• 5

Работа 20. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ ПО МЕТОДУ СТОКСА

Принадлежности: стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью (глицерин, касторовое масло), термостат, термометры, весы Вестфаля, секундомер, измери­тельный микроскоп, масштабная линейка, мелкие стальные шарики (диаметром около 1 мм).

На всякое тело, двигающееся в вязкой жидкости, действует сила сопротивления. В общем случае величина этой силы зависит

от многих факторов: от внутреннего трения жидкости, от формы тела, от характера обтекания и т. д. Стоксом было получено строгое решение задачи о ламинарном обтекании шарика безграничной жидкостью. В этом случае сила сопротивления F определяется формулой

F =      (1)

где 11 — коэффициент внутреннего трения жидкости, v — скорость шарика, г — его радиус.

Гидродинамический вывод формулы Стокса довольно сложен. Мы ограничимся поэтому анализом задачи с помощью теории раз­мерностей.

Прежде чем применять теорию размерностей, нужно на осно­вании физических соображений и опыта установить, от каких параметров может зависеть сила сопротивления жидкости. В на­шем случае, очевидно, такими параметрами являются т], у, г и плотность жидкости рж. Искомый закон следует искать в виде степенного соотношения

F = Ах\*гур

где А — безразмерный множитель, а а, х, у и z — подлежащие определению показатели степени. Выбор показателей степени опре­деляется из того требования, что размерности левой и правой частей должны совпадать *). Поскольку размерность выражения определяется степенями при длине, времени и массе, мы получаем три уравнения для нахождения четырех неизвестных а, х, у и г. Легко видеть, что поставленная таким образом задача однозначного решения не имеет. Опыт показывает, что при больших скоростях движения (точнее говоря, при больших числах Рейнольдса) сила сопротивления пропорциональна второй, а при малых скоростях (малых числах Рейнольдса) — первой степени скорости. При достаточно медленном движении, таким образом, а=1. Прирав­нивая показатели степени при массе, длине и времени в левой и в правой частях уравнения, получим

1 =x + z, l= — x+l+y~3z, -2 = — х-1,

откуда

х= 1, у= 1, 2 = 0.

Таким образом,

F = Ar\rv.

Безразмерный множитель А не может быть определен из сообра­жений размерности; строгое решение задачи дает для этого мно­жителя значение 6я.

Размерность коэффициента внутреннего трения жидкости, легко устано­вить из формулы Ньютона F —        она равна [ML^T'1].

При выводе формулы Стокса с помощью теории размерностей нам приходилось предполагать, что скорость движения «достаточно мала». Никакой численной оценки «малости» при этом не было и не могло быть получено. Вопрос о том, лежат ли наблюдаемые на опыте скорости в области применимости формулы Стокса, должен поэтому быть решен с помощью эксперимента. Коль скоро, однако, будет установлена применимость формулы, она может быть исполь­зована для определения коэффициента внутреннего трения жид­кости.

Рассмотрим свободное падение шарика в вязкой жидкости. На шарик действуют три силы: сила тяжести, архимедова сила и сила сопротивления, зависящая от скорости.

Найдем уравнение движения шарика в жидкости. По второму закону Ньютона

Vg (Р - Рж) ~ 6ят1 rv = Vp ~,          (2)

где V — объем шарика, р — его плотность, рж — плотность жид­кости, a g — ускорение силы тяжести.

Решая это уравнение, найдем

v (0 = fycT - Кст ~ v (0)]         (3)

В формуле (3) приняты обозначения: v (0) — скорость шарика в момент начала его движения в жидкости,

7, — У^-Рж) — 2_ <уг2 (Р —Рж)

Уст б лт]г       9 & п '

_ Ур _ 2 г2р   '

~~ 6ш]г 9 г]

Как видно из (3), скорость шарика экспоненциально прибли­жается к установившейся скорости иуст. Установление скорости определяется величиной т, имеющей размерность времени и назы­вающейся временем релаксации. Если время падения в несколько раз больше времени релаксации, процесс установления скорости можно считать закончившимся.

Измеряя на опыте установившуюся скорость падения шариков иуст и величины г, р, рж, можно определить коэффициент внутрен­него трения жидкости по формуле

Ч =      (5)

°           t/yCT

следующей из (4).

Описание установки. Для измерений используется стеклянный цилиндрический сосуд, наполненный исследуемой жидкостью (гли­церин, касторовое масло). Диаметр сосуда ^ 3 см, длина ~ 40 см (точные размеры указаны на установке). На стенках сосуда нане­

сены две метки на некотором расстоянии I друг от друга. Верхняя метка должна располагаться ниже уровня жидкости с таким рас­четом, чтобы скорость шарика к моменту прохождения этой метки успевала установиться. Измеряя расстояние между метками с по­мощью линейки, а время падения с помощью секундомера, опре­деляют скорость шарика иуст.

Для измерений плотности жидкости используются весы Вест- фаля (рис. 65).

Весы Вестфаля имеют различные по длине и весу плечи. Более легкое и длинное плечо разделено на десять равных частей. Под десятым делением подве­шен на тонкой нити стек­лянный поплавок. Весы с поплавком в воздухе на­ходятся в равновесии (если поплавок сухой и чистый). Весы снабжены рейтерами 1 (их два одинаковых), 2 и 3. При помещении на де­сятое деление рейтер 1 урав­новешивает весы, если по­плавок погружен в дистил­лированную воду при+4° С. Рейтер 2 весит в 10 раз меньше рейтера 1, рей­тер 3 — в 100 раз.

Для определения плот­ности жидкости в нее по­гружают поплавок и уравновешивают весы Вестфаля, перемещая рейтеры по коромыслу.

Пример. Пусть при измерении плотности жидкости рейтеры занимают следующие положения:

1 на 10-м делении, 2 на 6-м делении,

1 на 8-м делении, 3 на 2-м делении.

Плотность жидкости в этом случае равна 1,862 г/см3. Теорию весов Вестфаля студентам предлагается разобрать самостоятельно.

Весы являются тонким и чувствительным прибором и требуют осторожного обращения.

Радиусы шариков измеряются с помощью измерительного микроскопа МИР-1, снабженного поперечными микрометрическими салазками. Для каждого шарика рекомендуется измерить несколько различных диаметров и вычислить среднее значение. Такое усред­нение целесообразно, поскольку в работе используются шарики, форма которых может несколько отличаться от сферической. Плот­ность шариков р определяется из таблиц или находится по весу и объему.

 

Рис. 65. Весы Вестфаля.

Опыты по определению коэффициента внутреннего трения жидкости проводятся при нескольких температурах в интервале от комнатной температуры до 50° С.

Общий вид прибора для измерения коэффициента вязкости по методу Стокса показан на рис. 66. Для установления нужной температуры служит термостат с контактным термометром. Термо­стат представляет собой водяную ванну с двумя нагревателями, один из которых (более мощный) включается экспериментатором по желанию, а другой автоматически включается и выключается

контактным термометром и служит для поддержания по­стоянной температуры.

Контактный термометр, показанный на рис. 66, пред­ставляет собой ртутный тер­мометр, в капиллярной трубке которого может перемещаться вольфрамовая нить. Нижний конец нити устанавливается на требуемом делении шкалы термометра. От баллончика со ртутью и от нити сделаны выводы к наружным клеммам термометра, с помощью кото­рых он включается в цепь электрического реле.

Схема включения контакт­ного термометра КТ, реле Р и нагревателей Нх и #2 пока­зана на рис. 67. При повы­шении температуры столбик ртути поднимается по капил­ляру до нижнего конца вольф­рамовой нити и замыкает цепь реле. Реле срабатывает и размыкает цепь нагревателя #2. При понижении температуры нагреватель вновь включается в сеть. Второй нагреватель служит для быстрого нагрева термостата; при работе автоматического терморе­гулятора его следует выключать.

Настройка терморегулятора на требуемую температуру произ­водится с помощью постоянного магнита, расположенного в головке контактного термометра. Вращая магнит в ту или иную сторону, приводят во вращение винт, перемещающий вольфрамовую нить в капилляре.

Для перемешивания и охлаждения воды ко дну термостата подведен шланг с воздухом. Воздух должен быть включен на все время работы термостата. Для контроля за температурами иссле­

-\7

-1

—л

Воздух

ш NAAMA/WWVW-^gfr

Рис. 66. Термостатированный прибор для измерения коэффициента вязкости жидко­сти по методу Стокса.

Г

~50В

 

Но

рЛАЛМЛЛЛ

К*

дуемой жидкости и воды в термостате служат ртутные термо­метры.

Опыт по измерению скорости падения шариков следует про­водить только после установления термического равновесия системы, когда показания обоих термометров не отличаются друг от друга и практически постоянны во времени. При измерениях скорости падения шариков термометр, измеряющий температуру исследуемой жидкости, вынимается.

При каждом значении температуры следует провести несколько измерений с шариками различных диаметров. Плотность жидкости измеряют для каждого значения температуры. По полученным данным следует построить

график зависимости коэф-            ^Т

фициента внутреннего тре­ния от температуры.

Указания. Описанная выше методика определе­ния коэффициента внутрен­него трения основана на формуле Стокса и правиль­на лишь в том случае, если выполнены предположения, сделанные при выводе этой формулы. Самым надеж­ным способом проверки теории является следую­щий. Шарики с разными радиусами движутся в жидкости с раз­ными скоростями и с разными временами релаксации. Если во всем диапазоне встречающихся в работе скоростей и времен ре­лаксации вычисленные по формуле (5) значения ц оказываются одинаковыми, то формула (1) правильно передает зависимость сил от радиуса шарика. Зависимость — или независимость — т] от г служит чувствительным индикатором правильности теории и надежности эксперимента.

Результаты опыта имеет смысл обрабатывать лишь в том случае, если значения ц не обнаруживают систематической зависимости от г. Если такая зависимость наблюдается, то чаще всего это связано с влиянием стенок сосуда.

В этбм случае вместо формулы (5) следует использовать более точную формулу

                       

            ,

LAAA/^WW-L^.

Рис. 67. Электрическая схема термостата.

 

Р~ Р*

1+2,4-

(6)

уст

где R — радиус сосуда. Для небольших шариков отличие (6) от (5) лежит в пределах точности эксперимента и может

не приниматься во внимание. При желании его можно учесть 1).

Полезно исследовать применимость формулы Стокса не только экспериментально, но и теоретически. При выводе формулы Стокса предполагалось, что обтекание шарика жидкостью имеет лами­нарный характер. Как известно, характер обтекания определяется значением числа Рейнольдса

Обтекание является ламинарным лишь при не очень больших значениях Re (<Ю). По результатам опыта следует вычислить числа Рейнольдса для разных размеров шариков и различных температур жидкости. Полезно также вычислить время релак­сации т и путь релаксации s, который может быть найден посред­ством интегрирования (3). Полагая для простоты v (0) = 0 (что обычно выполняется с достаточной точностью), получим

Из формулы (7) легко найти, что s тиуст при t т.

Последнее неравенство определяет допустимое расстояние между границей жидкости и верхней меткой. Рекомендуется проверить, насколько хорошо это неравенство выполнено в условиях опыта.

Измерения. 1. Отберите 15-f-20 шариков различного размера и с помощью микроскопа измерьте их средние диаметры.

2.         Измерьте установившиеся скорости падения шариков и вы­числите по формуле (б) коэффициент внутреннего трения г\. Изме­рения выполните для 3-f-4 значений температуры в интервале от комнатной до 50 °С. При этом для каждого значения температуры измерьте плотность жидкости рж с помощью весов Вестфаля. Проверьте, что измеренные значения ц не зависят от размера шарика.

3.         Постройте график зависимости коэффициента внутреннего трения жидкости от температуры.

4.         Вычислите для каждого из бпытов значение числа Рейнольд­са Re, оцените время релаксации т (по формуле (4)) и путь релак­сации s. Проанализируйте применимость формулы Стокса в каждом эксперименте.

1.         И. К. К и к о и н, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз, 1963, гл. VII, § 1.

2.         Курс физики, под ред. Н. Д. П а п а л е к с и, т. I, Гостехиздат, 1948, гл. X.

 

 

 

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я