• 5

§ 3. Термодинамика деформирования

Рассмотрим какое-нибудь деформированное тело и предполо­жим, что его деформация меняется так, что вектор деформации «г изменяется на малую величину б«г. Определим работу, произво­димую при этом силами внутренних напряжений. Умножая силу Ft = daik/dxk на перемещение Ьщ и интегрируя по всему объему тела, имеем

Посредством бR мы обозначили работу сил внутренних напряже­ний в единице объема тела. Интегрируя по частям, получаем

\6RdV = §Gth8Uidfh-\aih-^-dV.

}) В соответствии с общими утверждениями микроскопической теории i ср. И, § 32.

§ 3]

термодинамика деформирования

19

Рассматривая неограниченную среду, не деформированную на бесконечности, устремим поверхность интегрирования в первом ин­теграле R бесконечности; тогда на ней ath = 0, и интеграл исче­зает. Второй же интеграл можно, воспользовавшись симметрией тензора oih, переписать в виде

Эта формула определяет работу бR по изменению тензора дефор­мации.

Если деформация тела достаточно мала, то по прекращении действия вызвавших деформацию внешних сил тело возвращается в исходное недеформированное состояние. Такие деформации на­зывают упругими. При больших деформациях прекращение дей­ствия внешних сил не приводит к полному исчезновению дефор­мации, — остается, как говорят, некоторая остаточная деформа­ция, так что состояние тела отличается от того, в каком оно нахо­дилось до приложения к нему сил. Такие деформации называют пластическими. В дальнейшем везде (за исключением гл. IV) мы будем рассматривать только упругие деформации.

Предположим далее, что процесс деформирования совершается настолько медленно, что в каждый момент времени в теле успе­вает установиться состояние термодинамического равновесия, соответствующее тем внешним условиям, в которых тело в данный момент находится (фактически это условие почти всегда выполня­ется). Тогда процесс будет термодинамически обратимым.

Условимся относить в дальнейшем все такие термодинамиче­ские величины, как энтропия S, внутренняя энергия & и т. п., к единице объема тела (а не к единице массы, как это принято в гидродинамике) и обозначать их соответствующими большими буквами.

В этой связи необходимо сделать следующее замечание. Строго говоря, надо различать единицы объема до и после деформирова­ния; эти объемы содержат, вообще говоря, различные количества вещества. Все термодинамические величины мы будем в дальнейшем везде, кроме гл. VI относить к единице объема недеформирован- ного тела, т. е. к заключенному в нем количеству вещества, которое после деформирования может занять объем, несколько отличный от первоначального объема. Соответственно этому, на­пример, полная энергия тела получается всегда интегрирова­нием & по объему недеформированного тела.

 

Таким образом,- находим

8R = — aikduik.

(3,1)

Бесконечно малое изменение def внутренней энергии равно разности полученного данной единицей объема тела количества тепла и произведенной силами внутренних напряжений работы dR. Количество тепла равно при обратимом процессе TdS, где Т — температура. Таким образом, def — TdS—dR; взяв dR из (3,1), получим

dg = TdS + aihduih. (3,2)

Это — основное термодинамическое соотношение для деформи­руемых тел.

При равномерном всестороннем сжатии тензор напряжений ра­вен aih = —p8ih (2,6). В этом случае

alkduih = —pbihduih = —pdua.

Но мы видели (см. (1,6)), что сумма ин представляет собой отно­сительное изменение объема при деформировании. Если рассматри­вать единицу объема, то «гг будет просто изменением этого объема, a duit — элементом dV этого изменения. Термодинамическое соот­ношение принимает тогда обычный вид:

def = TdS — р dV.    (3,2а)

Вводя вместо энергии ef свободную энергию тела F = <§ — TS, переписываем соотношение (3,2) в виде

dF = — S dT + aih duih.      (3,3)

Наконец, термодинамический потенциал Ф тела определяется как

Ф = аг - TS - aikuik = Р - aikuih.    (3,4)

Это — обобщение обычного выражения Ф = ef — TS + pV '). Подставив (3,4) в (3,3), находим

d$> = —SdT — uih daih.    (3,5)

Независимыми переменными в (3,2) и (3,3) являются соответ­ственно S, им и Т, Uth. Компоненты тензора напряжений можно иолучить, дифференцируя Е или F по компонентам тензора дефор­мации соответственно при постоянной энтропии S или темпера­туре Т\

J) При всестороннем сжатии выражение (3,4) переходит в Ф = F + putt = F + р (V - V0),

где V — V0 — изменение объема в результате деформации. Отсюда видно, что принимаемое нами здесь определение Ф отличается от применяемого обычно в термодинамике Ф = F-{-pV членом — pV,о.

Аналогично, дифференцируя Ф по компонентам aih, можно получить компоненты ыгй:

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я