§ 28. Действие поля напряжений на дислокацию
Рассмотрим дислокационную петлю D в поле упругих напряжений 0$, созданных действующими на тело внешними нагрузками, и вычислим силу, действующую иа нее в этом поле. Согласно общим правилам для этого надо найти работу 8RD, производимую иад дислокацией при бесконечно малом ее смещении.
Вернемся к введенному в § 27 представлению о дислокационной петле D как линии, на которую опирается поверхность (SD) разрыва вектора смещения; величина разрыва дается формулой (27,7). Смещение линии дислокации D приводит к изменению поверхности SD. Пусть бх — вектор смещения точек линии D. Смещаясь на бх, элемент dt длины линии описывает площадь 6f = = [6x.dll = [бх-х] dl, чем и определяется приращение площади поверхности SD. Поскольку речь идет теперь о реальном, физическом смещении дислокации, необходимо учесть, что указанная операция сопровождается изменением физического объема среды. Поскольку смещения и точек среды по обе стороны поверхности
различаются на величину Ь, то это изменение дается произведением
8V = bdf = [бх-т]Ь df = бх [tb] df. (28,1)
В связи с этим возможны две существенно различные физические ситуации. В одной из них б У = 0, смещение линии дислокации не связано с изменением объема. Так будет, если смещение происходит в плоскости, определяемой векторами х и Ь. Эту плоскость называют плоскостью скольжения данного элемента дислокации. Огибающую семейства плоскостей скольжения всех элементов длины петли D называют поверхностью скольжения дислокации; она представляет собой цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными вектору Бюргерса b х). Физическая особенность плоскости скольжения состоит в том, что только в ней возможно сравнительно легкое механическое перемещение дислокации (о котором в этом случае обычно говорят как о ее скольжении) 2).
С изменением площади поверхности SD при смещении дислокации связано изменение сингулярной деформации (27,8), сосредоточенное на линии D. Его можно представить в виде
б«Цл) = х/2 {bi [бх • x]h + мбх • тЫ б (I), (28,2)
где б (|) — введенная в § 27 двухмерная б-функция. Подчеркнем, что эта деформация однозначно определяется формой линии D и смещением бх, в отличие от выражения (27,8), зависящего от произвольного выбора поверхности SD.
Выражение (28,2) описывает локальную неупругую остаточную деформацию (ее называют пластической), не сопровождающуюся упругими напряжениями. Связанная с ней работа, совершаемая в конечном счете внешними источниками, дается интегралом
(ср. (3,2) ), где под бuih надо понимать полное геометрическое изменение деформации. Оно складывается из упругой и пластической частей; нас интересует здесь только работа, связанная с пластической частью 3). После подстановки би%л) из (28,2), ввиду на
J) Возможные системы плоскостей скольжения в анизотропной среде фактически определяются структурой ее кристаллической решетки.
2) Так, для передвижения изображенной на рис. 22 краевой дислокации в ее плоскости скольжения (плоскость х, г) достаточно сравнительно небольших Перемещений атомов, в результате которых «лишними» будут оказываться все более удаленные от плоскости у, г кристаллические полуплоскости.
3) При выводе уравнений движения виртуальные пластическую и упругую деформации надо рассматривать как независимые переменные. Интересуясь уравнением движения дислокации, надо рассматривать только пластическую деформацию.
личия в нем б-функции, остается интегрирование только вдоль длины дислокационной петли D:
8Rd = <j) o$eUm 8xixmdl. (28,3)
D
Коэффициент при бх, в подынтегральном выражении есть сила fu действующая на единицу длины линии дислокации. Таким образом,
/; = тМ>т (28,4)
(М. О. Peach, J. S. Kohler, 1950). Отметим, что сила f перпендикулярна вектору т, т. е. линии дислокации.
Формула (28,3) допускает наглядную интерпретацию. Согласно сказанному выше смещение элемента линии дислокации сводится к разрезанию некоторой площадки df и сдвигу верхнего берега разреза относительно нижнего на длину Ь. Приложенная к df сила внутренних напряжений есть dfk, а производимая этой силой при сдвиге работа ecrb.biO$dfk.
Поскольку в написанном виде формула (28,4) относится только к перемещению в плоскости скольжения, имеет смысл сразу же написать проекцию силы f на эту плоскость. Пусть и — единичный вектор нормали к линии дислокации в плоскости скольжения. Тогда
или
/± = Vio\eX>, (28,5)
где v= Ых]— вектор нормали к плоскости скольжения. По-, скольку векторы b и v взаимно перпендикулярны, то (выбрав вдоль них две из координатных осей) мы видим, что сила /х определяется всего одной из компонент тензора
Если же смещение дислокации происходит не в плоскости скольжения, то бV ф 0. Это значит, что смещение берегов разреза привело бы к появлению избытка вещества (когда один берег «перехлестывает» другой) или к его недостаче (образование щели между раздвигающимися берегами). Этого нельзя допустить, если полагать, что в процессе движения дислокации сплошность среды не нарушается и ее плотность остается неизменной (с точностью до упругих деформаций). Устранение избыточного вещества или заполнение его нехватки происходит в реальном кристалле диффузионным способом (ось дислокации становится источником или стоком _ диффузионных потоков вещества) г). О перемещении
1) Так, изображенная на рис. 22 дислокация может перемещаться в плоскости у, г лишь за счет диффузионного ухода вещества из «лишней» полуплоскости.
дислокации, сопровождающемся диффузионным «залечиванием» дефектов сплошной среды, говорят как о ее переползании *).
Из сказанного ясно, что, допустив переползание дислокации в качестве возможного ее виртуального перемещения, необходимо считать, что оно, как и скольжение, происходит без локального изменения объема среды. Это значит, что из деформации (28,2) надо вычесть ответственную за изменение объема часть т-е-
описывать пластическую деформацию тензором
бИЙЛ)= (Vabf [6x.Tlfc + V»bkiex.T]I — VaSiftbiex-T]} б(S)- (28,6)
Соответственно вместо (28,4) получим следующую формулу для действующей на дислокацию силы 2):
ft = eikltkbm {a\l —i-81таЩ (28,7)
(J. Weertman, 1965). Полная сила, действующая на всю дислокационную петлю, равна
Ft = ешЬт j> (в\е„1 —i-6lmo%) dxk. (28,8)
Она отлична от нуля только в неоднородном поле напряжений (при а\т = const интеграл сводится к ^ dxk = о). Если на протяжении петли поле напряжений меняется мало, то
Fi = ешЬт -J- (а%\ - б,то{пп ) ф xpdxk
D
(петлю представляем себе расположенной вблизи начала координат). Входящие сюда интегралы образуют антисимметричный тензор
<|) хр dxk — — фхь dx р.
Имея это в виду, легко выразить силу через введенный в (27,12) дислокационный момент dM 3):
Эо(е) 1 I даи) да{е) \
*«-£-)■ да»
*) Поскольку такой процесс лимитируется диффузией, он может фактически играть роль лишь при достаточно высоких температура».
2) Представляется очевидным, что всестороннее (равномерное) сжатие кристалла не должво приводить к появлению силы f; выражение (28,7) этим свойством обладает.
®) При выводе используется также формула e(kieimH ~ ^km^in —^kn^im и уравнения равновесия
В однородном поле напряжений эта сила» как уже было указано, обращается в нуль. При этом, однако, на петлю действует момент сил
Kt = eum$>xtfmdt,
который тоже можно выразить через дислокационныи момент' Ki = eikidkm (аш - VsW^)- (28,10>