• 5

§ 47. Звук в смектиках

В обычных жидкостях (а также в нематических жидких кри­сталлах) существует лишь одна ветвь слабозатухающих звуковых колебаний — продольные звуковые волны. В твердых кристаллах и аморфных твердых телах существуют три звуковые (акустиче­ские) ветви линейного закона дисперсии колебаний (§§ 22, 23). Одномерные кристаллы — смектики — и здесь занимают проме­жуточное положение: в них имеются две акустические ветви (P. G. de Gennes, 1969). Не интересуясь здесь коэффициентами затухания этих волн, и имея в виду лишь определение скоростей их распространения, пренебрежем в уравнениях движения всеми диссипативными членами. Полная система линеаризованных урав­нений движения складывается из уравнения непрерывности

^-+pdivv = 0   (47,1)

(здесь и ниже индекс у р0 опускаем; р', р — переменные части плотности и давления), уравнения (46,5), которое сводится к

«Ь—ЯГ          (47,2)

— просачивание отсутствует, и динамического уравнения (46,13):

р-^-«-Vp' + nft,          (47,3)

См. Кац Е. И., Лебедев В. В. — ЖЭТФ, 1983, т, 85, с, 2019.

причем, согласно (46,2),

рт — Лр' + рС .         (47,4)

В выражении (46,8) для h следует опустить член KiA±u, содер­жащий производные высших порядков, — он оказался бы слиш­ком высокого порядка по волновому вектору k, который для зву­ковых волн следует рассматривать как малую величину;

Л =      (47,5)

В реальных смектиках величины В и С обычно малы по срав­нению с Л. В этих условиях, которые мы и будем предполагать, природа обеих акустических ветвей в смектиках становится более наглядной.

Если пренебречь в уравнениях движения всеми членами, содер­жащими малые коэффициенты В и С, то онй сведутся к уравне­ниям движения обычной жидкости с уравнением состояния р' = Ар', т. е. с сжимаемостью (др'/др')„ = А. Соответствующие этому случаю колебания представляют собой обычные звуковые волны — продольные волны сжатия и расширения среды. Ско­рость их распространения

Ci = Л'/2         (47,6)

и (в рассматриваемом приближении) не зависит от направле­ния.

Фазовая скорость са волн второй акустической ветви, как мы увидим, мала по сравнению с с^х a>/k = са С сх. Поэтому по отно­шению к этим колебаниям среду можно считать несжимаемой (ср. примечание на стр. 220). Уравнение непрерывности сводится при этом к условию несжимаемости div v = 0; в (47,5) опу­скаем второй член, так что уравнение (47,3) принимает вид

= + B-gr.         (47,7)

Продифференцировав z-компоненту этого уравнения по г и под- ётавив в него vz — du'fdt, получим

026 _ ду , р дЧ P-Qfi           +9° -§р-»

где 6 = ди/дг. Применив же к уравнению (47,7) операцию div, в силу условия несжимаемости получим

А '        D

Ар = pB-gp-.

Наконец, исключив из этих двух уравнений р', получим одно уравнение для величины б:

Т^«=-в{--а£ + -ЯгА«}>         (47.8)

Зависимость смещения и от координаты г означает, что ме­няются расстояния а между соседними слоями: б а — (ди/дг) а сама же величина б = ди/дг дает относительное изменение этого расстояния. Таким образом, уравнение (47,8) описывает распро­странение поперечной (kv = 0) волны, в которой испытывают Коле­бания расстояния между слоями при постоянной плотности. Для плоской волны, в которой б со exp {tkr — iof}, из (47,8) имеем

= Bk\k\t

откуда находим скорость

с2 = В1'2 sin 6 cos 6,          (47,9)

где ,9 — угол между к и осью г. Эта скорость анизотропна, причем обращается в нуль для распространения как вдоль оси г (в = 0), так и в плоскости х, у (в = я/2). При углах, близких к этим значениям, возрастает роль диссипативных эффектов. (См. за­дачи 2 и 3 к этому параграфу.)

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я