• 5

Приложение.

Приведем^другой, более формальный, но и более простой вывод соотношения (9). Обратимся к рис. 61 и допустим, что закрепленная в точках О и О' струна не колеблется в плоскости ху, а вращается вокруг оси х с постоянной угловой скоростью со. Рассмотрим элемент струны, заключенный между точками х и х + dx. На концы этого элемента действует сила натяжения Т, величину кото­рой мы будем считать постоянной и не зависящей от х. Сумма проекций этих сил на направление оси у, как и прежде, равна

 

__ dy

х + dx dx

хГТ%Лх.         (12)

Очевидно, последнее выражение и является центростремительной силой, приво­дящей во вращение рассматриваемый участок струны. Так как центростреми­тельную силу можно представить в виде

рсо2у dl ^ рсо*у dx,  (13)

где dl—длина элемента струны, то, приравнивая (12) и (13), получим

=          (14)

Отрицательный знак перед Т связан с тем, что в левой части (14) должна стоять центростремительная сила, т. е. проекция силы на направление (—у). Непосред­ственной подстановкой легко убедиться, что уравнению (14) удовлетворяет функ-

ЦИЯ   • Ь       /1СЧ

y = y0smkx.    (15)

Отклонение у обращается в нуль на концах струны. Таким образом kl = я, где I—длина струны. Из (15) видно, что форма вращающейся струны описы­вается синусоидой. Подставив (15) в (14), найдем оз:

Это выражение определяет угловую скорость вращающейся струны. Любое вра­щение с постоянной угловой скоростью со можно представить как сумму двух сдвинутых по фазе на я/2 взаимно перпендикулярных гармонических колебаний частоты v = со/2я. Поэтому формула (16) описывает не только вращающуюся струну, но и струну, колеблющуюся в одной плоскости. Переходя от угловой частоты со к обычной частоте v, найдем окончательно

что совпадает с (9), если под I понимать расстояние между двумя соседними узлами.

 

(16)

 

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я