• 5

§ 3. Вычисление погрешностей. I

Будем сначала предполагать, что приборы не вносят заметных систематических ошибок в результаты измерений, так что все ошибки можно считать случайными. Как было выяснено выше, прежде всего следует произвести измерения несколько раз, чтобы ошибки в сторону преувеличения и в сторону преуменьшения ре­зультата встретились достаточное число раз и могли скомпенсиро­вать друг друга. Пусть в результате измерений получено п, вообще говоря, разных значений измеряемой величины аъ а2, ..., ая. При обработке полученных результатов возникают два вопроса: 1) как сконструировать из полученных значений наиболее вероятное зна­чение измеряемой величины и 2) чему равна ожидаемая ошибка измерений? Отвесна эти вопросы дается теорией вероятностей. Мы здесь приведем его без вывода.

Наиболее вероятное значение аср измеряемой величины а равно среднему арифметическому значений, найденных в результате изме­рений:

п *=1

Физический смысл формулы (В.2) очевиден. При вычислении сред­него арифметического ошибки в сторону преувеличения и преумень­шения результата наилучшим образом компенсируют друг друга.

Обратимся теперь ко второму вопросу: к оценке ошибок изме­рений. Не следует думать, что ошибки измерений могут быть най­дены из экспериментальных данных так же надежно, как, например, среднее арифмети­ческое. Вместе с тем сущест­вуют методы, позволяющие, исходя из данных опыта, ра­зумно оценить величину этих ошибок.

Для уяснения вопроса построим график распределе­ния ошибок (рис. 1). По оси абсцисс будем откладывать величину ошибок, допущен­ных в разных опытах. Ра­зобьем эту ось на ряд ин­тервалов I, —I, И, —II и т. д., как это сделано на рисунке. По оси ординат отложим число случаев, когда ошибка попала в данный интервал. По­лученные в результате опыта данные измерений предстанут после этого в виде некоторой ступенчатой кривой (такие гра­фики называют гистограммами) с максимумом в области неболь­ших ошибок (чем ошибки больше, тем они обычно встречаются реже; очень большие ошибки при разумной постановке опыта про­исходят крайне редко или никогда не встречаются). Высота кривой, а следовательно, и площадь, расположенная под кривой, для каж­дого интервала ошибок пропорциональны числу случаев, в которых данная ошибка наблюдалась. Гистограмма рис. 1 может служить для выяснения и более сложных вопросов. Можно, например, выяснить число случаев, когда ошибка лежит в I и —I интерва­лах. Легко видеть, что это число определяется площадью, заклю­ченной под кривой на участках I и —I. Число случаев, когда ошибка выходит за пределы I и —I интервала, равна площади всей гисто­граммы, за вычетом площадей, принадлежащих участкам I и —I и т. д.

 

 

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г-Г"

 

 

 

 

 

1,

-I -Ж -ж -I -I I I ж ж Величина ошибки.

Рис. 1. График распределения ошибок.

Будем теперь увеличивать число измерений и соответственно уменьшать ширину интервалов разбиения оси абсцисс. Гистограмма рис. 1 будет при этом стремиться к плавной кривой. Форму гисто­граммы, получаемой при небольшом числе опытов, нельзя предска­зать заранее. Но теория вероятностей позволяет вычислить форму предельной гладкой кривой, к которой стремятся гистограммы при неограниченном увеличении числа опытов. Эта предельная кривая носит название кривой Гаусса (рис. 2). Ее аналитическое выраже­ние приведено в приложении IV. Кривая Гаусса имеет вид коло­кола с максимумом при ошибке, равной нулю. При доброкачест-

качества измерений такие значения будут получаться чаще или реже.

Как и для гистограмм рис. 1, доля случаев, в которых ошибка лежит в некотором интервале хг < х < х2, определяется площадью под соответствующим участком кривой. Проведем на рис. 2 на оди­наковых расстояниях от оси ординат две вертикальные прямые так, чтобы между ними уместилось 68% площади, заключенной под всей сплошной кривой. Эти прямые отсекают на оси ошибок от­резки ±а. Найденная таким образом величина а носит название стандартного отклонения или стандартной ошибки. Как это ясно из построения, в 68 случаях из 100 фак­тическая ошибка опыта окажется меньше, а в 32 случаях — больше, чем стандартная ошибка. В качестве ожидаемой ошибки опыта принято указывать именно величину стандартного отклонения.

Заметим для справок, что ошибки опыта в 95% случаев лежат в интервале±2а и в 99,7% случаев не превосходят ±3а. Иногда этот результат выражают другими словами: говорят, что с вероятностью 68% величина ошибки лежит в интервале ±а, с вероятностью

-26 -6 0 б 26

Величина ошибка

Рис. 2. Кривая Гаусса.

 

 

 

\

венных измерениях кривая Гаусса заметно отличается от нуля лишь в области* малых ошибок (пунктир­ная кривая). При плохих измерениях — сплошная кривая — колокол расши­ряется, а его максимум ста­новится соответственно ниже (площадь под кривой не зависит от качества из­мерений). Как при плохих, так и при хороших измере­ниях, однако, возможно в результате случайности по­лучить очень хорошее или далеко не очень хорошее значение. В зависимости от

95%—в интервале ±2а, с вероятностью 99,7% —в интервале ±3а и т. д.

В теории вероятностей показывается, как вычислять вели­чину о по разбросу экспериментальных данных:

п i = i

где ai — значение, полученное в i-м опыте, п — число опытов, аср — среднее арифметическое at. Таким образом, квадрат стандарт­ного отклонения равен среднему значению квадратов отклонений отдельных измерений от среднего значения измеряемой величины.

Приведенная формула показывает, как найти ширину распре­деления ошибок отдельных измерений. Вычисленное с ее помощью стандартное отклонение определяет ожидаемую ошибку каждого отдельного измерения. Используя всю совокупность измерений, мы, конечно, находим искомое значение измеряемой величины с лучшей точностью, чем это можно сделать с помощью одного из­мерения. Как уже отмечалось, причина улучшения результата лежит в том, что положительные и отрицательные ошибки частично компенсируются при усреднении результатов нескольких опытов.

В теории вероятностей показывается, что при таком усреднении стандартная ошибка результата аср уменьшается. Она равна

ocp = a/Vn,    (В.4)

где о — стандартное отклонение каждого отдельного опыта, а п — число опытов.

Подставляя в (В.4) значение о из (В.З), найдем *)

2

(Яг-Яср)2.     (В.5)

*= I

После того как найдены наилучшее значение и стандартная ошибка искомой величины, результат измерений записывается в виде

а = ас?±о.      (В.6)

В старой литературе для оценки погрешности измерений часто пользовались так называемой вероятной ошибкой, равной 0,67 а.

х) Во многих книгах приводится несколько более сложное выражение дляаср*.

~п

2 («г—«ср)3

/

1/

Эта ошибка определяет пределы, внутри которых измеряемая ве­личина лежит с вероятностью 50% (в 50% случаев). В настоящее время для определения погрешности измерений почти исключи­тельно пользуются стандартной ошибкой а.

На первый взгляд может показаться, что при беспредельном увеличении числа измерений ошибка опыта может быть сделана сколь угодно малой. Это, конечно, не так. Сколь угодно малыми могут быть сделаны только случайные ошибки опыта, но отнюдь не систематические ошибки, которыми мы до сих пор пренебрегали. Сколько бы мы ни делали измерений неверно сделанной линейкой, точного результата при этом получить нельзя. А ведь всякая ли­нейка изготовлена не вполне точно!

Из сказанного следует, что вопрос о количестве измерений, которые нужно произвести, должен быть тщательно обдуман. Никогда не следует ограничиваться однократным измерением. Всегда нужно сделать повторное контрольное измерение. Если результаты измерений совпали, на этом обычно следует остано­виться. Если же между результатами обнаружилось различие, измерения нужно произвести еще 2—3 раза, чтобы понять в чем тут дело: в том, что одно из измерений было произведено непра­вильно, или в том, что результаты измерений расходятся из-за слу­чайных ошибок. В первом случае нужно просто вычеркнуть невер­ное измерение, а во втором следует попытаться понять причину расхождения результатов. Если эта причина может быть устранена путем регулировки прибора (смазки трущихся частей, устранения люфтов и т. д.), это обязательно нужно сделать. Если же устранить причину расхождения результатов не удается, то следует предпри­нять целую серию повторных измерений с тем, чтобы сделать слу­чайную ошибку достаточно малой (меньше систематической или меньше, чем допустимая ошибка при необходимой в данной работе точности измерений).

Математических формул, позволяющих определить системати­ческие ошибки, не существует. Никакие формулы не могут, напри­мер, предсказать, насколько точно сделан купленный вами разно­вес. Систематическую ошибку следует оценивать исходя из разных соображений: из сравнения прибора с прибором лучшего качества (эталоном), из простого сравнения нескольких приборов (например, линеек), из технических или технологических соображений. Пре­делы, в которых может быть заключена систематическая ошибка, иногда указываются на самих приборах (например, на электроизме­рительных приборах).

Сделаем еще одно замечание. Систематическая ошибка прибора (например, неправильность разбивки шкалы линейки или ампер­метра) является вполне определенной величиной, которая в прин­ципе всегда может быть измерена путем сравнения с эталоном и учтена в виде поправки. Этого, однако, при обычных измерениях

не делают и оценивают величину систематической ошибки так, как если бы ее точную величину и знак узнать было невозможно. Погрешность измерений при этом несколько возрастает, но про­должительность эксперимента существенно сокращается.

Более подробно к вопросу об определении систематических оши­бок мы вернемся несколько позднее.

Будем теперь предполагать, что систематическая ошибка опыта Дсист из тех или других соображений получена. Заранее нельзя сказать, сложится эта ошибка со случайной ошибкой о или вычтется из нее. Можно, однако, утверждать, что полная ошибка измере­ния Дполн» наверное, заключена в пределах | а — Дсист | ^ Дполн ^ ^ а + ДСист- Естественно оценивать точность эксперимента и в этом случае с помощью некоторой средней ошибки.

В теории вероятностей показы­вается, что ожидаемое среднее значение Дполн следует вычислять по формуле

 

Дполн =/Дсист + а2. (В.7)    '

Способ получения ДП0ЛНИЗ Дсист И а Рис- 3- Сложение ошибок, изображен на рис. 3; Дполн равно гипо­тенузе треугольника, катетами которого являются Дси<.х и о. Учет систематических ошибок опыта заставляет вместо (В.6) писать

а = аСр—Дполн-      (В.8)

В заключение укажем, что в реальных опытах систематическая ошибка чаще всего оказывается больше случайной. Из рис. 3 и из формулы (В.7) видно, что вклад случайной ошибки оказывается несущественным уже в том случае, если Дсисх = 2а. В этих слу­чаях не следует предпринимать многократных повторных измере­ний, а в качестве полной ошибки ДП0Лн нужно просто указывать величину систематической погрешности Дсист.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я