• 5

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ МЕХАНИКА. Работа 10. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ НА МАШИНЕ АТВУДА

Принадлежности: машина Атвуда, электрический или обыкновенный секун­домер, набор грузов и перегрузков

Машина Атвуда предназначена для исследования закона дви­жения тел в поле земного тяготения. Естественнее всего, конечно, изучить этот закон, исследуя свободное падение тел. Этому мешает, однако, большая величина ускорения свободного падения. Такой опыт возможен поэтому либо при очень большой высоте прибора (намного большей, чем высота комнаты), либо при помощи спе­циальных методов, позволяющих точно измерять небольшие про­межутки времени (доли секунды). Машина Атвуда позволяет избе­жать этих трудностей и замедлить движение до удобных скоростей.

Устройство машины Атвуда изображено на рис. 44. Легкий алюминиевый блок свободно вращается вокруг- оси, укрепленной в верхней части стойки. Через блок перекинута тонкая нить, на концах которой висят грузы Л и Б, имеющие равные массы Л4. На груз А могут надеваться один или несколько перегрузков. Система грузов в этом случае выходит из равновесия и начинает двигаться ускоренно.

В начале опыта груз Б удерживается неподвижно с помощью электромагнита. Выключение тока, текущего через электромагнит, освобождает груз Б и приводит нить с грузами в движение.

Найдем закон движения груза А. При расчетах будем пользо­ваться неподвижной системой координат, центр которой совмещен с осью блока. Ось ОХ направим вниз. Пусть масса перегрузка, лежащего на грузе Л, равна т.

На груз А действуют две силы: сила веса (М + т) g и сила натя­жения левой части нити 7\. По второму закону Ньютона

(M + t^g-T^iM + m)^  (1)

где а — ускорение груза А.

Применим второй закон Ньютона к движению груза Б. В силу нерастяжимости нити ускорение груза Б равно ускорению груза А по абсолютной величине и направлено в противоположную сторону.

Оно равно, следовательно, —а. Натяжение правого конца нити обозначим Т2. Тогда

Mg—T2 = — Ma.

Тг

При невесомом другу !)

Тх = Г2.

блоке натяжения

(3)

(2)

равны друг

Перегрузок Груз /I

Столик

Из (1), {2) и (3) получим

а = т8  (4)

а 2 М+т'

Движение груза А про­исходит, таким образом, равноускоренно и подчи­няется уравнению (4). Лег­ко видеть, что замена (3) на более точное (3') не из­меняет ни вида формулы (4), ни характера движе­ния и приводит лишь к не­большому и притом посто­янному увеличению знаме­нателя (4). Ускорение а при небольших перегруз­ках существенно меньше g: его поэтому легче измерить.

Формула (4) может слу­жить для определения ус­корения g. Эксперимент осложняется, однако, тем обстоятельством, что не су­ществует простых способов прямого измерения уско­рения а. Воспользуемся по­этому для определения а

равноускоренным характером движения и будем измерять путь S и время движения. Они связаны, как известно, соотношением

S = V2at2.      (5)

Цель работы заключается, таким образом, в том, чтобы устано­вить на опыте равноускоренный характер движения (пропорцио-

 

Рис. 44. Машина Атвуда.

Более точное рассмотрение дает

Т\Г ~ Т2г — J

(зо

где J — момент инерции блока, г — его радиус. Это уравнение связывает мо­менты сил 7V и ТУ с угловым ускорением блока а/г. При J 0 уравнение (3') переходит в (3).

нальность S и t2), определить входящее в (5) ускорение и вычис­лить с его помощью по формуле (4) ускорение свободного падения.

Эксперимент выполняется в следующем порядке. Один из имею­щихся перегрузков кладут на груз Л. Груз Б опускается до сопри­косновения с электромагнитом и «прилипает» к нему (ток в катушке электромагнита должен быть включен заранее). Секундомер ста­вится «на нуль». Столик поднимается до соприкосновения с грузом Л, и по шкале отмечается начальная высота груза. Затем столик опу­скается на некоторое расстояние S. Теперь следует разорвать цепь электромагнита и одновременно включить секундомер. При со­прикосновении груза Л со столиком секундомер нужно выключить. Зная S и t, нетрудно подсчитать а по формуле (5). Опыт следует повто­рить 5-МО раз и усреднить'измеренные значения времени пролета t.

Прежде чем приступить к систематическим измерениям, полезно проделать несколько опытов при разных S и т для того, чтобы убе­диться в правильности работы установки. Вычисленное из экспе­риментальных данных по формуле (5) значение g следует сопоста­вить с табличным.

Первые же опыты покажут, что найденные таким образом значе­ния g находятся в плохом согласии друг с другом и с табличным значением. Это вызывается следующими причинами.

1)         При выводе формулы (4) не учитывалась сила трения в под­шипниках оси блока. Сила трения обычно составляет заметную долю веса перегрузка.

2)         При измерении времени ty кроме случайных, возникают и систематические ошибки. Эти ошибки связаны с тем, что наблюда­тель включает секундомер не в тот самый момент, когда рвется цепь электромагнита, и выключает его не тогда, когда груз коснется столика, а с некоторым запозданием, величина которого зависит от скорости реакции наблюдателя и, как показывает опыт, никогда не равна нулю.

Чтобы устранить эти ошибки, следует выбрать целесообразную методику измерений и внимательно отнестись к способу обработки результатов.

Начнем с ошибок, возникающих при измерении времени про­лета t. Прежде всего следует, конечно, сделать достаточно малым вклад случайных ошибок. Это достигается, как всегда, путем много­кратного повторения опыта в одинаковых условиях.

Обратимся теперь к систематической ошибке в измерении вре­мени, которую мы обозначим Дt. Неизвестное нам истинное время пролета /мст связано с измеренным временем пролета tu3u очевидным соотношением

*исг = *нзм+Д*-         (6)

Формула (5) связывает между собой ускорение тела, путь его во время падения и истинное время падения /11СТ. Подстановка (6) в (5)

показывает, что измеренное время /,13м входит в формулу более сложным образом:

S^V2a(t]]3v + At)z     (7)

и содержит неизвестную ошибку At.

Поскольку истинное время /исг нам пока неизвестно, задача состоит в том, чтобы найти с помощью (7) ускорение а по измерен­ным значениям S и /пзм. Это лучше всего делать, изображая S и /1|ЗМ на графике в координатах (/ S и tU3M.

Извлекая корень квадратный из обеих частей равенства (7), найдем

Т/5 = ^Ка(4зм + А0.  (8)

Как видно из (8), ]/~S и tmvL связаны между собой линейной зависимостью. График должен поэтому представлять собой прямую линию. Наличие ошибки At приводит к тому, что эта прямая пере­стает проходить через начало координат, но не нарушает прямоли­нейного вида графика. Ошибка At н€ сказывается также на наклоне прямой, который зависит только от а\

a = 2 tg2 ср.   (9)

Определение наклона полученной прямой позволяет поэтому вычислить ускорение а вне зависимости от ошибки наблюдателя At. (График позволяет также при желании найти ошибку At. Поду­майте, каким образом это сделать.)

Ошибки измерений приводят к тому, что экспериментальные точки в координатах ]/S и tu3u не лежат на прямой. Через точки следует поэтому провести «наилучшую прямую», т. е. прямую, проходящую на наименьшем расстоянии от большинства точек.

Заметим, что график, построенный в координатах ]/S и t, является не единственным графиком, в котором зависимость (5) приобретает вид прямой линии. Тем же свойством обладают, напри­мер, графики, построенные в координатах S, fl или In S и In t. Графики, построенные в этих координатах, теряют,- однако, свой прямолинейный вид при учете различия между tKзм и /ист и потому непригодны для анализа.

Описанный выше метод обработки наблюдений позволяет (при данной величине перегрузка) правильно измерить ускорение а. Это найденное из эксперимента значение а не может быть, однако, непосредственно использовано для определения g, так как ускоре­ние зависит не только от а, но и от трения в оси блока.

Величину силы трения можно оценить, замечая наиболь­шую величину перегрузка ту еще не вызывающего движения

4 п/р Л. Л. Гольдина

системы. Этот способ не может, однако, быть применен для изме­рения силы трения, поскольку мешающее опыту трение сколь­жения отнюдь не равно трению покоя.

Ясно, что получить хорошие результаты опыта можно только при том условии, если вес перегрузка (силы, вызывающей движение) во много раз больше силы трения. Сила трения определяется в основ­ном весом груза М, а не весом перегрузка. Увеличивая вес пере­грузка, мы улучшаем поэтому условия опыта (следует также иметь в виду вес нити, вообще говоря, ненамного меньший веса перегрузка. Вес нити влияет на движение сложным образом, так как длина ее с каждой стороны блока зависит от времени. Это влияние, однако, так же как и влияние силы трения, уменьшается с ростом т).

Величину перегрузка следует поэтому всячески увеличивать; т не может, однако, быть выбрано очень большим, так как движение при этом становится слишком быстрым, и точность измерения вре­мени оказывается недостаточной. Лучше всего поэтому произво­дить измерения с не очень тяжелым перегрузком т и найти пре­дел, к которому стремится вычисленное значение g при увели­чении т до больших значений, которые на опыте непосредственно применяться не могут. Проще всего находить предел графически. Для этого следует построить график, в котором по оси абсцисс откладывается величина 1/т, а по оси ординат — найденное при данном т значение g. Проведенную через экспериментальные точки кривую нужно экстраполировать (продолжить) к большим значе­ниям т, т. е. к малым значениям 1/т, практически к 1/т = О (откладывать по оси абсцисс не обратную величину массы, а саму массу перегрузка т нельзя, так как в этом случае пришлось бы экстраполировать кривую к большим — в пределе к бесконечно большим — значениям т, чего нельзя сделать графически).

Найденное экстраполированное значение g и следует сравнивать с табличным. При этом студенту предлагается самому подумать над тем, как оценить точность полученного результата.

Измерения. 1. Измерив трение покоя, оцените наименьшую ве­личину перегрузка, при которой имеет смысл ставить опыт.

2.         Оцените наибольшую разумную величину перегрузка, изме­рив время движения системы грузов при разных перегрузках.

3.         Для нескольких (4^-7) перегрузков произведите измерения промежутков времени t, в течение которых груз пройдет различные пути S (для каждого перегрузка 5-f-8 значений, приблизительно равномерно распределенных). Полученные результаты изобразите графически в координатах }/S, t. Проверьте равноускоренный характер движения, найдите ускорение а для каждой величины перегрузка. Оцените точность измерения а.

4.         Используйте найденные значения а для определения экстра­полированного значения g. Оцените точность найденного значения. Сравните полученное значение с табличным.

Р 11. КРЕС100БРАЗИЫЙ МАЯТНИК ОБЕРЬЕКА

U 9

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я