• 5

Задачи

1. Привести к квадратурам задачу об определении формы стержня круго­вого сечения (упругого прута), сильно изогнутого в одной плоскости приложен­ными к нему сосредоточенными силами.

Решение. Рассматриваем участок стержня между точками приложения сил; на таком участке F = const. Выберем плоскость изгиба в качестве пло­скости х, у, а ось у — параллельно силе F. Вводим угол 0 между касательной к линии стержня и осью у. Тогда dx/dl = sin 0, dyldl = cos 0, где x, у — коор.

дииаты точек стержня. Раскрывая векторные произведения в (19,10), получаем уравнение для 0 как функции длины дуги /

IE-—--F sin6=0.

Первое интегрирование дает

IE ( d%

и отсюда

(4-у

т/7ТГ С d& .

= ± V

(1)

Функция 0 (0 может быть выражена отсюда через эллиптические функции. Для координат х— j sin 0 dl, у == J cos 6 dl получаем

x = ± --U |/"27F V4 — F cos 0 + const,

(2)

 

, if IE f cosSdO , ,,

9am±V-r) i^-fc-e +const-

я          __

" VZ

Момент M (19,9) направлен по оси z и равен M = IE

2. Определить форму сильно изогнутого стсрж- Рис, 15     ня> ОДИ* конец которого заделан, а к другому, сво­

бодному, приложена сила f; направление f перпендику­лярно к прямой ведеформированного стержня (рис. 15). Решение. На всей длине стержня F = const =■ f. На заделанном конце 0=0) 0 = я/2, а на свободном (I — L, где L — длина стержня) М — 0, т. е. о' = 0. Вводя обозначение % = 6 (L), имеем в (1) ct = f cos 68:

It/2

dQ

I.

УЩ

VCOS0O—COS a

Отсюда получаем уравнение, определяющее 09:

я/2

dQ

УЧ

Kcos 00 — cos 0

Форма стержня определяется формулами

                                                 л/2

i-Y^r (l^cose^ — Kcos ев - cos а), Г          .

' '          я ^cos е" ~cos е

3. То же, если сила f, приложенная к свободному концу, направлена iia-i раллельно линии недеформированного стержня.

Решение. Имеем F = —f (оси координат выбраны указанным на рис. 16 образом). Граничные условия: 0=0 при / = О, (У = О при 1= L. Имеем

 

dQ

К cos 0 — COS 0„ '

где 0О определяется из I (60) = L, Для хну получаем

X =      (l/"l — COS е0 — Kcos U — COS00),

•           e

•л/~7Ё~С cos 0 dB

V ~W~)'

V^cos 0 — cos 8„

При слабом изгибе 8, < 1 и можно написать:

             в»

Г IP

Ju ^

V41

V4-.

т. е. 80 выпадает из этого соотношения. Это показывает, в согласии с резуль­татом задачи 3 § 21, что рассматриваемое решение существует только при n2IE/AL2, т. е, после потери устойчивости прямолинейной формой. 4. То же, если оба конца стержня оперты, а к его еередине нриложена сила f; расстояние между точками опоры есть

 

Рис. 16

 

Решение, Выбираем оси координат указа иным на рис. 17 образом. Сила F постоянна на каждом из участков А В и ВС, причем на каждом нз них перпендикулярна к линии стержня в точках опоры — соответственно Л и С. Разность значений F на АВ и ВС равна f, откуда заключаем, что на АВ F sin fle = = —//2, где 0„ — угол между осью у и линией АС. В точке А (I = 0) имеем усло­вия 0 = я/2 и М »» 0, 1. е, 0' = 0, так что на АВ

я/2

 

J^COSti '

Я/2

я==! 2^-у.sis0gcos' , ^ = ^-y-sin0,y/2 j l^cos

0 dQ.

Угол 60 определяется из условия, что проекция длины АВ на прямую АС должна быть равна Lj2, откуда имеем

П/2

2 \ t / J jAsme

0o

При некотором определенном значении 60, лежащем между 0 и я/2, производная df/dQо (где / рассматривается как функция от 0О) обращается в нуль и делается положительной. Дальнейшему уменьшению 0О, т. е. увеличению прогиба, соот­ветствовало бы уменьшение f. Это значит, что найденное решение делается не­устойчивым; стержень «проваливается» между опорами.

5. Привести к квадратурам задачу о пространственном сильном изгибе стержня под действием сосредоточенных сил.

Решение. Рассматриваем участок стержня между точками приложе­ния сил, на котором F= const. Интегрируя (19,10), получаем

£/[ 4--S-HFr]+cF;       (,)

постоянная интегрирования написана в виде вектора cF, направленного вдоль F, поскольку надлежащим выбором начала координат, т. е. прибавлением к г некоторого постоянного вектора, можно исключить аддитивный вектор, перпен­дикулярный к F. Умножая (1) скалярно и векторно на г' (штрих означает диф­ференцирование по I) и замечая, что г'г* = 0 (поскольку г' = 1), получаем

F £rr'] + cFr' = 0, Е1т" = [[Fr] r'J + с [Fr'J. В компонентах (ось г выбрана по направлению F)

(ху' - ух') + сг' = 0, Eh" — -F (хх' + уу'). Вводя в этих уравнениях цилиндрические координаты г, ф, г, получаем

rV + сг' = 0, Е/гГ = — Frr'.    (2)

Из второго уравнения имеем

z'-J--(A-r*),     (3)

где А — постоянная. Комбинируя (2) и (3) с тождеством

Г'2 + гаф'а + г'2 _ i(

получаем

rdr       Г          F2       11/2

после чего из (2) и (3) находим

F с (A — r*)r, cF f А— г» .

г~ ~2ЁТ~ J G (г) dr> ф = —Wrl-TGjrT^

чем и определяется форма изогнутого стержня,

6. Стержень кругового сечения подвергнут кручению (угол кручения т) и изогнут в винтовую линию. Определить силу и момент сил, которые должны быть приложены к концам стержня для того, чтобы удерживать его в таком со­стоянии.

Решение, Пусть R — радиус цилиндра, иа поверхности которого навита винтовая линия (ось г выбираем по оси этого цилиндра), а а — угол между ка-

сателыгой к линии и плоскостью, перпендикулярной к оси г; шаг винтовой ли­нии h связан сан/? посредством h = 2яR tg а. Уравнения винтовой линии:

х — R cos ф, y=R sin ф, г — q>R tg а

(ф — угол поворота вокруг оси 2); элемент длины дуги dl = R Лр/cos а. Под­ставляя эти выражения в (19,7), вычисляем компоненты вектора М, а затем по формуле (19,3) — силу F (постоянную вдоль всей длины стержня). В резуль­тате находим, что сила F направлена по оси г и равна

„ „ . sina EI „

F,~F = С т —             ррг cos2 a sin a.

R         Ri

Момент M имеет составляющую по осн г:

EI

Мг = Ст sin a + —cos3 a

и составляющую My, направленную в каждой точке стержня по касательной к окружности поперечного сечения цилиндра, равную Мф = FR.

7, Определить форму гибкой нити (сопротивлением которой на изгиб можно пренебречь по сравнению с сопротивлением на растяжение), подвешенной за две точки в поле тяжести.

Решение, Выбираем плоскость, в которой расположена нить, в каче­стве плоскости х, у с осью у, направленной вертикально вниз. В уравнении (19,3) можно пренебречь членом dtA/dl, поскольку М пропорционально El. Тогда [Ft] = 0, т. е. F направлено в каждой точке нити по t и можно написать F = = Ft, Уравнение (19,2) дает теперь

= тг('-£)-«

(q — вес единицы длины нити), откуда

F dx -..с fJE   А

t dl ~Ct * dl ~qL

Отсюда имеем F = Ус2 + q'£l'£, так что

dx        A         dy        I

dl у /2 ' dl У A2 + I3 (где A — c/q), Интегрирование дает

откуда

x — A Arsh ,  +

Л ch-J-,

т. е. нить имеет форму цепной линии. Выбор начала координат и постбЯШШ^ А определяются тем, что кривая должна пройти через две заданные точки и должна иметь заданную длину.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я