• 5

§ 24. Поверхностные волны

Особым видом упругих волн являются волны, распространяю­щиеся вблизи поверхности среды и не проникающие в глубь нее — волны Рэлея (Rayieigh, 1885).

Напишем уравнения движения в виде (22,11—12)1

О         (24,1)

(где и — какая-либо из компонент векторов ии ut, в с — соответ­ствующая ей скорость Ci иди ct), и будем искать решения, отве­чающие поверхностным волнам. Поверхность упругой среды будем предполагать плоской, и выберем ее в качестве плоскости х, у, области среды пусть соответствуют z < 0.

Рассмотрим «плоскую» монохроматическую поверхностную волну, распространяющуюся вдоль оси х\ функция и {t, х, г) в ней имеет вид

и = е{

где функция / (г) удовлетворяет уравнению /" = и2/; введено обо­значена

и = {k2 - ш7с2)'/2.     (24,2)

Если k2 — со2/с2 < 0, т© / (г) — периодическая функция, т. е. мы получили бы обычную плоскую волну, не исчезающую во всем объеме среды. Поэтому надо считать, что k% — со2/с2 g> 0, и и — ве­щественное число. Уравнение имеет решения вида ехр (±хг); из них надо выбрать то, которое затухает при z~> — оо.

Таким образом, мы приходим к следующему решению уравне­ний движения:

и = const (kx-at)evx_           (24,3)

Оно соответствует волне, быстро (экспоненциально) затухающей внутрь тела, т.е. распространяющейся только вблизи его поверх­ности. Величина к определяет скорость этого затухания.

Истинный вектор деформации и в волне является суммой Еекто- ров щ и иь компоненты каждого из которых удовлетворяют урав­нению (24,1) со скоростью с — ct для и, и с = ct для и*. В случае объемных волн в неограниченной среде эти две части представляют собой две независимо распространяющиеся волны. В случае же поверхностных волн такое разделение на две независимые части оказывается (благодаря наличию граничных условий) невозмож­ным. Вектор смещения и должен быть определенной линейной комбинацией векторов щ и и{. По поводу этих последних надо также отметить, что они отнюдь не имеют теперь наглядного смысла

параллельных и перпендикулярных к направлению распростра­нения компонент смещения.

Для определения линейной комбинации векторов и г и ut, даю­щей истинное смещение и, надо обратиться к предельным условиям на границе тела. Отсюда же определится связь между волновым вектором к и частотой со, а следовательно, и скорость распростра­нения волны. На , свободной поверхности должно выполняться условие oihnh = 0. Поскольку вектор нормали п направлен по оси г, то отсюда следуют условия

°xz = Oyt = <*zz = 0,

откуда

"«=0,   =          о (ихх + ит) + (1 - а) игг = 0. (24,4)

Поскольку все величины не зависят от координаты yt то второе из этих условий дает

,, _ JL ( диу г _          - п

u«z ~ 2 \ дг "т ду } ~ 2 dz ~

С учетом (24,3) отсюда следует

ау = 0.            (24,5)

Таким образом, в поверхностной волне вектор деформации и ле­жит в плоскости, проведенной через направление распространения перпендикулярно к поверхности.

«Поперечна»» часть волны ut должна удовлетворять условию (22,8) div ut = 0, или

dutx , dutz _ q дх      дг        *

Ввиду (24,3) это условие приводит к равенству

ikutx+ *tutz = 0,

определяющему отношение utx/utz. Таким образом, имеем

utx = ща exp (ikx + и tz — toit),

и^ =—ikaexp(ikxntz — Ш), ^ ' '

где a — постоянная.

«Продольная» часть щ удовлетворяет условию (22,9) rot иг — = 0, или

дщх дЩг _ п дх

откуда

ikuiz — Kiuu = 0, щ = (k2 — сй2/с?)1/2. Таким образом, должно быть

ulx = kbeikx+*f~imt, и1г =   (24,7)

где Ь — постоянная.

Теперь воспользуемся первым и третьим из условий (24,4). Выражая Uj/j через производные от и вводя скорости Cj и ct, переписываем эти условия в виде

дих I диг _ п

дг ~Г dx ~ u* fK, П4

я          я          Ф4-8

Сюда надо подставить

Ux — ulx + utx* Uz — и1г 4" UW В результате первое из условий (24,8) дает уравнение

а (к2 + х?) + 2Ыж, = 0.         (24,9)

Второе приводит к равенству

2ас\щк + Ь [с] (и? - к2) + 2с№} = 0»

или

2anlk -\-b{k2Jf- х?) = 0.       (24,10)

Условие совместности двух однородных уравнений (24,9) и (24,10) дает

{k2 + х?)2 = 4k\tx,> или, возведя в квадрат и подставив значения х(, хг|

(24,11)

Этим уравнением определяется связь между ю и k. Очевидно, что ю = const -k\ для определения коэффициента пропорциональ- ности^ напишем это соотношение в виде

ю = еМ.          (24,12)

Тогда общий множитель ks сокращается и, раскрыв скобки, полу­чим для I уравнение

ge _ 8|4+ ер ^з _ 2_|j __ 16 ^ = о. (24,13)

Отсюда видно, что число | зависит только от отношения ct}ci, яв­ляющегося некоторой характерной для каждого данного вещества постоянной и зависящего в свою очередь только от коэффициента Пуассона!

iL _ 2<т

с| — 2 (1 — а) '

Величина £ должна быть, разумеется, вещественной положи­тельной, причем | < 1 (так, чтобы хь х*были вещественны). Урав­нение (24,13) имеет только один корень, удовлетворяющий этим

условиям, так что для каждого данного значения с(/сг получается всего одно определенное значение | *).

Таким образом, для поверхностных волн, как и для объемных, частота пропорциональна волновому вектору. Коэффициент про­порциональности между ними есть скорость распространения волны

U = c&            (24,14)

Этим определяется скорость распространения поверхностных волн через скорости с* и сг поперечных и продольных объемных волн. Отно­шение амплитуд поперечной и продольной частей волны определяется по значению g формулой

 

2-Е2

(24,15)

О /Д 1/2 Рнс. 21

Ь 2 v 1 — I» * Отношение ct/ci фактически меняется для различных веществ в пределах от 1 до 0, что соответствует изменению а от 0 до 1/2; при этом £ меняется от 0,874 до 0,955. На рис. 21 дан график зависимости | от а.

Задача

Плоскопараллельный пласт толщины h (среда 1) лежит на упругом полу­пространстве (среда 2). Определить зависимость частоты от волнового вектора для поперечных волн в пласте с направлением колебаний, параллельным гра­ницам пласта.

Решение. Выберем плоскость раздела между пластом и полупростран­ством в качестве плоскости х, у, причем упругому полупространству соответ­ствуют г <s 0, а пласту h ^ г ^ 0. В пласте имеем

«*! = %! = 0, иу1 = / (г) е1 а в среде 2 пишем затухающую в глубь нее волну:

, = Ле^У          и2 = (k2 - со74)1/2.

и

х2 "

и,2 = 0,

и

U2'

Для функции t (г) имеем уравнение

/Чк2/= 0, И1 = (со'/й-ку2

(мы увидим ниже, что должно быть »tf >0), откуда

f (г) = В sfn xtz С cos яхг.

На свободной границе пласта (г = h) должно быть агу = 0, т. е. диу1/дг = 0. На границе же между обеими средами (г = 0) имеем условия

uyi — %2>

Hi

ди

VI

дг

■■ |ха-

ди

»2

дг

1) Прн переходе от уравнения (24,11) к (24,13) теряется корень со® = 0 (щ —

е= щ = к), которому отвечает значение £ = 0, тоже удовлетворяющее усло­вию £<$ 1. Из уравнений (24,9—10) видно, однако, что этому*корню соответ­ствует равенство а = —Ь, и потому полное смещение и = uj -J- uj = 0, Т. е« движение вообще отсутствует;

(jxj, ji2 — модули сдвига обеих сред). Из этих условий находим три уравнения для А, В, С, условие совместности которых дает

tgKjfc = (X2K2/(1 jKf.

Это уравнение определяет в неявном виде зависимость «а от k\ оно имеет решения лишь при вещественных xt и и2, так что всегда с;2 > (o/k > сц. Отсюда шдно, что распространение рассматриваемых воли возможно лишь при условии С(2 -> с(1.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я