересечения плоскости П с прямой РА'. Эта точка пересечения однозначно определяется, если точка А' отлична от Р. Если же точка А' совпадает с Р, то мы будем считать, что соответствующая точка А" «находится в бесконечность», считая таким образом, что к пло- кости П присоединена одна «бесконечно удаленная» точка ').

Обозначим через О точку пересечения прямой NP с плоскостью Л. Обозначим, далее, через П" плоскость П, из которой удалена точка О, но присоединена «бесконечно удаленная» точка. Далее, когда «точка» А' про­бегает на «плоскости» ГГ некоторую «прямую» /', соответствующая точка А" описывает на плоскости П некоторую проходящую через точку О ск- ружность (рис. 6), из которой удалена точка О. Если «прямая» Г прохо­дит через точку Р (рис. 7), то окружность, описываемая точкой А", пре-

') Получающийся образ (плоскость с присоединенной к ьей «беско­нечно удаленной» точкой) называется расширенной или круговой плоскостью; она рассматривается в статье «Геометрические преобразования» (см. стр. 57 — 59 этой книги ЭЭМ) и в статье «Окружности» (стр. 448 — 517).

MO'lHJlll

2Г>

вращается r прямую линию, проходящую через точку О (рис. 7; нз этой прямой хдалена точка О. но присоединена «бесконечно удаленная» точка).

Из сказанного ясно что мы получаем следующ)ю интерпретацию евкли­дово» плоскости. Будем называть «плоскостью» множество ГГ, все его точки

 

(включая «бесконечно удаленную») — «точками», а «прямыми» будем назы иать все окружности, проходящие через точку О (из которых удалена точ­ка О, а также все прямые, проходящие через О (из этих прямых удаляется

 

точка О, но присоединяется «бесконечно удаленная» точка). На рис. 8 токазаны «прямые» в этой модели. Можно доказать, что в этой модели «угол» между двумя пересекающимися «прямыми» равен обычному углу между касательными, проведенными к окружностям в точке их пересече­ния (рис. 9). Далее, «прямые» в том и только в том случае «параллельны»,

если изображающие их окружности касаются в точке О (рис. 10). Из этого наглядно ясно, что на рассматриваемой модели выполняется V постулат. Справедливы на этой модели также и другие аксиомы

 

 

 

 

 

и теоремы евклидовой планиметрии. Например, сумма «углов» любого «тре­угольника» (рис. 11) равна 2d (что можно доказать и непосредственно).

Читатель, знакомый с преобразованием, называемым инверсией *), может легко понять, как связаны между собой модель П" и плоскость П. Инверсия с центром в точке О переводит прямые линии плоскости П в окружности, проходящие через точку О, т. е. в «пря­мые на модели П". Этим и устанавли-   v I вается связь между указанными двумя \ I моделями. Y

Рис. 10.

Рис. 11.

Еще две модели евклидовой плоскости можно получить с использова­нием комплексных чисел.

Очевидно, что все аксиомы и теоремы евклидовой геометрии на пло­скости выполняются, если считать «точками» комплексные числа («точки

') См. в этой книге ЭЭМ статьи «Геометрические преобразования», стр. 56—59, 74—75, и «Окружности», стр. 468 —474.

плоскости комплексного переменного»), «прямыми» — множества комплекс­ных чисел вида z = z0-i-lt, где z0 и /—фиксированные комплексные числа, a t—действительный параметр (/^0), а «расстояние» между «точками», изображаемыми комплексными числами г и w, положить равным \z—w|. Нетрудно проверить также, что все аксиомы и теоремы планиметрии Евклида выполняются на «плоскости комплексного переменного», расширенной введе­нием «комплексного числа» со (бесконечность), если считать «точками» все комплексные числа, кроме числа 0 (но включая «число» оо), а «прямыми» — все окружности и прямые плоскости комплексного переменного, проходя­щие через точку О. Например, через всякие две «точки» Л и В проходит единственная «прямая»: если А и В— обычные точки, то эта «прямая» — окружность, проходящая через точки А, В и О, а если точка В—беско­нечно удаленная, то эта «прямая» — обычная прямая, соединяющая точки О и А. «Расстояние» между «точками», изображаемыми комплексными чи­слами г и W, в этом случае равно j —Очевидно, чт0 эта модель (по

существу совпадающая с описанной выше моделью П") получается из обычной плоскости комплексного переменного, если заменить каждое

1

комплексное число г числом —.

2

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я