• 5

2.2. Построения с помощью одного циркуля (построения Мора—Маскерони).

 Укажем теперь некоторые результаты о разре­шимости задач на построение при ином выборе набора инстру­ментов

Здесь следует прежде всего отметить, что набор, состоящий из циркуля и линейки, эквивалентен в некотором смысле «набору», состоящему из одного только циркуля: всякая задача на построе-

') На практике это построение выполняется с использованием ли и £ й к и и угольника.

ние, разрешимая с помощью циркуля и линейки, разрешима также с помощью одного циркуля. Однако использование линейки позво­ляет фактически провести прямолинейные отрезки, содержащиеся в искомой фигуре (если задача требует нахождения этих отрезков), в то время как построения одним циркулем определяют лишь концы таких отрезков. Следовательно, включение линейки по сути дела не расширяет числа задач, которые могут быть решены с помощью одного циркуля. Это положение было впервые высказано в книге датского математика Георга Мора «Датский Евклид», 1672 г., а затем в работе итальянского инженера Лоренцо Маскерони «Геомет­рия циркуля», 1797 г. Иное доказательство этого же утверждения было дано в 1890 г. А. Адлером.

 

Для доказательства теоремы Мора — Маскерони достаточно убедиться, что с помощью одного циркуля можно определить точку пересечения двух прямых (каждая из которых за­дается двумя своими точками), а также точку пересечения заданных прямой и окружности Мы воспользуемся

            *>Л

Рис. 13.

Рис. i4.

с этой целью преобразованием инверсии (см стр. 56 этой книги ЭЭМ), изложив доказательство теоремы Мора—Маскерони в виде решения сле­дующих шести задач

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я