• 5

Задачи

1.         Определить время, в течение которого соприкасаются два сталкива­ющихся упругих шара.

Решение. В системе отсчета, в которой центр инерции обоих шаров покоится, энергия шаров до столкновения равна кинетической энергии относи­тельно движения fit^/2, где v — относительная скорость сталкивающихся шаров, a f* = т.хт.г1(тх -f- Щ)•—их приведенная масса. В течение столкновения пол­ная энергия равна сумме кинетической энергии, которую можно иаписать в виде (хЛ2/2, и потенциальной энергии (9,15). В силу закона сохранения энергии имеем

/ dh V , иич. 2 . 4 / RR' у/3

Максимальное сближение шаров h0 соответствует моменту, когда их относитель­ная скорость h обращается в нуль, и равно

Время т, в течение которого длится столкновение (т. е. h меняется от 0 до h0 и обратно до нуля), равно

т = 2 Г dh = 2            Г dx

J („«-ftftV./n)'/. \k*v) J/J—

о          0

или     _

4 ^я Г (»/,)/ ^ \V. / ия У/' т- 5г(ч/ю)  -2'9Ч1ь; •

Пользуясь при решении этой задачи полученными в тексте статическими формулами, мы тем самым пренебрегаем упругими колебаниями шара, возни­кающими при столкновеняи. Возможность такого пренебрежения требует, чтобы скорость v была достаточно мала по сравнению со скоростью звука. Фактически, однако, применимость этой теории ограничивается еще раньше благодаря тому, что возникающие при столкновении деформации переходят за предел упругости вещества.

2.         Определить размеры области соприкосновения и распределение давления в ией прн сдавливании двух цилиндров вдоль их образующих.

Решение. Область соприкосновения представляет собой в этом случае узкую полоску вдоль длины цилиндров. Ее ширину 2а и распределение давления в ней можно найти из полученных в тексте формул путем предельного перехода b!a со. Распределение давления будет функцией вида

1 /

Рг (*) = const- у 1 —

(х— координата вдоль ширины полосы соприкосновения); нормируя ее на от­несенную к единице длины цилиндров сдавливающую силу F, получим

Подставляя это выражение в (9,7) и производя интегрирование с помощью (9,8), имеем

оо

л_ 4DF С ___d§__ _ 8DF

~~ Зя J (а2 + _ Злаа

а

Один из радиусов кривизны цилиндрической поверхности бесконечен, а другой совпадает с радиусом цилиндра; поэтому в данном случае

Окончательно находим для искомой ширины полосы соприкосновения:

_ / 16DF RR' Ч'/« 0 ~ V Зя R + R' ) '

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я