§ 28. Действие поля напряжений на дислокацию

Рассмотрим дислокационную петлю D в поле упругих напря­жений 0$, созданных действующими на тело внешними нагруз­ками, и вычислим силу, действующую иа нее в этом поле. Со­гласно общим правилам для этого надо найти работу 8RD, произ­водимую иад дислокацией при бесконечно малом ее смещении.

Вернемся к введенному в § 27 представлению о дислокацион­ной петле D как линии, на которую опирается поверхность (SD) разрыва вектора смещения; величина разрыва дается формулой (27,7). Смещение линии дислокации D приводит к изменению по­верхности SD. Пусть бх — вектор смещения точек линии D. Сме­щаясь на бх, элемент dt длины линии описывает площадь 6f = = [6x.dll = [бх-х] dl, чем и определяется приращение площади поверхности SD. Поскольку речь идет теперь о реальном, физиче­ском смещении дислокации, необходимо учесть, что указанная операция сопровождается изменением физического объема среды. Поскольку смещения и точек среды по обе стороны поверхности

различаются на величину Ь, то это изменение дается произведе­нием

8V = bdf = [бх-т]Ь df = бх [tb] df.    (28,1)

В связи с этим возможны две существенно различные физиче­ские ситуации. В одной из них б У = 0, смещение линии дислока­ции не связано с изменением объема. Так будет, если смещение происходит в плоскости, определяемой векторами х и Ь. Эту пло­скость называют плоскостью скольжения данного элемента дисло­кации. Огибающую семейства плоскостей скольжения всех эле­ментов длины петли D называют поверхностью скольжения дисло­кации; она представляет собой цилиндрическую поверхность с об­разующими, параллельными вектору Бюргерса b х). Физическая особенность плоскости скольжения состоит в том, что только в ней возможно сравнительно легкое механическое перемещение дисло­кации (о котором в этом случае обычно говорят как о ее скольже­нии) 2).

С изменением площади поверхности SD при смещении дисло­кации связано изменение сингулярной деформации (27,8), сосре­доточенное на линии D. Его можно представить в виде

б«Цл) = х/2 {bi [бх • x]h + мбх • тЫ б (I),  (28,2)

где б (|) — введенная в § 27 двухмерная б-функция. Подчеркнем, что эта деформация однозначно определяется формой линии D и смещением бх, в отличие от выражения (27,8), зависящего от произвольного выбора поверхности SD.

Выражение (28,2) описывает локальную неупругую остаточную деформацию (ее называют пластической), не сопровождающуюся упругими напряжениями. Связанная с ней работа, совершаемая в конечном счете внешними источниками, дается интегралом

(ср. (3,2) ), где под бuih надо понимать полное геометрическое изменение деформации. Оно складывается из упругой и пластиче­ской частей; нас интересует здесь только работа, связанная с пла­стической частью 3). После подстановки би%л) из (28,2), ввиду на­

J) Возможные системы плоскостей скольжения в анизотропной среде факти­чески определяются структурой ее кристаллической решетки.

2)         Так, для передвижения изображенной на рис. 22 краевой дислокации в ее плоскости скольжения (плоскость х, г) достаточно сравнительно небольших Перемещений атомов, в результате которых «лишними» будут оказываться все более удаленные от плоскости у, г кристаллические полуплоскости.

3)         При выводе уравнений движения виртуальные пластическую и упругую деформации надо рассматривать как независимые переменные. Интересуясь урав­нением движения дислокации, надо рассматривать только пластическую дефор­мацию.

личия в нем б-функции, остается интегрирование только вдоль длины дислокационной петли D:

8Rd = <j) o$eUm 8xixmdl.  (28,3)

D

Коэффициент при бх, в подынтегральном выражении есть сила fu действующая на единицу длины линии дислокации. Таким обра­зом,

/; = тМ>т         (28,4)

(М. О. Peach, J. S. Kohler, 1950). Отметим, что сила f перпендику­лярна вектору т, т. е. линии дислокации.

Формула (28,3) допускает наглядную интерпретацию. Согласно сказанному выше смещение элемента линии дислокации сводится к разрезанию некоторой площадки df и сдвигу верхнего берега разреза относительно нижнего на длину Ь. Приложенная к df сила внутренних напряжений есть dfk, а производимая этой силой при сдвиге работа ecrb.biO$dfk.

Поскольку в написанном виде формула (28,4) относится только к перемещению в плоскости скольжения, имеет смысл сразу же написать проекцию силы f на эту плоскость. Пусть и — единичный вектор нормали к линии дислокации в плоскости скольжения. Тогда

f± = fa = emY.iXkbmo(il

или

/± = Vio\eX>, (28,5)

где v= Ых]— вектор нормали к плоскости скольжения. По-, скольку векторы b и v взаимно перпендикулярны, то (выбрав вдоль них две из координатных осей) мы видим, что сила /х опре­деляется всего одной из компонент тензора

Если же смещение дислокации происходит не в плоскости скольжения, то бV ф 0. Это значит, что смещение берегов разреза привело бы к появлению избытка вещества (когда один берег «пе­рехлестывает» другой) или к его недостаче (образование щели между раздвигающимися берегами). Этого нельзя допустить, если полагать, что в процессе движения дислокации сплошность среды не нарушается и ее плотность остается неизменной (с точностью до упругих деформаций). Устранение избыточного вещества или заполнение его нехватки происходит в реальном кристалле диффу­зионным способом (ось дислокации становится источником или стоком _ диффузионных потоков вещества) г). О перемещении

1) Так, изображенная на рис. 22 дислокация может перемещаться в пло­скости у, г лишь за счет диффузионного ухода вещества из «лишней» полупло­скости.

дислокации, сопровождающемся диффузионным «залечиванием» дефектов сплошной среды, говорят как о ее переползании *).

Из сказанного ясно, что, допустив переползание дислокации в качестве возможного ее виртуального перемещения, необходимо считать, что оно, как и скольжение, происходит без локального изменения объема среды. Это значит, что из деформации (28,2) надо вычесть ответственную за изменение объема часть   т-е-

описывать пластическую деформацию тензором

бИЙЛ)= (Vabf [6x.Tlfc + V»bkiex.T]I — VaSiftbiex-T]} б(S)- (28,6)

Соответственно вместо (28,4) получим следующую формулу для действующей на дислокацию силы 2):

ft = eikltkbm {a\l —i-81таЩ (28,7)

(J. Weertman, 1965). Полная сила, действующая на всю дислока­ционную петлю, равна

Ft = ешЬт j> (в\е„1 —i-6lmo%) dxk.          (28,8)

Она отлична от нуля только в неоднородном поле напряжений (при а\т = const интеграл сводится к ^ dxk = о). Если на про­тяжении петли поле напряжений меняется мало, то

Fi = ешЬт -J- (а%\ - б,то{пп ) ф xpdxk

D

(петлю представляем себе расположенной вблизи начала коорди­нат). Входящие сюда интегралы образуют антисимметричный тен­зор

<|) хр dxk — — фхь dx р.

Имея это в виду, легко выразить силу через введенный в (27,12) дислокационный момент dM 3):

Эо(е) 1 I даи)            да{е) \

*«-£-)■ да»

*) Поскольку такой процесс лимитируется диффузией, он может фактически играть роль лишь при достаточно высоких температура».

2) Представляется очевидным, что всестороннее (равномерное) сжатие кри­сталла не должво приводить к появлению силы f; выражение (28,7) этим свой­ством обладает.

®) При выводе используется также формула e(kieimH ~ ^km^in —^kn^im и уравнения равновесия

В однородном поле напряжений эта сила» как уже было указано, обращается в нуль. При этом, однако, на петлю действует момент сил

Kt = eum$>xtfmdt,

который тоже можно выразить через дислокационныи момент' Ki = eikidkm (аш - VsW^)-   (28,10>