• загрузка...

§ 6. Реальные газы. Газ Ван-дер-Ваальса

загрузка...

6.1.      Найти выражение для давления, температуры и объема газа в критической точке и установить связь между этими величинами, предполагая, что вещество подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса.

6.2.      Записать уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенных пара­метрах

т          р          v

т = —, л = J-, ф = у-,

кр        кр        кр

когда за единицы приняты критическая температура, критическое давление и критический объем моля газа.

6.3.      Критическая температура углекислоты (С02) равна 31 °С, критическое давление 73 атм. Определить критический объем VKp моля С02.

6.4.      Найти постоянные уравнения Ван-дер-Ваальса для азота, если tKр азота равна —146,9 °С, Ркр = 33,55 атм.

6.5.      Найти критическую плотность воды, если критическое дав­ление для воды равно Ркр = 218,3 атм, а критическая температура Ткр = 647,3 К, предполагая, что вода подчиняется уравнению Ван- дер-Ваальса.

6.6.      Принимая постоянную а Ван-дер-Ваальса для воды равной 5,45-106 атм-см6/моль2, найти внутреннее давление воды Р.

6.7.      Если температура газа ниже так называемой температуры Бойля, то при изотермическом сжатии его произведение PV сначала убывает, проходит через минимум, а затем начинает возрастать. Если же температура газа выше температуры Бойля, то при изотер­мическом сжатии произведение PV монотонно возрастает. Убедить­ся в этом и выразить температуру Бойля через критическую темпе­ратуру для газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса.

6.8.      Критические температура, давление и плотность водорода равны Гкр = 33,24К, Ркр=12,8атм, ркр = 0,0310г/см3. Пользуясь этими данными и предполагая, что водород подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса, найти его молярную массу ц.

6.9.      Атмосфера Венеры почти целиком состоит из С02. Найти давление на поверхности планеты, если плотность газа р = 0,07 г/см3 и его температура Т = 750 К. Газ считать ван-дер-ваальсовским с критическими параметрами Ркр = 73 атм, VKp = 94 см3/моль и Гкр = 304 К. Провести сравнение с давлением идеального газа при тех же условиях.

6.10.   Найти выражение для изотермической сжимаемости га­за Ван-дер-Ваальса.

6.11.   Найти температурный коэффициент расширения а для га­за Ван-дер-Ваальса при постоянном давлении.

6.12*. На рис. 353 кривая CLMGD представляет одну из реаль­ных изотерм вещества, а пунктирная кривая ALKGB отделяет об­ласть однофазного состояния вещества от области двухфазного. Показать, что в состоянии, изображаемом точкой М, массы жидкой

и газообразной фаз относятся как гпж/тг = MG/LM (правило рычага). "     6.13. Чему равна теплоемкость

у          Ср вещества в двухфазном состоя-

\ к        нии, изображаемом точкой под кри-

\           вой ALKGB (рис. 353)?

—И7—6.14*. Найти распределение плот-

tL. М U ч4^     ,

/           ности в поле силы тяжести физически

'л         J3        однородного вещества, подчиняюще-

v гося уравнению Ван-дер-Ваальса, в окрестности критической точки.

Рис.353          6.15. Как впервые было указано

А. Г. Столетовым (1892 г.), для приве­дения жидкости, заключенной в данный объем, в критическое состо­яние должно быть взято вполне определенное количество ее. Рассмот­реть следующий пример. Сосуд, объем которого = 15 см3, должен быть наполнен водой при температуре t{ = 18 °С с таким расчетом, чтобы при нагревании ее в данном сосуде (предварительно откачан­ном и запаянном) до критической температуры в нем установилось критическое давление. В предположении, что вода подчиняется урав­нению состояния Ван-дер-Ваальса, найти, какой объем воды должен быть налит в сосуд, если известно, что критическая температура воды Гкр = 647,3 К, критическое давление Ркр = 218,3 атм, молярная мас­са ^ = 18 г/моль, плотность при 18 °С равна р = 1 г/см3.

6.16.   Для демонстрации исчезновения мениска в критической точке цилиндрическую ампулу высоты h0 наполняют смесью жид­кости и ее паров со средней плотностью содержимого р. Каково до­пустимое отклонение р от критической плотности ркр, при котором в процессе нагревания ампулы мениск исчезнет, не коснувшись ее дна или верхушки?

6.17.   После демонстрации критического состояния вещества ам­пула, заполненная эфиром, охлаждается. Оказалось, что при неко­торой температуре Т жидкость, плотность которой рж = 1,9ркр, за­полняет ровно половину пробирки. Определить эту температуру Т. Критическая температура эфира Ткр = 467 К.

6.18.   В откачанную ампулу заливают эфир при температуре 18 °С и запаивают ее. Какая часть ампулы должна быть заполнена жидко­стью, чтобы после нагрева до критической температуры Гкр = 467 К эфир оказался в критическом состоянии? Известны Ркр = 35,5 атм,

плотность жидкого эфира рж = 0,714 г/см3, Ртс(18°С) = 400 Тор. Считать, что к указанному эфиру применима модель газа Ван-дер- Ваальса.

6.19.   Рассматривая удельную теплоту испарения X как работу, затрачиваемую на преодоление внутреннего давления Ph найти за­висимость между Рп X и плотностью жидкости р. Считать, что жид­кость подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса.

6.20.   Доказать, что теплоемкость Су газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, не зависит от объема, а является функцией только температуры. Найти выражение для внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса, теплоемкость которого не зависит от температуры.

6.21.   Два моля газа Ван-дер-Ваальса при температуре Т занима­ют объем V. Найти работу, которую совершит газ при квазистати­ческом изотермическом расширении до объема 2V. Постоянные газа а и b считать известными.

6.22.   Моль азота расширяется в вакуум от начального объема 1 л до конечного 10 л. Найти понижение температуры АТ при таком про­цессе, если постоянная а в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота рав­на 1,35-106 атм-см6/моль2.

6.23.   Два сосуда с объемами и V2 соединены трубкой с кра­ном. В каждом из них при закрытом кране находится по одному молю одного и того же газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер- Ваальса. До открытия крана температура газа в обоих сосудах была одинакова и равна Т. Нагреется или охладится газ, если открыть кран? На сколько при этом изменится температура газа? Опреде­лить давление газа после открытия крана. Стенки сосуда и соединя­ющей их трубки считать адиабатическими, а теплоемкость Су — не зависящей от температуры.

6.24.   Два баллона с объемами Vv = V2 = V = 1 л соединены трубкой с краном. В объеме Vy находится воздух под атмосферным давлением, а объем V2 откачан до предельного вакуума. Считая, что воздух подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса, а стенки баллонов и трубки адиабатические, определить, на сколько изменится температура газа после открытия крана. Начальная температура Т = 290 К, для воздуха а = 1,31 ■ 106 атм-см6/моль2.

6.25.   Азот при критической температуре Ткр — 126 К имеет кри­тический объем Ккр = 92,1 см3/моль. Считая, что азот подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса, найти понижение температуры 7 г азо­та при расширении в вакуум от объема V{ = 5 л до объема V2 = 50 л.

6.26.   Какое количество тепла надо подвести к одному молю газа Ван-дер-Ваальса, чтобы при расширении в вакуум от объема до объема V2 его температура не изменилась?

6.27.   Какое количество тепла надо подвести к одному молю газа Ван-дер-Ваальса, чтобы при расширении в вакуум от объема Vt до объема V2 его давление осталось постоянным и равным Р?

6.28.   Найти СР — Су для моля газа Ван-дер-Ваальса.

6.29.   Найти выражение для энтропии v молей газа Ван-дер- Ваальса.

6.30.   Найти уравнение политропы для газа Ван-дер-Ваальса, считая, что его теплоемкость С не зависит от температуры.

6.31.   Показать, что в критической точке для любого вещества разность СР — Су, а также теплоемкость СР обращаются в беско­нечность.

6.32.   Два моля газа Ван-дер-Ваальса адиабатически и квазиста­тически расширяются от температуры Тj и объема К, до объема V2. Найти работу, совершенную газом. Постоянные газа а и b считать известными. Теплоемкость газа Су не зависит от температуры.

6.33.   Найти уравнение процесса для одного моля газа Ван-дер- Ваальса, в котором теплоемкость изменяется по закону С = кТ2, где к — постоянная величина. Считать, что Су от температуры не зависит.

6.34.   Найти уравнение процесса для произвольного вещества, при котором теплоемкость изменяется по закону С = aVT, где а — постоянная величина. Получить как частный случай уравнение та­кого процесса для газа Ван-дер-Ваальса. Постоянные газа Ван-дер- Ваальса и его теплоемкость при постоянном объеме (Cv = const) считать известными.

6.35.   Для газа Ван-дер-Ваальса найти уравнение процесса, для которого постоянна внутренняя энергия. Как молярная теплоем­кость для этого процесса зависит от температуры Т, если молярная теплоемкость Су известна?

6.36.   Два моля азота изотермически сжимаются от объема V при нормальных условиях до объема V/10. Какое количество тепла вы­деляется при этом? Постоянные Ван-дер-Ваальса для азота а и b считать известными.

6.37.   Один моль газа Ван-дер-Ваальса расширяется по политропе

Определить изменение энтропии газа, если его температура измени­лась от Тj до Т2. Теплоемкость Су постоянна.

6.38.   Найти изменение энтропии одного моля газа, константы Ван-дер-Ваальса а и Ъ которого известны, при изотермическом про­цессе, в результате которого внутренняя энергия его увеличилась на Д£/. В начале процесса объем газа был V0.

6.39.   Найти изменение энтропии одного моля двухатомного газа Ван-дер-Ваальса, расширяющегося по политропе

при изменении температуры от Тх = 680 К до Т2 = 250 К. Считать, что Су не зависит от температуры.

6.40. Газ Ван-дер-Ваальса вначале расширяют в вакуум от ис­ходного объема VQ до 2 V0, а затем изотермически сжимают до V0/2.

(V — b)T = const.

 

Найти изменение энтропии одного моля газа, считая известными константы а и Ь, а теплоемкость Су не зависящей от темпертатуы Т. Начальная температура газа Т0.

6.41.   Газ Ван-дер-Ваальса сначала изотермически при темпера­туре Т0 сжимают от исходного объема V0 до Ко/2, а затем рас­ширяют в вакуум до объема 2V0. Найти изменение энтропии одного моля газа, считая известными константы а и Ь, а теплоем­кость Су не зависящей от темпертатуы Т.

6.42.   Для изотермического сжатия одного моля газа Ван-дер- Ваальса была затрачена работа А. При этом энтропия газа измени­лась по абсолютной величине на R/8, где R — универсальная газо­вая постоянная. Определить температуру этого процесса, если ис­ходный объем был равен утроенному критическому. Постоянные Ван-дер-Ваальса а и Ъ считать известными.

6.43.   Теплонепроницаемый сосуд разделен теплонепроницаемой перегородкой на две части одинакового объема V. В каждой из частей находится по одному молю одного и того же газа Ван-дер- Ваальса, причем давление в одной части сосуда Ри а в другой — Р2. Какое давление установится в сосуде после снятия перегородки? Константы а и Ь, а также теплоемкость Су известны.

6.44.   Теплонепроницаемый сосуд разделен теплопроницаемой перегородкой на две части с объемами Vi и V2   В объеме Vi находится один моль газа Ван-дер-Ваальса под давлением Pl0, а в объеме V2 газа нет. Затем перегородку убирают, а когда половина массы газа переходит из объема в объем V2, перегородку вновь устанавливают на то же место. Определить установившееся в объе­ме V2 давление Р2, полагая газ в объеме V2 идеальным. Константы а и Ь, а также теплоемкость Су известны, теплоемкостью перегород­ки пренебречь.

6.45.   Один моль азота сжат при температуре О °С до объема, равного 1 л. Найти изменение его энтропии при расширении без подвода тепла и без совершения работы до атмосферного давления. Критическая температура азота равна —147 °С, а его критический объем составляет 0,092 л/моль. Считать, что в сжатом состоянии азот подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса, а в расширенном ве­дет себя как идеальный газ. Теплоемкость Су считать не зависящей от температуры.

6.46.   Теплоизолированный сосуд объема V0 разделен непроница­емой перегородкой на две равные части, в одной из которых нахо­дится один моль газа Ван-дер-Ваальса при температуре Т0, а другая вакуумирована. Перегородку быстро удаляют, и после того, как газ равномерно заполняет весь сосуд, его квазистатически сжимают до начального объема теплонепроницаемым поршнем. Определить из­менение энтропии AS и внутренней энергии AU по сравнению с их первоначальными значениями. Для газа Ван-дер-Ваальса известно, что а 0, a b = 0. Считать, что Су = const.

6.47.   Теплоизолированный сосуд объема V0 разделен непрони­цаемой перегородкой на две равные части, в одной из которых на­ходится один моль газа Ван-дер-Ваальса при температуре Т0, а другая вакуумирована. Перегородку быстро удаляют, и после того, как газ равномерно заполняет весь сосуд, этот газ квазистатически сжимают до начального объема теплонепроницаемым поршнем. Определить изменение энтропии AS и внутренней энергии AU по сравнению с их первоначальными значениями. Для газа Ван-дер- Ваальса известно, что b ^ О, а а = 0. Считать, что ЫVQ<зс 1 и Су = const.

6.48.   Моль газа адиабатически и квазистатически расширяется от начального объема V{) до некоторого объема V. В каком случае охлаждение газа будет больше: когда газ подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса или когда он идеальный? Теплоемкости Cv обоих газов равны между собой и не зависят от температуры.

6.49.   Моль газа адиабатически и квазистатически расширяется от начального давления Р0 и температуры Т0 до некоторого давле­ния Р. Считая, что газ подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса с постоянными а = 0, b ^ 0, найти его конечную температуру. Тепло­емкость газа Су от температуры не зависит. Сравнить конечную температуру этого газа с температурой, которую будет иметь иде­альный газ с той же теплоемкостью Су.

6.50.   Найти теплоемкость газа Ван-дер-Ваальса в процессе, в котором тепло, сообщенное газу, равно уменьшению его внутренней энергии. Теплоемкость Су и постоянную Ван-дер-Ваальса а считать известными.

6.51Г Найти выражение для теплоты испарения Л моля жидко­сти при постоянной температуре Т под давлением ее насыщенного пара в предположении, что уравнением состояния жидкости и ее па­ра является уравнение Ван-дер-Ваальса. Считать известными тем­пературу Т и молярные объемы жидкости Уж и ее насыщенного пара Vn при этой температуре.

6.52.   Один моль эфира, находящегося в критическом состоянии, расширяется в теплоизолированный вакуумированный сосуд, так что его объем увеличивается в N= 17 раз. Считая, что теплоем­кость эфира Су = 3R от температуры не зависит, определить изме­нение энтропии эфира в этом процессе.

6.53.   При политропическом расширении одного моля много­атомного газа Ван-дер-Ваальса (теплоемкость процесса С = 4R) энтропия увеличилась на AS = R. Во сколько раз увеличился объ­ем газа, если начальный объем равен утроенному критическому объему?

6.54.   При политропическом расширении одного моля одноатом­ного газа Ван-дер-Ваальса от критического до утроенного критиче­ского объема энтропия газа увеличилась на AS = 2R. Определить теплоемкость политропического процесса.

6.55.   Вычислить изменение свободной энергии 1 кмоль газа Ван- дер-Ваальса (а = 1,39 • 105 Па ■ м6/кмоль2, b = 0,039 м3/кмоль) при изотермическом расширении (Т0 = 300 К) от У0 = 0,05 м3 до К, =0,1 м3.

6.56.   Закрытая с обеих сторон металлическая труба заполнена гелием при нормальных условиях. Оценить, с какой точностью надо измерять частоту акустического резонанса этой трубы, чтобы заме­тить, что газ не идеальный? Считать, что гелий подчиняется урав­нению Ван-дер-Ваальса. Критическая температура гелия Ткр = 5,2 К, а диаметр атома гелия d % 2 А.

6.57.   Найти скорость звука в газе Ван-дер-Ваальса вблизи кри­тической точки. Константы а и b газа и его молекулярную массу ц считать известными. Теплоемкость Cv задана и не зависит от тем­пературы. Процесс считать адиабатическим.

6.58.   Определить, во сколько раз отличаются изотермическая (Зг и адиабатическая |35 сжимаемости (3//(3^- для 1 моля одноатомного газа Ван-дер-Ваальса при температуре Т = 50 К и давлении 20 атм. Считать, что теплоемкость Су данного газа такая же, как у идеаль­ного, константа а = 0,0035 Па-м6/моль2.

6.59.   В вертикальном цилиндре под поршнем массы М и площа­ди а находится один моль газа Ван-дер-Ваальса, константы а и b которого известны. Найти период малых колебаний поршня т около положения равновесия, считая процесс сжатия и разрежения изо­термическим, причем Т = 2Ткр. Равновесный объем газа в условиях опыта принять равным критическому.

6.60.   Моль гелия имеет объем V = 0,1 л и находится при темпера­туре t = 0 "С. Измерение величины (у — 1), где у = СР/СУ в этих ус­ловиях показало, что эта величина на 3 % отличается от своего зна­чения для разреженного гелия. Используя модель Ван-дер-Ваальса, найти константу а для гелия, пренебрегая при анализе членами по­рядка a2, ab, b2.

6.61.   Найти работу, совершаемую двигателем, работающим по циклу, состоящему из двух изохор и двух изотерм. Рабочим вещест­вом является один моль газа Ван-дер-Ваальса. Начальный объем Vi = 5b, конечный V2 = 6b, где b — константа Ван-дер-Ваальса. Тем­пературы на изотермах tx = 10 °С, t2 = 20 °С.

6.62.   Найти КПД цикла, состоящего из адиабаты, изотермы (температура Ти объем уменьшается от V2 до и изохоры (объем Vly температура увеличивается от Т{ до Т2). Рабочим ве­ществом является 1 моль газа Ван-дер-Ваальса, константы а и b которого известны, а теплоемкость Су не зависит от темпе­ратуры.

6.63.   Найти КПД тепловой машины, работающей по циклу, со­стоящему из двух изохор V и 2V и двух изобар Р и 2Р. Рабочим веществом является газ Ван-дер-Ваальса. Константы а и b считать известными. Теплоемкость газа Cv считать постоянной.

6.64.   Определить КПД цикла, состоящего из двух изохор с объ­емами V\ и V2 и двух адиабат. Рабочим веществом является газ Ван-дер-Ваальса, константы а и b которого заданы, а теплоемкость Су не зависит от температуры.

6.65.   Теплоизолированный сосуд объемом 2 л с жесткими стен­ками разделен подвижной проводящей тепло перегородкой на две части. С обеих сторон перегородки находится кислород: слева — 5 молей, справа — 1 моль. В начальный момент перегородка удер­живается и делит сосуд на две равные части. Затем она освобожда­ется. Какое количество тепла Q нужно подвести к газу или отвести от него после установления равновесия для того, чтобы температура газа осталась неизменной? Считать, что кислород подчиняется урав­нению Ван-дер-Ваальса с постоянной а = 1,3 атм-л2/моль2.

6.66.   Получить формулу для изменения температуры газа в дифференциальном эффекте Джоуля—Томсона, предполагая, что газ подчиняется уравнению состояния Ван-дер-Ваальса.

6.67.   Рассмотреть предельный случай формулы для эффекта Джоуля—Томсона (см. ответ предыдущей задачи), предполагая газ настолько разреженным, что квадратами и высшими степенями по­правок а и b можно пренебречь. Показать, что при температурах выше так называемой температуры инверсии Гинв дифференциаль­ного эффекта Джоуля—Томсона газ при дросселировании будет на­греваться, а при температурах ниже температуры инверсии — ох­лаждаться. Получить выражение для Гинв и установить связь этой температуры с критической температурой Гкр.

6.68.   Показать, что газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер- Ваальса, с а = 0 в опыте Джоуля—Томсона всегда нагревается. Определить повышение температуры при расширении.

6.69.   Показать, что газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер- Ваальса, с b = 0 в опыте Джоуля—Томсона всегда охлаждается. Определить понижение температуры при расширении.

6.70.   При какой температуре Т гелий в опыте Джоуля—Томсона начнет охлаждаться, если известно, что критическая температура гелия Ткр = 5,2 К? Считать, что состояние гелия описывается урав­нением Ван-дер-Ваальса.

6.71.   Предполагая, что газ подчиняется уравнению Ван-дер- Ваальса, найти уравнение кривой инверсии, т. е. такой кривой в плоскости (V, Т), при переходе через которую эффект Джоуля— Томсона меняет знак.

6.72.   Расширение газа в процессе Джоуля—Томсона произво­дится от начального состояния (Т, V) до сильно разреженного со­стояния, в котором газ может считаться идеальным. Если началь­ное состояния газа изображать на диаграмме (Т, V), то на ней можно начертить кривую, которая делит плоскость Т, V на две об­ласти: точкам одной области соответствует АТ < 0 (газ охлаждает­ся), а другой АТ > 0 (газ нагревается). Эта кривая называется кривой инверсии интегрального эффекта Джоуля—Томсона. Найти ее уравнение и начертить кривые инверсии для азота, водорода и

гелия в предположении, что эти газы подчиняются уравнению Ван-дер-Ваальса.

6.73. Вычислить, во сколько раз отличаются изменения темпе­ратуры при эффекте Джоуля—Томсона и при обратимом адиабати­ческом расширении газа Ван-дер-Ваальса. Перепад давления в обо­их случаях одинаков и невелик, Ткр/Т = 0,4 и Ккр/К = 0,09, где Ткр и VKp — критические температура и объем.           ^ , ,

Указание. Коэффициент теплового расширения а = у Ку находится дифференцированием уравнения Ван-дер-Ваальса.

6.74? Теплоизолированный сосуд наполнен газообразным гелием при температуре 7*0 = 10 К (выше критической точки). Газ медлен­но вытекает через капиллярную трубку до тех пор, пока давление в сосуде не станет равным = 1 атм, а температура Тх = 4,2 К (точ­ка кипения гелия при нормальном давлении). Найти начальное дав­ление газа в сосуде Р, если в конце процесса сосуд оказался полно­стью заполненным жидким гелием. Молярная теплота испарения ге­лия при 4,2 К равна Л = 20 кал/моль. Газообразный гелий считать идеальным газом.

6.75.   Двухатомный газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер- Ваальса, при температуре 300 К охлаждается в процессе Джоуля— Томсона на 0,024 К при уменьшении давления на 0,1 атм. Найти критическое давление и критический объем, если критическая тем­пература равна —147 °С

6.76.   Аргон дросселируется от давления Рх = 100 атм до давления Р2 = 1 атм. Предполагая процесс установившимся, определить ко­личество теплоты Q, которое необходимо подводить к одному молю газа, чтобы температура его поддерживалась постоянной и равнялась Т = 300 К. Считать аргон газом Ван-дер-Ваальса с Су = const, Ъ = 32,2 см3/моль и критической температурой Гкр = 150,65 К. При вычислениях пренебречь квадратами и высшими степенями попра­вок а и Ъ.

6.77.   Определить изменение внутренней энергии одного моля ре-

_ RT(V + b) ( а \ ального газа, подчиняющегося уравнению Р =                    ехР | ~ rtv)

при изотермическом расширении с температурой Т от объема V{ до объема V2. Константы а и b известны.

6.78.   Определить приращение энтропии при изотермическом рас­ширении (Т0) одного моля реального газа от объема V0 до V0 + dV,

п RT    ( а \

если его уравнение состояния имеет вид: Р — v __ь ехр — I.

Константы а и Ъ известны.

6.79.   Найти изменение теплоемкости А Су одного моля гелия при изотермическом расширении от объема Vx = 0,5 л до объема V2 = 1 л при температуре Т = 10 К. Считать газ подчиняющимся

уравнению Бертло: ^Р +-^-^(V — b) = RT, в котором для гелия

a/R= 1,9 л-К2/моль.

Авторы: 1381 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1911 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я