• 5

Работа 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

Принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, набор тел, подлежащих измерению (диск, стержень, полый цилиндр и т. д.).

Момент инерции J твердого тела относительно некоторой оси определяется выражением

J = J р2 dm,

где р — расстояние элемента массы dm от оси вращения. Согласно теореме Гюйгенса — Штейнера момент инерции J можно выразить следующим образом:

J = J0 + MR\

где J0 — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции (тяжести) и направленной так же, как исходная,

j\/[ _ масса тела, a R — расстояние от центра инерции до той оси, относительно которой определяется J. Из приведенной формулы следует, что момент инерции тела минимален, если ось вращения проходит через центр инерции.

Для измерения моментов инерции служит трифилярный подвес, устройство которого поясняется рис. 46. Подвижная платформа Р' подвешена к платформе Р на трех симметрично расположенных нитях АА\ ВВ' и СС'. Платформа Р укреплена на кронштейне и

снабжена рычагом, при помощи кото­рого системе можно сообщить кру­тильные колебания.

Если повернуть нижнюю платфор­му Р' вокруг вертикальной оси на не­который угол <р относительно верхней, то возникает момент сил, стремящийся вернуть платформу в положение рав­новесия. В результате этого платфор­ма начинает совершать крутильные колебания, за которыми удобно сле­дить при помощи светового зайчика, отраженного от укрепленного под платформой зеркальца и бегающего по неподвижной шкале.

Обратимся к теории трифилярного подвеса. Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энер­гии для колеблющейся платформы можно написать следующее уравнение:

 

Рис. 46. Схема трифилярного подвеса.

V2 J(f + Mg(zu-z) = E, (1)

где J — момент инерции платформы вместе с исследуемым телом, М — масса платформы с телом, Е — полная энергия системы, z0 — начальная координата точки О' (при ср = 0), г — координата точки О' при ф =^0. Точкой обозначается дифференцирование по времени.

Как следует из рис. 46, координаты точки С равны (г, 0, 0), а точка С' имеет координаты (R cos <p, R sin ср, г). Расстояние между точками С и С' равно длине нити /. Поэтому

{R cos ф - rf + R2 sin2 ф + г2 - /2,

или

Z2 = /2 _ £2 _ Г2 + 2Rr cos ф - zl - 2Rr (1 - cos Ф) ^ z\ - Ялр2. (2) При написании (2) было принято во внимание, что для малых углов

ф2

cos сря^ 1 —Извлекая корень из выражения (2), найдем, что при малых ф

г = _ W)v. = гп f 1 _   ^ го _ .            (3)

Подставив это значение г в уравнение (1), получим

{-JV + Mg^tf-E.          (4)

Продифференцировав последнее выражение по времени и сократив на ф, получим уравнение движения системы

J(p + Mg ф = 0.         (5)

z()

Нетрудно убедиться непосредственной подстановкой, что решение этого уравнения имеет вид

+ (6)

где амплитуда ф() и фаза 0 определяются начальными условиями. Период колебаний системы Т, следовательно, равен

т=2пУтгг         (7)

Разрешив (7) относительно /, найдем

, __ MgRrT-

(8)

Последняя формула позволяет вычислить момент инерции плат­формы с телом, если известна геометрия прибора (величины R, r, z0). Alacca платформы указана на приборе, масса тела определяется взвешиванием, период колебаний Т определяется из опыта.

Как следует из вывода, формула (8) справедлива при полном отсутствии потерь энергии на трение. Учет такого рода потерь весьма затруднителен, однако можно показать, что поправки оказы­ваются невелики, если потери энергии за период малы по сравнению с запасом колебательной энергии системы х). Критерием примени­мости равенства (8) является, таким образом, условие

*>Т,     (9)

где т — время, в течение которого амплитуда колебаний платформы (величина ф0) заметно уменьшается (в 2—3 раза).

Под запасом колебательной энергии можно понимать, например, потен­циальную энергию системы при ср = ср0.

Измерения. 1. Не нагружая нижней платформы, проверьте, при­годна ли установка для измерений, т. е. нормально ли функциони­рует устройство для возбуждения крутильных колебаний, не воз­никают ли при этом паразитные маятникообразные движения плат­формы, не выходит ли зайчик за шкалу и т. д.

2.         Возбудив в системе крутильные колебания, проверьте, доста­точно ли хорошо выполняется неравенство (9). Очевидно, добиваться большой точности при выполнении этого упражнения не имеет смысла. (Это измерение рекомендуется выполнять при ненагружен- ной платформе. Почему?).

3.         Как видно из формулы (7), период колебаний платформы Т не должен зависеть от амплитуды ср0. Это справедливо, конечно, только для достаточно малых значений ср0, поэтому необходимо уста­новить рабочий диапазон амплитуд. Возбудив в ненагруженной системе крутильные колебания, измерьте, время 20—30 полных колебаний и найдите период Тъ соответствующий некоторому начальному значению амплитуды срх. Затем, уменьшив амплитуду приблизительно вдвое, таким же способом найдите соответствующий ей период Т2. Если в пределах точности эксперимента окажется, что Тг = Т2, то для дальнейших измерений можно выбрать любое значение ср0 ^ фх. Если же окажется, что Тх ф Т2, то начальное значение амплитуды фх необходимо уменьшать до тех пор, пока указанное равенство не будет выполнено.

4.         Определите момент инерции ненагруженной платформы (изме­рение периода колебаний Т в этом и следующих упражнениях про­водите с точностью не хуже, чем 0,5%).

5.         Измерьте моменты инерции двух тел из имеющегося набора сначала порознь, а потом вместе (помещать грузы надо так, чтобы центр тяжести каждого из них лежал на оси вращения системы). Проверьте аддитивность моментов инерции, т. е. справедливость соотношения

где Jx и /2 — моменты инерции первого и второго грузов, a J0 — их общий момент инерции. Точность, с которой выполняется ука­занное равенство, служит хорошей мерой точности экспериментов.

6.         Помещая на платформу различные тела (сплошной и полый цилиндры, стержень и т. д.), определите их моменты инерции. Распо­лагать измеряемые тела на платформе следует таким образом, чтобы их центры тяжести лежали на оси вращения системы. Измеренные значения моментов инерции сравните с расчетными (по формулам для моментов инерции простых тел).

7.         Поместите на платформу диск, разрезанный вдоль оси, и постепенно раздвигайте половинки диска так, чтобы их общий центр тяжести все время оставался на оси вращения платформы. Снимите зависимость момента J такой системы от расстояния h

каждой из половинок до оси платформы. Изобразите эту зависимость в виде графика, отложив по оси абсцисс указанное расстояние Л, а по оси ординат — величину У J — /0, где J0 — момент инерции системы при h = 0. Используйте результаты этого опыта для про­верки теоремы Гюйгенса — Штейнера. При выполнении этого упражнения рекомендуется раздвигать половинки диска вдоль линии разреза: тогда расчеты, необходимые для проверки теоремы Гюйгенса — Штейнера оказываются наиболее простыми.

Вместо разрезанного диска можно воспользоваться двумя оди­наковыми цилиндрами, если вначале установить их друг на друга в центре платформы, а затем постепенно раздвигать вдоль ее диаметра.

Контрольные вопросы

1.         При каких упрощающих предположениях выведена формула (8)?

2.         Какие факторы ограничивают точность опытов?

3.         Можно ли пользоваться предложенным методом для определения мо­ментов инерции тел в том случае, если ось вращения платформы не проходит через их центр тяжести?

4.         Существенную ли роль играет не учтенная при выводе упругость нитей, на которых подвешена нижняя платформа?

5.         Сформулируйте и докажите теорему Гюйгенса — Штейнера.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я