Работа 11. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА
Принадлежности: маятник Обербека, набор грузов, секундомер, масштабная линейка, штангенциркуль.
Вращение твердого тела постоянной массы вокруг неподвижной оси описывается уравнением моментов
Здесь М — момент сил, действующих на тело, J — момент инерции тела, со — угловая скорость.
Уравнение (1) является прямым следствием второго закона Ньютона, поэтому его экспериментальная проверка является в то же время проверкой основных положений механики.
Экспериментальная установка, схема которой представлена на рис. 45 (маятник Обербека), состоит из четырех спиц, укрепленных на втулке под прямым углом друг к другу. На ту же втулку насажены два шкива различных радиусов (ri и г2). Вся эта система может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. Момент инерции системы можно менять, передвигая грузы т вдоль спиц.
Момент сил создается грузом fx, привязанным к нити Я, которая навита на один из шкивов. Если момент сил трения Мгр, приложенный к оси маятника, мал по сравнению с моментом М силы натяжения нити, то проверка уравнения (1) не представляет труда. Действительно, измеряя время t, в течение которого груз fx из состояния покоя опустится на расстояние Л, можно легко найти ускорение груза а:
a = 2h/t\ (2)
которое связано с угловым ускорением dod/dt очевидным соотношением
а = г d<x)/dt, (3)
где г — радиус шкива, Если через Т обозначить силу натяжения нити, то
М = гТ. (4)
Силу Т можно найти из уравнения движения груза fx:
jng-Г-^ш. (5)
Легко видеть, что система записанных выше уравнений (1)—(5) полностью решает поставленную задачу.
Момент сил трения Мтр обычно оказывается довольно велик и способен существенно исказить результаты опыта. Уменьшить относительную роль момента сил трения при данной конфигурации установки можно было бы, увеличивая массу jx. Однако здесь приходится принимать во внимание два обстоятельства:
1) увеличение массы fx ведет к увеличению давления маятника на ось, что в свою очередь вызывает возрастание сил трения;
2) с увеличением \х уменьшается время падения t и снижается точность измерения времени.
В дальнейшем вместо (1) мы будем пользоваться уравнением
M-Mip = Jd<o/dl, (Г)
в котором момент силы трения записан в явном виде.
Измерения. 1. Установите грузы m на некотором расстоянии R от оси маятника таким образом, чтобы маятник находился в безразличном равновесии. Прежде чем начинать эксперимент, рекомендуется несколько раз привести маятник во вращение, каждый раз давая ему возможность остановиться. Подумайте, зачем это нужно. Как на основании этих опытов узнать, хорошо ли сбалансирован маятник (т. е. действительно ли он находится в безразличном равновесии)?
2. Увеличивая нагрузку на нити Я, найдите минимальное значение массы ji0, при котором маятник начинает вращаться. Оцените величину момента сил трения.
3. Укрепив на нити Н некоторый груз массы fxx > fx0 и произведя опыт, определите ускорение аг для этого груза по формуле (2). Повторите опыт несколько раз, старайтесь при этом измерить время падения t как можно точнее. Усредните найденные значения аг.
4. Повторите этот опыт для различных (6-ь8) значений массы [х. Результаты эксперимента представьте в виде графика, по оси абсцисс которого отложите величину М, а по осп ординат — угловое ускорение маятника dod/dt. На основании этого графика определите момент инерции системы J и момент сил трения Мтр.
5. Проделайте ту же серию экспериментов для шкива другого радиуса и аналогичным способом вновь определите величины J И My п.
6. Повторите эксперименты, описанные в пп. 4 и 5, для различных (не менее пяти) значений моментов инерции системы, каждый раз определяя J и Мтр. На основании полученных данных найдите момент инерции системы J0 без грузов т и сравните его величину с расчетной. Момент инерции системы можно вычислить по формуле, вывод которой предоставляем читателю:
/ = /e + 4fflR» + 4-^ + 45f; (6)
здесь R — расстояние от центра масс грузов т до оси вращения. Грузы т имеют форму цилиндров радиуса р с образующей /.
Находятся ли результаты эксперимента в согласии с формулой (6)? Как меняется относительная роль двух последних членов формулы (6) при изменении величины R? Существенно ли отличается поправка, определяемая этими членами, от ошибок измерений? Ответ на два последних вопроса лучше всего дать в виде графика зависимости величины ДJ/J от R2, где
AJ = 4f
7. Сравните результаты определения Мтр во всех экспериментах.
8. Укажите возхможные причины ошибок эксперимента.