• 5

§ 5. Вычисление погрешностей. II

При рассмотрении погрешностей измерений мы до сих пор огра­ничивались случаями, когда интересующая нас физическая вели­чина непосредственно получалась в результате измерения. Это не всегда имеет место. Так, для измерения плотности чаще всего изме­ряют массу тела М и его объем 1/, а саму величину плотности р находят путем вычисления

p = M/V.          (В.9)

Как найти ошибку в измерении р, если ошибки измерения М и V известны? Как вычислить ошибку в других подобных случаях? Ответ на этот вопрос снова дает теория вероятностей; мы приведем его здесь без вывода.

I случай. Пусть зйачение искомой физической величины х находится путем сложения нескольких других величин:

х = А + В + С + ...      (В.10)

Наилучшее значение х находится при этом путем сложения наилуч­ших значений Л, В, ... по формуле (В. 10), а стандартная ошибка х, которую мы будем обозначать аХ9 связана со стандартными ошиб­ками в измерении слагаемых: оАу ов и т. д. формулой

(7* = >^ + (7Ь+(72С+... •      (В-1 1)

Стандартные отклонения оАу ов и т. д. могут быть при этом либо получены из опыта (если значения Л, В и т. д. непосредственно измерены), либо найдены путем вычисления (если значения Л, В, ... сами получены в результате расчетов).

II случай. Пусть искомая величина х связана с другими величинами Л, Б, С и т. д. с помощью формулы

х = ЛаВ*& .... (В. 12)

где а, (3, у — любые числа, целые или дробные, положительные или отрицательные. Теория вероятностей показывает, что наилучшее значение х снова вычисляется с помощью (В. 12) через наилучшие значения Лср, Вср, Сср и т. д., т. е.

*ср = Л?р-Я?р-С?р (ВЛЗ)

а ошибка измерения находится по формуле

°*=]f +  (В. 14)

*ср V   ср        ср        ср

Как и в первом случае, при этом безразлично, получены величины стл, ав и т. д. прямо из опыта или найдены путем расчета из других, уже непосредственно измеренных величин.

Рассмотрим в качестве примера формулу (В.9) для нахождения плотности р. С помощью (В. 14) находим

о V м

+          (В.15)

Заметим, что формулы (В. 11) и (В. 14) очень похожи одна на другую: складываются всегда квадраты ошибок. Но в том случае, когда искомая величина получается из измеренных путем суммиро­вания или вычитания, складывать следует квадраты абсолютных ошибок аА, ов и т. д., а когда искомая величина является про­изведением или частным непосредственно измеренных, — суммиру­ются квадраты относительных ошибок оа/А, gb/B и т. д.

Общий случай. Укажем для справок общую формулу для вычисления погрешностей. Пусть искомая величина х является некоторой функцией других величин Л, В, С и т. д., так что

* = /(Л, в, с, ...).          (В. 16)

В этом случае

-Ktar л+(ЙГ «*+(«)"<*+• • - <в-17>

где df/dA обозначает, как обычно, частную производную / по Л и т. д., а оов и т. д. — стандартные отклонения для величин А, В, С, ... Частные производные, вычисляются при наилучших зна­чениях Л, В, С и т. д.

Точность вычисления погрешностей. Как уже было выяснено выше, стандартное отклонение о или полная ошибка Дполн характе­ризуют реальные ошибки опыта лишь по порядку величины. При вычислении о и Дполн достаточно поэтому производить расчеты с точностью 10—20%. Более точное вычисление погрешностей не имеет никакого смвюла и потому само является ошибкой.

Формулы (В.И), (В. 14) и (В. 17) позволяют не только правильно оценить погрешности опыта, но и правильно построить измерение.

Рассмотрим два примера. Для определения удельного веса изме­ряется объем и вес тела. Погрешности опыта вычисляются в этом случае по формуле (В. 15). Пусть тело имеет массу 50 г, объем 25 см3 и обладает неправильной формой. Для измерения объема поместим его в мензурку с водой. Пусть объем воды, вытесненный телом, определяется при этом с точностью 0,5 см3, т. е. ovIV = = 0,5/25 = 2%.

При идеально точном взвешивании погрешность в измерении удельного веса ар/р также составит 2%. При измерении массы с точностью до 1% эта погрешность будет равна ]/12 + 22 = 2,2%, т. е. почти не изменится. Нет, следовательно, никакого смысла измерять вес тела с точностью лучше, чем 1 %, т. е. с ошибкой меньше 0,5 г. Измерять вес с помощью хороших аналитических весов было бы в этом случае напрасной тратой времени.

Другой пример. Измерим толщину стенок тонкостенной трубки большого диаметра. Можно измерить толщину стенок трубки непо­средственно. Это нетрудно сделать микрометром с точностью 0,01 мм. Точность измерения стенки, имеющей толщину 0,5 мм, будет в этом случае равна 2%.

Можно попытаться измерить наружный диаметр трубки, затем ее внутренний диаметр и определить толщину стенки путем вычи­тания. Легко видеть, однако, что такой способ совершенно непри­годен для измерений. Прежде всего, наша тонкостенная трубка вряд ли является вполне круглой. Достаточно измерить внешний диаметр трубки в одном направлении, а внутренний — в другом, чтобы получить для толщины стенки, может быть, даже отрица­тельные значения. Пусть, однако, трубка оказалась идеально круг­лой. Обычные микрометры не позволяют измерять размеры, пре­восходящие 25 мм, и не приспособлены для измерения внутренних диаметров. Если же измерять диаметры штангенциркулем, ошибка будет составлять не 0,01 мм, а несколько сотых, возможно 0,1 мм, и мы снова получим грубо неверный ответ.

Пусть, наконец, мы разыщем прибор, позволяющий измерять наружные и внутренние размеры с точностью до 0,01 мм. Ошибка

в измерении их разности будет равна (см. формулу (В.11)) У 2 -0,01 = = 0,014 мм, т. е. все-таки 3, а не 2%.

Небольшие величины всегда следует измерять непосредственно, ни в коем случае не следует получать их вычислением как разность больших величин.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я