• 5

Задачи

1.         Найти осесимметричное решение уравнений равновесия нематической среды в цилиндрическом сосуде без особенности на оси, отвечающее граничным условиям рис. 27, б.

Решение. Ищем решение в виде

пг — 0, п,, = cos х (г), Пг = sin х (г) с граничными условиями

X (R) = 0, х(0) = я/2.

Имеем

rot,, n = — cos х , rotz n = — sin % -jp-» div n = 0.

Свободная энергия:

R         1пЛ

J 2nrFd dr = я J {K2 (sin x cos x - x')2 + cos4 x) dl

0          — oo

Первый интеграл уравнения равновесия:

К*Х'2 ~ (Кг sin2 х cos2 х + Кя cos4 х) = 0. Интегрирование этого уравнения приводит к результату (полагаем Кз > /С2): г         — fe'sin'x — ft' sin х \1/2 у К* - к„.__. Кг

# Vl — fe2 sin2 х + ft' sin %' '         К» '

При г-*-0 угол х _> п/2 по закону

Свободная энергия этой деформации Л

j Fd2nr dr = пКъ |2 -f -др- arcsin k\, о

между тем как свободная энергия плоской дисклинации рис. 27, б: пКяЬ.

2.         Исследовать устойчивость дисклинаций с индексом п = 1 относительно малых возмущений вида 6п (q>) (С, И. Анисимов, И. Е. Дзялошинский, 1972).

Решение, а) Невозмущениое поле радиальной днсклииацни (рис. 27, а): nr «= 1 я<р = пг а 0. Возмущенное же поле пишем в виде

п, = cos 0 cos Ф да 1           Y (02 -I- Ф2), Пф = cos н sin Ф я» Ф, п2 <= sin 0 да 0,

где углы 0 и Ф — функции угловой координаты <р. Энергия, связанная с этим возмущением:

J Fdrdr d(f = 1 {/(,Ф'2 -t- Кф'2 + (/С, — ЛСХ) Ф2 - Kxd1} <*<р. Для общего исследования надо было бы положить 0(<р) «= £ ел ф ц» = £

s=ч—оо         <■==;  cs

и выразить энергию как функцию всех 04, Ф8. Но и без того сразу видно, что рассматриваемая днеклинация всегда неустойчива относительно возмущения 0О (член — в энергии).

б) Неиозмущеиное поле циркулярной дисклинации (рио. 27, б): пт = пг == = 0, я,, = 1. Возмущенное поле записываем в виде

Яг = cos В cos ^-j- + Ф^ л — Ф, /гф = cos 0 sin + Ф^ «к 1 —

- ~ (вг + ф2), Пг = sin е « е

(определение угла Ф изменено по сравнению с предыдущим случаем). Соответ­ствующая энергия:

j/Vdrd<p = 4-j{/(8(0'2 + Ф'2, + (Кг - Кя) Ф2 + (Л, - 2Ks) б2} d<p.

Наиболее «опасны» возмущения % н Ф0; условия устойчивости по отношению к этим возмущениям:

Ki>K9, K2>2Ka.

Полученное в тексте и в вадаче 1 утверждение, что свободная энергия дефор­мации в дисклииациях с л=1 превышае'1 энергию несингулярного осесимме- тричиого решения означает лишь, что эти дисклинации могли бы быть в лучшем случае метастабильиымн. Теперь мы видим, что радиальная дисклннацня вообще неустойчива, а циркулярная устойчива (относительно возмущений указанного вида) прн соблюдении определенных соотношений между модулями.

3. Нематическая среда заполняет пространство между двумя параллель­ными плоскостями, причем граничные условия иа одной плоскости Требуют перпендикулярности, а на другой — параллельности директора поверхности. Определить равновесную конфигурацию п (г).

Решение. Равновесная конфигурация будет, очевидно, плоской; выбе­рем ее плоскость в качестве плоскости х, г с осью г перпендикулярной граничным плоскостям (плоскости г = 0 и г = ft). Положим

пх = sin х (г), = cos х (г).

Свободная энергия деформации:

J          J Sin2 X + я*COS» X}

Первый интеграл уравнении равновесии.

(Ад sin2 х + Кг cos2 i) г'2 «= const,,

откуда с учетом граничных условий

*           я/2

| sin2 х + К a cos2 х)1/2 dx = -j- | (К! sin» х +К, cos2 х)1 /2

Q         О

или

z = hE(x, k)/E^-t ft), fc2 = (/(a-/(i)//<i, где £ (х, ft) — эллиптический интеграл второго рода.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я