• 5

§ 7. Средние величины

Выше были рассмотрены случаи, когда случайные ошибки опыта приводят к разбросу результатов измерения вокруг истинного зна­чения. При этом было выяснено, что наилучшим значением изме­ряемой величины является среднее (арифметическое), вычисленное из результатов измерения. Не всегда, однако, разброс результатов связан с ошибками измерения. Пусть, например, мы хотим изме­рить диаметр проволоки, сечение которой не является вполне точ­ным кругом или толщина которой несколько меняется по длине. Разброс результатов связан в этом случае не с погрешностями из­мерения, а с несовершенством формы проволоки. Имеет ли в этом случае смысл вычислять средние значения, например средний диа­метр проволоки?

Рассмотрим кусок проволоки, состоящий из двух участков, слегка отличающихся по диаметру. Пусть диаметр левого участка проволоки равен 10,0, диаметр правого участка равняется 10,2 мм, а длины участков равны 5 см. Объем проволоки V равен, очевидно,

V = y^Dl + 1Unh2D\ = 1/4я • 5 - (1,002 + 1,022) см3.

Будем измерять диаметр проволоки штангенциркулем. В ре­зультате измерения будут получаться разные цифры: то 10,0 мм, то 10,2 мм. Мы можем не обратить внимания на то, что результат 10,0 мм получается всегда при измерениях на левом конце, а ре­зультат 10,2 мм — при измерениях на правом конце проволоки, и приписать разброс результатов случайным ошибкам опыта. Мы

будем считать в этом случае, что проволока имеет всюду одинаковое сечение, и вычислим ее средний диаметр dcp — 10,1 мм. При этом объем проволоки V1 окажется равным

У1-1/4я-10(1,01)2.

Сильно ли мы ошибемся? Заметим, что

(1,00)2 + (1,02)2 = 2,0404, 2 (1,01)2 = 2,0402.

Расхождение составляет, таким образом, всего 0,01%!

Пусть измерения диаметра производились при этом с точностью 0,05 мм. Применяя формулу (В. 14), найдем, что погрешность в из­мерении V равна

AV/V = 2M/d = 2- 0,05/10=1%.

Наше расхождение лежит, следовательно, в существенно более далеких знаках, чем ошибка опыта, и не играет никакой роли. Расхождение наших результатов станет существенным только в том случае, если измерения диаметра сделаны с точностью 1/2-0,01% = = 0,005%, т. е. с точностью 0,0005 мм. Ступенчатая форма про­волоки при такой точности измерений, конечно, обязательно будет обнаружена.

Пусть теперь тонкий участок проволоки имеет длину 2 см, а толстый участок — длину 8 см. Истинный объем проволоки равен

V = 1Un [2-1,002 + 8-1,022] = 1/4я. 10,3232 см3.

Предположим теперь, что при измерениях наличия ступеньки не было обнаружено. Если измерения проводить достаточно много раз по всей длине проволоки, то результат 10,2 мм будет встречаться в 4 раза чаще, чем 10,0, и среднее значение диаметра окажется рав­ным Чъ (1 -10,0 + 4-10,2) - 10,16 мм.

Для объема проволоки найдем при этом

Vx = • Ю • (1,016)2 = 1/4я • 10,32256 см3.

Расхождение между результатами составляет в этом случае 0,00694), что снова существенно меньше погрешности измерений.

Мы приходим, таким образом, к неожиданному выводу. Во многих случаях (практически почти всегда) при не очень большом разбросе результатов нет нужды устанавливать, в чем лежит при­чина разброса: в неточности измерений или в несовершенстве изме­ряемого объекта. В обоих случаях усреднение результатов приводит нас к правильному ответу.

Сформулированный выше вывод справедлив, конечно, только в том случае, если методика измерений является правильной. В на­шем случае следует промерять диаметр проволоки равномерно по

всей ее длине. Измерения одного правого или одного левого конца немедленно приведут к ошибочному результату.

Как мы видели выше, усреднение результатов является полез­ным методом, позволяющим существенно улучшить точность ре­зультатов. Не всякое, конечно, усреднение имеет смысл. Полезно вычислить средний диаметр почти однородной проволоки, но не имеет никакого смысла вычислять средний диаметр мотков прово­локи, имеющихся на складе, или средний вес гирь разновеса.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я