• 5

Работа 16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ КРУЧЕНИЯ СТЕРЖНЕЙ СТАТИЧЕСКИМ И ДИНАМИЧЕСКИМ МЕТОДАМИ

Если один из концов длинного однородного стержня закрепить, а к другому приложить закручивающий момент сил М, то этот конец повернется на угол ср, причем, согласно закону Гука,

M = f ср.         (1)

Постоянная величина f носит название модуля кручения. Мо­дуль кручения связан с модулем сдвига материала стержня G

соотношением (см. [2], § 86)

t-

nGp* ; 2 L '

где р —- радиус, a L — длина стержня. Отметим, что простая линейная зависимость между величинами М и ф, даваемая- форму­лой (1), имеет место только при сравнительно небольших значе­ниях М. В общем случае зависимость Ф = Ф (М) может быть не только не­линейной, но и неоднозначной.

I. Определение модуля кручения стержня статическим методом

Принадлежности: исследуемый стержень, отсчетная труба со шкалой, рулетка, мик­рометр, набор грузов.

Экспериментальная установка изо­бражена на рис. 55. Верхний конец вертикального стержня С жестко закреплен на стойке, а нижний сое­динен с диском Д. Момент М, за­кручивающий стержень, создают две навитые на диск и перекинутые через блоки Б нити, к концам которых подвешиваются одинаковые грузы Г. Диск снабжен зеркальцем 3. Для определения угла закручивания стержня надо зрительную трубу нап­равить па зеркальце и добиться того, чтобы в нее было четко видно отра­жение шкалы, укрепленной на том же штативе, что и труба. Наблюдая через трубу за смещением видимого участка шкалы при закручивании стержня, можно определить угол закручивания ф.

Измерения. 1. Установите зрительную трубу таким образом, чтобы в нее было четко видно отражение шкалы в зеркальце 3.

2.         Увеличивая нагрузку на нитях Я, снимите зависимость ф =-= ф (.М). Проделайте эксперимент в обратном порядке, посте­пенно уменьшая величину закручивающего момента. Весь комп­лекс измерений повторите не менее трех раз.

3.         Результаты эксперимента изобразите графически в коор­динатах (ф, М). При помощи этих графиков определите величину / и оцените допущенную при этом погрешность.

4.         Используя формулу (2), вычислите модуль сдвига G. Сверьте полученное таким образом значение с табличным.

 

Рис. 55. Схема установки для определения модуля кручения.

II. Определение модуля сдвига при помощи крутильных колебаний

Принадлежности: проволока из исследуемого материала, грузы, секундо­мер, микрометр, рулетка, масштабная линейка.

Экспериментальная установка состоит из длинной вертикально висящей проволоки, к нижнему концу которой прикреплен гори­зонтальный металлический стержень с двумя симметрично распо­ложенными грузами. Их положение на стержне можно фиксировать.

Верхний конец проволоки зажат в цангу и при помощи спе­циального приспособления вместе с цангой может поворачиваться вокруг вертикальной оси. Таким образом в системе можно воз­буждать крутильные колебания. Запишем для этого случая урав­нение движения

M = J$.           (3)

Здесь М — момент сил, обязанный своим происхождением упругим деформациям, J — момент инерции стержня с грузами, ср — угол поворота стержня.

Если амплитуда колебаний невелика, то для определения момента сил М можно воспользоваться законом Гука в форме (1). Момент М в этом случае вызван деформацией проволоки и стре­мится уменьшить, а не увеличить угол (р. В формуле (1) необходимо поэтому переменить знак.

После подстановки (1) формула (3) приобретает вид

2, + со»Ф = 0>           (4)

со2 //</; отсюда

Ф = Фо sin (о>/ -'г 0),            (5)

где амплитуда фи и фаза 9 определяются начальными условиями. Таким образом, со является угловой частотой крутильных коле­баний стержня, период которых Т равен

7- 2шл=2я j/f  (6)

Следует заметить, что последняя формула получена для неза­тухающих колебаний, в то время как на самом деле колебания стержня всегда затухают. Если, однако, затухание невелико, т. е. изменение амплитуды колебаний за период много меньше самой амплитуды, то формулой (6) можно пользоваться. Крите­рием ее применимости служит неравенство

л>1,     (7)

где п — число полных колебаний, после которого амплитуда умень­шается в 2—3 раза.

Отметим, что период Т, как видно из формулы (6), не зависит от амплитуды cp0. Однако при больших амплитудах закон Гука нарушается и такая зависимость может проявиться. Таким обра­зом, вторым условием применимости описываемого метода явля­ется соблюдение равенства

Т = const.       (8)

Измерения. 1. Прежде всего установите диапазон амплитуд, в котором выполняется условие (8). Для этого укрепите грузы на некотором расстоянии от проволоки и возбудите в системе кру­тильные колебания. Измеряя время нескольких (не менее десяти) полных колебаний, найдите период 7\. Уменьшив амплитуду вдвое, тем же способом найдите соответствующий период Т2. Если

= Т2, то для проведения измерений можно выбрать любую амплитуду не больше первой. Если же окажется, что Тг Ф Т2, то амплитуду необходимо уменьшить до такого значения Ф, начиная с которого для всех ф0 < Ф будет справедливо равенство Тг = Т2.

2.         Проверьте справедливость неравенства (7).

3.         Установив грузы так, чтобы их центры масс находились на некотором расстоянии Lx от оси системы, измерьте период, как описано выше. Если J — момент инерции без грузов, a J1 — момент инерции грузов, то, очевидно,

Tl = 2л (9)

Изменив расстояние грузов до величины L2, аналогично получим

= (10)

Из (9) и (10) следует

с _ 4л2 иг - J2) __ 8л2т (Ц - Ц) Г— Т2_Т2 — Tj-n " '

где 2т — Масса двух грузов.

Определение величины f проведите для нескольких (не менее пяти) пар значений Lx и L2. Величину f можно также найти из наклона прямой в графике, по осям которого отложены L2 и Т2. Разработку этого вопроса мы предоставляем читателю.

4.         Зная /, найдите значение модуля сдвига G по формуле (2) и оцените допущенную при этом погрешность.

Контрольные вопросы

1. Выведите формулу (2).

2.. При определении модуля сдвига статическим способом зависимость ф = = Ф (М) рекомендуется снять как при возрастающих, так и при убывающих значениях М. Почему? Совпадут ли оба полученных таким образом результата, если трение в осях блоков Б будет значительным?

3. При определении модуля сдвига динамическим способом указывалось, что период колебаний не зависит от амплитуды только при сравнительно неболь­

ших значениях последней. Объясните качественно, как будет меняться период при возрастании амплитуды?

4.         Какому методу определения G вы отдадите предпочтение на практике, статическому или динамическому?

5.         Как при динамическом определении G измерять величины Lx и L2? Имеет ли смысл выбирать их малыми?

6.         Как оценить ошибку измерений по графику зависимости Т2 от L2?

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я