• 5

3.2. Аксиоматический метод в математике

Если концепция Декарта привела к переходу от математики постоянных величин к математике переменных величин, то открытие Лобачевского привело к переходу от математики постоянных отношений (например, взаимо­отношений между точками, прямыми и плоскостями в геометрии Евклида) к математике переменных отношений; например, эти отно­шения могут быть заменены взаимоотношениями между точками, прямыми и плоскостями другой геометрии — геометрии Лобачевского. За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии. Затем аналогичное изменение привычных отношений стало производиться и в других математических дисциплинах; например, наряду с обычной алгеброй появилось много новых алгебр. Возник целый ряд совершенно новых математических систем, не имеющих аналогов в классической математике, причем некоторые из этих систем были использованы в качестве математического аппарата раз­личных областей' современной физики.

К этим крупнейшим математическим открытиям ученые пришли, распространяя критику, которой Лобачевский, Бойяи и Гаусс под­вергли одну из аксиом Евклида, V постулат, на всю систему аксиом

') Впоследствии, уже в XX веке, вопрос о геометрических свойствах реального мира привел к появлению теории относительности Эйн­штейна, коренным образом ломающей привычные геометрические пред­ставления, о»

евклидовой геометрии, i затем, переноси метод научного изло­жения с помощью аксиом на другие математические дисциплины. В результате сложился тот аксиоматический метод в мате­матике, который ныне является подлинной основой как геометрии, так и других разделов современной математики.

Для того чтобы понять сущность аксиоматического метода, обра­тимся снова к геометрии. До открытия Лобачевского, когда было распространено мнение о том, что геометрия Евклида — единственно мыслимая геометрия, считалось, что эта геометрия описывает реаль­ное, физическое пространство точно. Поэтому можно было пы­таться определять основные геометрические понятия, указывая реаль­ные прообразы этих понятий. Именно так и поступал Евклид и, по-видимому, его предшественники, начиная с Пифагора и Демокрита. Правда, мы видели, что представления о точках, линиях, поверхностях и их взаимоотношениях были совершенно различными у разных уче­ных, и даже в одно и то же определение «точка — то, что не имеет частей», разные ученые вкладывали различный смысл; мы видели также, что система определений и аксиом Евклида, воспроизводив­шая традиционные образцы, не отражала представлений самого Евк­лида и не охватывала важнейших понятий, которыми он пользовался.

Но после появления геометрии Лобачевского стало ясно, что путь, которым шел Евклид в своих определениях основных понятий, и принципиально невозможен. Если мыслимых геометрий много, то в каждой геометрии должны быть свои основные понятия и поэтому нельзя дать единые общие определения основных понятий. Иначе говоря, определения основных понятий должны зависеть от аксиом геометрической системы. Определения основных понятий той или иной геометрической системы должны относиться только к данной гео­метрической системе и не должны претендовать на определение основных понятий физического пространства, которое только с раз­личной степенью точности отражается различными схемами геометри­ческих пространств.

Так как единое определение основных понятий для всевозможных геометрий дать невозможно, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксио­мам этой геометрии. Только такое определение основных поня тий геомет­рии соответствует абстрактному характеру этих понятий. В этом слу­чае говорят, что геометрическая система определяется сис темой аксиом.

Таким образом, при аксиоматическом построении некоторой гео­метрической системы (или вообще при аксиоматическом построении некоторой математической теории) мы исходим из некоторой системы аксиом, или, как говорят, аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий рассматриваемой геометрической системы, и мы можем представлять себе основные понятия в виде объектов iiooin природы, обладающих указанными в аксиомах свойствами.

модели

21

Относительно самих згих основных понятий (вроде геометрических понятий «точка», '.прямая линия» и др.) можно сказать, что они косвенно определяю гея аксиомами. Это — пример дескриптив­ного определения математического объекта, т. е. определения объекта описанием его свойств. Никакие другие определения этих основных понятий геометрической системы невозможны. Из аксиом мы выводим первые теоремы, из аксиом и уже доказанных теорем выводим все новые теоремы, которые и составляют здание рассматриваемой гео­метрической системы. Следовательно, аксиомы — .это первоначаль­ные предложения об основных понятиях геометрии, которые принимаются в данной геометрической системе без доказатель­ства и на основе которых доказываются все теоремы рассма­триваемой геометрической системы Такую же роль шрают акси­омы и в любой другой математической теории.

Евклид и его предшественники примерно гак и понимали роль аксиом. Поскольку доказательство всякой теоремы геометрии пред­ставляет собой вывод ее из некоторых тругих (как правило, более простых) предложений, в результате многовекового развития геомет­рии выкристаллизовались первоначальные предложения, на основании которых доказывались остальные георемы. Эти первоначальные пред­ложения («основные понятия» н '(постулаты» у Евклида) и были приняты за аксиомы. Из сказанного ясно, что аксиомы геометрии имеют о п ы гное происхождение, т. е. отражают некоторые простые свойства реального пространства Из сказанного ясно также, что в процессе исторического развития геометрии за аксиомы были при­няты сравнительно простые, наглядно ясные предложения. Однако не следует считать, что аксиома—это простая истина, не требующая доказательства в силу своей очевидности. «Очевидность»—это по­нятие, чуждое аксиоматическому методу; простота же аксиом—это результат исторического развития науки и вопрос удобства. К тому же некоторые теоремы могут показаться «проще» некоторых аксиом. Например, V постулат Евклида, несомненно «сложнее» для понимания, чем некоторые перные теоремы геометрии.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я