A.С КОНДРАТЬЕВ B.П. РОМАНОВ - Задачи по статистической физике

Просмотров: 1580

• АННОТАЦИЯ
• ПРЕДИСЛОВИЕ
• СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
• 1. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА. 1.1- Термодинамика простых систем
• 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
• ЗАДАЧИ. 1. Вычислить значение выражения
• 2. Выяснить, как меняется энтропия однородной системы при ее квазистатическом расширении при постоянном давлении.
• 3. Найти разность С - Су теплоемкостей при постоянном давлении и при постоянном объеме для системы с неизменным числом частиц.
• 4. Выяснить, у каких систем теплоемкость при постоянном объеме Су не зависит от объема системы.
• 5. Выяснить, у каких систем теп"оемкость при постоянном давлении не зависит от давления.
• 6. Найти уравнение состояния системы.
• 7. Доказать тождество
• 8. Доказать тождество
• 9. Используя уравнение неразрывности gf + div(pv) = 0 .      (1 36) и уравнение движения идеальной жидкости p[g7 + (W)v] = -Vp,     (1.37) выразить в линейном по возмущениям приближении скорость звука в такой системе через изотермический модуль всестороннего сжатия Кт - р(др/др)т .
• 10. Связать изменение температуры при изменении плотности жидкости в звуковой волне со скоростью распространения звука.
• 11. Термодинамическая система расширяется таким образом, что ее энергия U остается постоянной. Как изменяется при этом температура системы? Будет ли такой процесс обратимым?
• 12. Для единицы объема диэлектрика с постоянной плотно стью найти разность - cD между теплоемкостями однородного изотропного диэлектрика при постоянной напряженности элект рического поля Е и индукции D.
• 13. Для единицы объема магнетика с постоянной плотностью найти разность сц~см межДУ теплоемкости ми однородного изотропного магнетика при постоянной напряженности магнитно­го поля И и магнитного момента М.
• 14. Найти выражение для плотности внутренней энергии и однородного изотропного диэлектрика.
• 15. В теории молекулярного рассеяния света фигурируют термодинамические производные от диэлектрической проницаемо­сти e(w) на оптической частоте и> по энтропии и давлению
• 16. Изменение внутренней энергии обратимого гальваниче­ского элемента в результате прохождения через него заряда е при изотермическом процессе дается выражением
• 17. Конденсатор, заполненный диэлектриком с проницае­мостью е, подсоединен к источнику питания с постоянной ЭДС Как изменится теплоемкость единицы объема диэлектрика после отсоединения конденсатора от источника питания? Выразить начальную и конечную теплоемкости через диэлектрическую проницаемость. Изменением объема диэлектрика пренебречь
• 18. В рамках термодинамики можно построить феноменологи­ческую теорию релаксационных процессов. Основная идея заклю­чается в превращении неравенства для энтропии dS > 5Q/7 справедливого для необратимых процессов, в равенство путем добавления дополнительного слагаемого:
• 19. Используя результаты предыдущей задачи, выяснить, как изменяются со временем изотермическая сжимаемость /Зг = 1 Го У] ' g^J и коэффициент теплового расширения а =      п?и внезапном изменении давления и температуры в системе.
• ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
• 2. РАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИКА КЛАССИЧЕСКИХ И КВАНТОВЫХ СИСТЕМ. 2.1. Статистические суммы
• 2.2. Функция распределения
• ЗАДАЧИ. 1. Найти уравнение состояния, внутреннюю энергию и тепло емкость классического идеального одноатомного газа, рассмат­ривая его статистическую сумму в каноническом ансамбле.
• 2. Найти уравнение состояния, внутреннюю энергию и тепло емкость для ультрарелятивистского газа с законом дисперсии
• 3. Найти внутреннюю и свободную энергии и теплоемкость Су при постоянном объеме столба одноатомного идеального газа из N молекул в трубе высотой и площадью сечения 5, находяще гося в однородном поле тяжести напряженностью g. Определить Су в предельных случаях mgh^kT) « 1 и mgh^kT) » 1.
• 4. Вычислить электрический дипольный момент идеального газа, состоящего из линейных молекул с неизменным дипольным моментом Ь, при помещении его в однородное электрическое поле напряженностью
• 5. Доказать, что классическая система не может обладать магнитными свойствами (теорема Бора-ван Левен).
• 6. Вычислить классическую и квантовую статистические сум ^ мы системы из N одинаковых одномерных невзаимодействующих осцилляторов с собственной частотой ел Найти внутреннюю энергию и теплоемкость такой системы.
• 7.     Пользуясь соотношением (2.7), получить выражение для плотности состояний р(£):
• 8.     Вычислить плотность состояний для нерелятивистского одноатомного ферми-бозе газа с законом дисперсии е - = р2/(2 т).
• 9. Вычислить плотность состояний для нерелятивистского электронного газа в квантующем магнитном поле В, пренебрегая спиновым расщеплением энергетических уровней.
• 10. Определить среднее число столкновений молекул одно атомного максвелловского газа с единичной площадью поверхности сосуда, в котором он находится, в единицу времени.
• 11. Определить среднюю энергию молекул максвелловского газа в веерообразном пучке, который выходит через небольшое отверстие в стенке сосуда в вакуум, и среднее значение коси­нуса угла между направлением скорости вылетающих молекул и нормалью к стенке сосуда
• 12. Определить среднее значение высоты молекул одноатомного идеального газа, рассмотренного в задаче 3.
• 13. Показать, что в координатном представлении оператор л     л л плотности р для системы с гамильтонианом /Яг.р) может быть записан в виде <г1|ехр[-ря(г,4|?]]|г2> = ехр[--ея(г,Щ]б(ггг2) (2.47)
• 14. Построить оператор плотности одномерного гармонического осциллятора в координатном представлении.
• 15. Спиновый гамильтониан электрона в магнитном поле
• 16. Исходя из соображений механического подобия, опреде­лить характер зависимости от температуры и объема свободной энергии одноатомного классического неидеального газа, у которого потенциальная энергия межчастичного взаимодействия есть однородная функция п-то порядка от координат молекул.
• 17.   Показать, что среднее значение экспоненты <ехрф(х)>, где угловые скобки означают усреднение по различным значени ям величины х, не меньше значения экспоненты от среднего значения.
• 18.   Используя неравенство (2.67), доказать вариационную теорему Боголюбова: при разделении функции Гамильтона системы на две части
• ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
• 3. РАВНОВЕСНАЯ КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. 3.1. Ферми газы и бозе газы
• 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике
• ЗАДАЧИ. 1. Найти термодинамический потенциал £2 для нерелятивист­ского ферми-газа при произвольной температуре и выразить его через интеграл Ферми-Дирака.
• 2. Найти теплоемкость cv при постоянном объеме нерелятивистского ферми газа с законом дисперсии с = р /(2т) при низких температурах.
• 3. Используя известное соотношение квантовой статистическои механики Q - -(2/3)Е, можно провести вычисление теплоемкости Су ферми газа при постоянном объеме таким образом.
• 5. Найти термодинамический потенциал Q для нерелятивист ского электронного газа в квантующем магнитном поле при произвольной температуре. Получить выражения для энтропии системы S, магнитного момента М и среднего числа частиц N
• 6. Показать, что средняя энергия £ хаотического движения частиц в квантующем магнитном поле делится поровну между тремя поступательными степенями свободы.
• 7. Показать, что термодинамический потенциал Й электрон ного газа в квантующем магнитном поле, даваемый формулой (3.30), переходит в обычное выражение в отсутствие магнитно го поля при и) 0.
• 8. Показать, что магнитный момент М системы в квантующем магнитном поле (3.31) пропадает при выключении магнитного поля.
• 9. Найти зависимость от температуры химического потенциа­ла бозе-газа.
• 10. Получить формулу для нахождения средних значений с помощью квантовей функции распределения Вигнера
• 11. Найти явный вид преобразования Вейля для произвольной функции оператора импульса <р(р).
• 12. Построить квантовую функцию распределения Вигнера для свободных частиц со спином 1/2.
• 13. Построить равновесную квантовую функцию распределения Вигнера для электронов, находящихся в однородном квантующем магнитном поле, учитывая спиновое расщепление энергетических уровней.
• 14. Выполнить переход к классической статистике в выраже­нии для квантовой функции распределения Вигнера для электро­на в квантующем магнитном поле:
• ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
• 4. ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ. 4.1. Гауссова квазитермодинамическая теория флуктуаций
• 4.2. Статистическая теория флуктуацн i
• 4.3. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами
• ЗАДАЧИ. 1. Вычислить флуктуации термодинамических величин <(ЛГ)2>, <(Д К)2>, <(AS)2>, <(Лр)2>, <AVA 7>, <АГАр>, <AVAp>, <ApAS>, <ASAK>, и <ASA7>, считая независимыми переменными параметры У и Г.
• 2. Вычислить флуктуации <(Ар) >, <(AS) > и <Ар А5>, счи­тая независимыми переменными параметрами р и 5.
• 3. Вычислить флуктуации <(AV) >, <(AS) > и <АУАS>, считая независимыми переменными К и S.
• 5. Вычислить средний квадрат флуктуации энергии в рамках гауссовой теории флуктуаци) и сравнить полученный результат с формулой (4.8).
• 6. Получить соотношение (4.44) для флуктуации энергии, используя изотермо-изобарически ансамбль.
• 7. Вычислить среднее значение <(А£) >.
• 8. Показать с помощью уравнения Ланжевена (4.11), что т1 = Вт есть время, в течение которого средняя скорость частиц <t>(/)> уменьшается в е раз по сравнению с начальной
• 9. Пользуясь уравнением Ланжевена (4.11), определить ха­рактер зависимости координаты броуновской частицы от вре мени.
• 10. Определить, как изменится спектральная плотность /(w) случайного стационарного процесса x(t)y если показание прибора, измеряющего значение хизм(0» соответствует среднему значению этой величины за время каждого измерения т:
• 11. Какую среднюю тепловую скорость броуновской частицы мы обнаружим при визуальном измерении за промежуток времени
• 12. Рассмотреть тепловые флуктуации в замкнутой цепи, со стоящей из сопротивления R и индуктивности L, помещенной в термостат с температурой Т. Определить спектральную плот­ность теплового шума ЭДС § и тока / в цепи, Найти выражение для корреляционной функции </(/+т) /(/)>
• 13. Получить функцию распределения по флуктуациям энергии в гауссовом приближении, исходя из классической функции рас­пределения в каноническом ансамбле.
• ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
• 5. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 5.1. Фазовые переходы I и II рода
• 5.2. Численные методы
• ЗАДАЧИ. 1. Определить температурное поведение равновесного значе ния параметра порядка т? в несимметричной фазе в модели, где зависимость термодинамического потенциала Ф от параметра по рядка имеет вид (5.2).
• 2. Пусть разложение термодинамического потенциала в ряд по степеням параметра порядка имеет вид
• 3. Вычислить теплоту фазового перехода в модели, где за висимость термодинамического потенциала Ф от параметра по­рядка 1) имеет вид (5.7).
• 4.     Показать, что в модели, принятой в задачах 2 и 3, сим­метричная фаза абсолютно неустойчива при температурах Т < 7*. Найти температуру Г**, при которой теряет устойчи­вость несимметричная фаза.
• 5.     В системах, размеры которых сравнимы с радиусом корре ляции, при больших флуктуациях нельзя пренебречь членом по­рядка Т)4 в разложении (5.3) для термодинамического потенциа ла. Вычислить среднее значение квадрата флуктуации параметра
• 7. Существуют системы, в которых линия фазовых переходов II рода (на диаграммах ptT) переходит в линию фазовых пере ходов I рода Точка перехода одной кривой в другую называет ся трикритической (Т ). Вблизи трикритическои точки разло жение термодинамического потенциала пс степеням параметра порядка имеет вид
• 8. В гауссовом приближении вычислить флуктуации параметра порядка в симметричной и несимметричной фазах на линии фазо вого перехода I рода
• 11. Вычислить термодинамический потенциал системы, для которой
• 12. Вычислить термодинамический потенциал системы, в ко­торой функционал от параметра порядка 0[т)] имеет вид
• 13. Исследовать методом Мойте-Карло температурную зависи­мость намагниченности, восприимчивости и теплоемкости в двумерно квадратноГ решетке Изинга в окрестности точки фа­зового перехода II рода В этой модели гамильтониан системы записывается в виде
• 14. Методом молекулярное динамики исследовать свойства системы из N частиц, взаимодействующих между собой посредст вом потенциала Леннарда-Джонса,
• ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
• 6. ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЯВЛЕНИЙ. 6.1. Уравнения «Пиувилля и Неймана
• 6.2. Приближение самосогласованного поля
• ЗАДАЧИ. 1. Среди полного набора динамических переменных системы можно выделить группу переменных .
• 2. Получить уравнение для редуцированной функции распре­деления p^t) - ?p(t),
• 3. В приближении самосогласованного поля функция Гамильтона для системы заряженных частиц записывается в виде
• 5. Рассмотреть возможность существования продольных коле баний в электрон-ионной системе классической двухкомпонент- HOrj плазмы Определить собственные частоты колебаний и их затухание
• 6. Получить уравнение для одночастичной квантово [ функции распределения Вигнера Дг,р,/), используя уравнение Неймана для 0дн0частичн01 [ матрицы плотности р
• 7. Используя линеаризованное по возмущению квантовое ки­нетическое уравнение для функции распределения Вигнера в
• 8. Используя уравнение (6.4) для одночастичной матрицы плотности в координатном представлении, получить квантовое кинетическое уравнение
• 9. Определить спектр продольных колебаний электрон-ионнои системы (ионный звук) размерно квантованной металлической пленки
• ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
• 7. ОПИСАНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЯВЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ УПРАВЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ. 7.1. Кинетическое уравнение Больцмана
• 7.2.  Уравнение кинетического баланса Паули
• 7.3.  Уравнение Фоккера-Планка
• ЗАДАЧИ. 1. Показать, что интеграл столкновений Больцмана обладает свойством а  к J а
• 2. Исходя из уравнения Больцмана получить систему уравне­ний гидродинамики для плотности р(г,/):
• 4. Показать, что кинетическое уравнение Больцмана приводит к возрастанию плотности энтропии системы
• 5.     Показать, что уравнение кинетического баланса Паули (7.3) сохраняет нормировку вероятности
• 6.     Показать, что уравнение Паули (7.3) приводит к возра станию энтропии системы при любом неравновесном начальном распределении.
• 7. Показать, что при любом начальном распределении вероятностей        уравнение Паули (7.3) является уравнением релаксационного типа.
• 8. Решить уравнение кинетического баланса Паули (7.3) для двухуровневой системы с начальным условием ^(0) = 1, ш2(0) = 0
• 9. Решить уравнение кинетического баланса Паули (7 3) для п уровневой системы с начальным распределением вероятностей ш^О) = 1, wk(®) ~ 0 (k = 2, 3, л), считая для просто ты, что все вероятности переходов между различными состоя­
• 10. Записать уравнение Фоккера-Планка для маятника с од­ной степенью свободы, помещенного в термостат, состоящий из молекул газа, непрерывно бомбардирующих маятник
• 11. Рассмотреть броуновское движение маятника,
• 12. Рассмотреть броуновское движение маятника, описывае мое уравнением (7.59), считая, что при / = 0 имеется равно
• 13. Рассмотреть броуновское движение маятника, описывае­мое уравнением (7.60), считая, что начальное распределение плотности вероятности имеет вид
• 14. Показать, что при произвольной потенциальной энергии Еп(<р) броуновское движение маятника приводит к установлению стационарного распределения по моменту импульса независимо от вида начальных условий.
• ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
• СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Похожие книги

A.С КОНДРАТЬЕВ B.П. РОМАНОВ - Задачи по статистической физике

Валерий Луков - Социальный контроль масс

Оксана Доронина - Богатая мама против богатого папы

Keith Lehrer - Theory of Knowledge

- Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса