• 5

IV. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАБЛЮДЕНИЙ. § 1. Распределение Пуассона

В последнее время в физике все чаще приходится встречаться с измерениями, результаты которых представляются в виде небольших целых чисел. Через счетчик Гейгера за время измерения проходит не очень большое и при этом, конечно, целое число частиц. Делящееся

p^wv-j Зтош/ взаимоиндукции

Образец с измерительной катушкой

Рис. 310. Схема установки для из­мерения индукции в образце.

ядро может распасться на две, на три, или даже на четыре, но обязательно на целое и притом небольшое число частей. Статисти ческие закономерности, которые имеют место в этом случае, несколько отличаются от изученных нами ранее; отличаются и правила вычис­ления ошибок.

Рассмотрим счетчик, регистрирующий космические частицы. В то время как число отсчетов счетчика за любой промежуток вре­мени является целым числом, интенсивность v космического излу­чения (т. е. число отсчетов счетчика в секунду, усредненное за очень большой — в пределе за бесконечный — отрезок времени), вообще говоря, целым числом не выражается.

Найдем вероятность того, что при интенсивности v счетчик сработает за секунду п раз.

Поскольку мы переходим теперь к вычислению вероятностей, следует представить себе очень большое число совершенно оди­наковых одновременно работающих счетчиков. Некоторая часть их сработает за секунду п раз. Доля, составляемая этими счетчиками по отношению к полному числу счетчиков, и равна вероятности того, что через счетчик в секунду пройдет ровно п частиц.

Обозначим полное число счетчиков буквой N. Через них в секунду в среднем проходит Nv частиц, а за небольшое время dt пройдет Nv dt частиц. Если dt достаточно мало, то ни через один из счетчиков за это время не пройдет двух частиц, и наши счетчики можно разбить на два класса: те, через которые за dt прошла частица, и те, через которые не прошла. Последние составляют, конечно, огромное боль­шинство. Число счетчиков, через которые прошла частица, равно, очевидно, числу сосчитанных частиц Nv dtt а их доля по отношению к полному числу счетчиков составляет Nv dt/N — v dt.

Вероятность того, что за время dt через счетчик пройдет частица, равна, следовательно, vdt. Это утверждение справедливо только для очень малого времени dt.

Вычислим теперь вероятность Р0 (t) того, что за время t через счетчик не пройдет ни одной частицы. По определению число таких счетчиков в момент t составляет NP0 (/), а в момент / + dt равно NP0 {t + dt). На основании предыдущего ясно, что из NP0 (t) счетчиков за время dt сработают NP0 (t) v dt. Поэтому

MPo (t + dt) = NP0 (t) - NP0v dt,

или

P0 (it + dt) - P0 (t) = - P0v dt, ^ = - P0v. Интегрируя, найдем

Po(t) = e(4.1)

При интегрировании было принято во внимание, что в начальный момент времени вероятность найти счетчик, не сработавший ни разу, равна, конечно, единице.

Вычислим теперь Рп (t -f- dt) — вероятность того, что за время t dt через счетчик пройдет ровно п частиц. Эти счетчики делятся на две категории. К первой принадлежат те, через которые все п частиц прошли за время t (а за время dt не прошло ни одной). Ко второй принадлежат счетчики, через которые за время t прошло п — 1 частиц, а последняя — за промежуток dt. Число первых равно

NPn (0(1 — vdt), а число вторых составляет МРп-г (t) v dt. Имеем, следовательно,

NPn(t+dt) =

= NPn (0(1 -v dt) + NPn~i (t) v dt

Перенесем nPn (t) влево и разде­лим обе части равенства на N dt: dPn

в, 0,22

Ц20 О,18 0,16 0,14 0,12 0,10 т

ОМ 0,04 Ц02

dt

•vPn = vPn.v (4.2)

h-».

012345S789 л

Рис. 311. Распределение Пуассона для п0 = 3.

Последовательно применяя ре­куррентную формулу (4.2), с по­мощью (4.1) найдем

PnV) =

(vt)n п\

-Vt

(4.3)

Заметим теперь, что vt> которое мы обозначим через п0, равно сред­нему числу частиц, проходящих через счетчик за время t. Введя в (4.3) щу найдем

Рп(п

(4.4)

Формула (4.4) определяет закон распределения Пуассона. Для иллю­страции на рис. 311 изображено распределение Пуассона для п0 = 3. Ни для какого п величина Рп не равна нулю. Она достигает мак­симума при п = 3. Вероятность п = 0 оказывается довольно велика. Достаточно велика также вероятность того, что счетчик сработает не 3, а 6 или даже 8 раз.

Рассмотрим некоторые свойства формулы (4.4). Вычислим преж­де всего вероятность найти какое угодно значение п:

 

ЬLе-п0 == е-п0 !Ь_ = е-поеп»=\.   (4.5)

/Н)       rS)       n—Q

Этот результат является очевидным, поскольку мы вычисляли вероят­ность достоверного события. Вычислим среднее значение п:

со

. е-*. = щ е^ У 5 = П°е~~п° Ж = "о- (4.6)

^ср —

си

п\

п=0

со

V А п d

п=О

Полученный результат также можно было без труда предсказать заранее.

Найдем теперь среднее квадратичное отклонение п (стандартную ошибку):

оо

V         пп

(п - п0)*р = (п - по)2 е~п° = П0

п=О

(вычисление суммы в качестве полезного упражнения мы предостав­ляем читателю). Имеем, следовательно,

a = K(/i-/io)?p = Kno-            (4.7)

Стандартная ошибка равна корню из среднего числа отсчетов.

§ 2. Распределение Гаусса

Распределение Гаусса является предельным случаем распре­деления Пуассона и многих других законов распределения.

Рассмотрим распределение Пуассона при больших п0 и п. Дис­кретность распределения по п в этом случае теряет свое значение, так как п меняется практически непрерывно.

Будем характеризировать отклонение п от с помощью е, определенного соотношением

п = п0{ 1+е).

Ограничимся рассмотрением случая, когда Подставляя формулу Стерлинга

In п\ = In У2пп -\-п\пп — п

в (4.4), найдем

In Рп = ti In п0 — In У 2пп — п In п + п — п0 = п In — + (п — п0) —

In У2пп — In У 2nnQ — -^у-,

(п-п0)2

п V2лп0 6Хр \ 2п0

Замечая теперь, что, согласно (4.7), п0 = a2, a п — п0 просто равно отклонению от среднего значения, получим закон распределения Гаусса, описывающий поведение непрерывных величин,

w У 2зха2 M 2а2 '     K }

С помощью формулы (4.8) нетрудно найти вероятность того, что значение х измеренной величины лежит между хг и х2:

Р <* < * < *) = | ехр (_           *. (4.9)

Интеграл (4.9) не сводится к элементарным функциям. Он вы-

Ф(х) ; Ю М 4* 4*

1,0       2,0       х

Рис. 312. График функции (4.Ю).

ражается обычно через функцию Ф (х):

X

<b(x)=^fer<Wdt.         (4.Ю)

О

Как нетрудно убедиться,

(4.II)

Определенная формулой (4.10) функция Ф является функцией только х. Эта функция изображена на рис. 312 для х > 0. Значения Ф (х) при х 0 находятся с помощью соотношения

Ф( — х)= -Ф(х).           (4.12)

Приведенные во Введении оценки для вероятности отклонения на о и 2о легко получить с помощью формул (4.11) и (4.12) и гра­фика функции Ф(*)на рис. 312.

§ 3. Метод наименьших квадратов

Рассмотрим опыт по определению модуля растяжения металли­ческого стержня. Результаты измерений удлинения стержня под нагрузкой могут быть представлены в виде таблицы

Нагрузка...

хг

 

х3

х4

 

*п

Удлинение...

У\

Уг

Уз

У4

 

Уп

 

 

Согласно закону Гука зависимость удлинения от нагрузки имеет вид

y = kx. (4.13)

Неизбежные ошибки опыта приводят, однако, к тому, что точки X/, yi не лежат на одной прямой. Значение k может быть найдено из любой пары значений Xi, yiy а наличие п пар приводит к появлению п, вообще говоря, несовместных уравнений для нахождения k.

Задачу о выборе наилучшего значения k мы до сих пор решали графически, отмечая точки xiy yt на миллиметровой бумаге и про­водя через них на глаз наилучшую прямую. Графический способ решения не всегда, однако, обеспечивает достаточную точность. Аналитическое решение задачи производится с помощью метода наименьших квадратов.

Рассмотрим отклонения точек лг/, yt от прямой (4.13) и составим величину ф — сумму квадратов отклонений наших точек от прямой:

Ф =      (4.14)

i=i

Величина ср .всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при кото­ром ф имеет минимум:

п

i=\

или

п

2 XiVi

k = 4    •           (4.15)

Ц4

i= 1

Вычисление показывает, что стандартная ошибка a (k) опре­деления величины k равна при этом

=          (4.16)

Мы рассмотрели сейчас наиболее простой случай применения метода наименьших квадратов. Рассмотрим теперь несколько более трудный случай, когда точки xh yt должны удовлетворять не формуле (4.13), а несколько более сложной формуле

у = a + bx<

(4.17)

Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений xiy yi найти наилучшие значения а и Ь.

Снова составим квадратичную форму ф, равную сумме квадратов отклонений точек х-и yt от закона (4.17),

п

Ф = 2 (yi-a-bxi)2, и найдем значения а и ft, при которых ф имеет минимум

п          п

/= 1 i—\ Совместное решение этих уравнений немедленно дает

лЫ-(Ы2 , пЫ-(Е^)2 ' (4Л8) Формулы (4.18) принимают более простой вид, если ввести х и у:

п          п

(4-19)

/=1 1=1 Подстановка (4.19) в (4.18) дает

Е {xi — xf ' " У ох'

Стандартные ошибки определения а и Ъ равны

г

 

(4.20)

(4.21)

Формулы (4.15) и (4.20) дают аналитический способ проведения наилучшей прямой через заданные экспериментальные точки.

§ 4. Критерии значимости. Метод %2

Вернемся к опыту по исследованию упругих свойств металли­ческого стержня. Пусть результаты опытов изображаются точками на рис. 313. Первый же взгляд на график убеждает нас в том, что зависимость удлинения от нагрузки является линейной или почти линейной. В самом деле, прямая, проведенная на рис. 313 сплошной линией, не противоречит экспериментальным данным. Им не противо­речит, однако, и изогнутая линия, проведенная пунктиром. Более того, эта линия даже несколько лучше удовлетворяет эксперимент

тальным данным, чем прямая. Мы хотели бы, однако, думать, что истинная связь удлинения и нагрузки все-таки является прямоли­нейной. Задача сводится к отысканию критерия, позволяющего судить о том, является ли представление искомой зависимости в виде прямой линии достаточно хорошим или экспериментальные данные заставляют отдать предпочтение криволинейной зависимости, напри­мер зависимости, изображенной пунктиром.

Сформулированная сейчас задача в применении к закону Гука представляется несколько искусственной. В этом случае лучше всего попросту повторить опыт, уменьшив эксперименталь­ные ошибки, и вопрос ре­шится сам собой. Встре­чаются, однако, случаи, когда такое повторение опыта оказывается затруд­нительным или даже невоз­можным. Так бывает, напри­мер, при опытах с редкими частицами в космических лучах или на ускорителях, когда повторение опыта требует нескольких лет работы или попросту оказывается невозможным. Возможно более полная интерпретация имеющихся данных становится в этом слу­чае особенно существенной.

Общий вопрос, который возникает в таких случаях, сводится обычно к следующему. На графике, изображающем некоторую зави­симость, точки легли не вполне регулярно. Следует ли придавать значение наблюденным отступлениям от гладкой кривой? Совместима ли с экспериментальными данными гипотеза о том, что искомая зависимость на самом деле является гладкой (или даже прямолиней­ной) или эти данные указывают на негладкий, аномальный ход кривой?

Исследование проблемы достоверности гипотез производится обычно с помощью критериев значимости.

Одним из наиболее удобных критериев значимости является так называемый «критерий %2».

В предыдущем разделе мы рассматривали метод наименьших квадратов, с помощью которого можно, например, провести через экспериментальные точки наилучшую прямую. Исследуем теперь вопрос о том, насколько данные, использованные для проведения этой прямой, согласуются с представлением о том, что рассматриваемая прямолинейная зависимость действительно имеет место. Единствен­ной мерой, которая может быть использована для расчета, является, естественно, точность, с которой экспериментальные точки удов­летворяют предполагаемому закону. В методе %2 в качестве такой

 

Рис. 313. Удлинение образца под нагрузкой.

Распределение %2

р — вероятность (в %) найти на опыте значение %2, большее чем указано в таблице, п — число степеней свободы системы

99

95

90

70

50

30

20

10

4

5

6

7

8 9

10 11 12

13

14

15

16

17

18

19

20 21 22

23

24

25

26

27

28

29

30

0,3 0,6 0,9 1,2 1,6 2,1 2,6 3,1

3.6

4.1

4.7

5.2

5.8

6.4 7,0 7,6

8.3

8.9

9.5 10,2 10,9 11-,5 12,2 12,9 13,6 14,3 15,0

0,4 0,8 1,1 1,6 2,0

2.5

3.1

3.6

4.2

4.8 5,4 6,0 6,6

7.3

7.9 8,6 9,2 9,9

10,6

11.3 12,0

12.7

13.4 14,1

14.8 15,6 16,3

0,7 1,1 1,6 2,2 2,7 3,3 3,9

4.6

5.2 5,9 6,6

7.3 8,0

8.7

9.4 10,1 10,8 11,6

12.3 13,1

13.8

14.6

15.4 16,1

16.9

17.7

18.5

1,1 1,6 2,2 2,8

3.5

4.2 4,9

5.6

6.3 7,0 7,8 8,5 9,3 10,1 10,9 11,6

12.4

13.2

14.0

14.8

15.7

16.5

17.3

18.1

18.9

19.8

20.6

1,6

2.3

3.1 3,8 4,6

5.4

6.2 7,0 7,8 8,6

9.5

10.3 11,1 12,0 12,9

13.7

14.6

15.4

16.3 17,2 18,1 18,9

19.8

20.7 21,6

22.5

23.4

2,2

3.0

3.8 4,7 5,5 6,4 7,3

8.1 9,0

9.9 10,8

11.7 12,6 13,5, 14,4

15.4 16,3 17,2 18,1 19,0 19,9 20,9

21.8 22,7 23,6 24,6

25.5

3,4 4,4 5,3 6,3 7,3 8,3 9,3 10,3 11,3 12,3 13,3 14,3 1АЗ 16,3 17,3 18,3 19,3 20,3 21,3 22,3 23,3 24,3 25,3 26,3 27,3 28,3 29,3

4,9 6,1 7,2

8.4

9.5

10.7

11.8 12,9

14.0

15.1

16.2

17.3

18.4

19.5

20.6

21.7

22.8 23,9 24,9 26,0

27.1

28.2

29.2

30.3

31.4

32.5 33,5

6,0 7,3 8,6 9,8 11,0 12,2

13.4 14,6

15.8

17.0

18.1 19,3

20.5

21.6 22,8

23.9 25,0 26,2

27.3

28.4

29.6

30.7

31.8

32.9

34.0

35.1

36.2

7,8 9,2 10,6 12,0

13.4

14.7 16,0 17,3

18.5

19.8 21,1

22.3

23.5 24,8 26,0 27,2

28.4

29.6

30.8

32.0

33.2 34,4

35.6

36.7

37.9

39.1

40.3

9,5 11,1 12,6 14,1

15.5 16,9

18.3 19,7 21,0

22.4 23,7

25.0

26.3

27.6 28,9

30.1

31.4

32.7 33,9

35.2 36,4

37.7 38,9 40,1

41.3 42,6

43.8

11,7

13.4

15.0 16,6 18,2 19,7 21,2 22,6

24.1

25.5 26,9 28,3

29.6 31,0 32,3

33.7 35,0 36,3 37,7

39.0

40.3

41.6 42,9

44.1

45.4

46.7 48,0

13.3

15.1 16,8

18.5 20,1 21,7

23.2 24,7 26,2

27.7

29.1

30.6 32,0

33.4

34.8

36.2 37,6

38.9

40.3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 50,9

меры принимается сумма квадратов отклонений от предполагаемой зависимости

Отклонения экспериментальных точек от значений, следующих из принятой гипотезы, выражаются в долях стандартной ошибки данного измерения. Найденное значение %2 должно быть сопо­ставлено с теорией. Это делается с помощью таблицы, приведен­ной на стр. 596. В таблице для разного числа степеней свободы (числом степеней свободы в этом случае называется число измерений без одного, если гипотеза не содержит определяемых из опыта коэф­фициентов, число измерений без двух, если из опыта находится один коэффициент, например наклон прямой, и т. д.) приведены значения %2для ряда чисел р. Для 10 степеней свободы находим из таблицы, что х2 = 2,6 для р = 99,х2 = 3,9 для р = 95, %2 = 7,3 для р = 70, X2 = 23,2 для р = 1 и т. д. Это означает, что в том случае, если гипотеза справедлива, рассчитанное по (4.22) значение х2 с вероят­ностью 99% (р = 99) окажется больше 2,6, с вероятностью 95% (р = 95) больше 3,9, с вероятностью 70% больше 7,3, с вероят­ностью 1 % больше 23,2 и т. д. Пусть мы найдем в результате расчета по формуле (4.22) х2 = 3,5. Такое значение х2 должно наблюдаться больше чем в 95% случаев; отклонение наших данных от ожидаемой прямолинейной зависимости является в этом случае совершенно несущественным. Если бы мы нашли в результате расчета х2 = 18, сопоставление с таблицей показало бы нам, что такие отклонения следует ожидать только в 5% случаев. Существование прямолиней­ной зависимости и в этом случае нельзя считать исключенным, но должно быть поставлено под сомнение. Естественно в этом случае повторить опыт, чтобы получить более ясный результат. Если бы х2 оказалось равно 30 (вероятность получить на опыте такое значе­ние — 0,1%), можно было бы утверждать, что проверяемая гипотеза почти наверное является ошибочной.

При сравнении отклонений с таблицей обычно применяют еле дующую терминологию: если найденная из опыта величина х2Долж- на наблюдаться с вероятностью, заключенной между 1 и 5%, откло­нения называются почти значимыми, если вероятность заключена между 0,1 и 1% —значимыми и, наконец, если вероятность обна­ружить найденное значение х2 оказывается меньше 0,1 %, отклонения являются высокозначимыми. При вероятности >5% следует счи­тать, что экспериментальные данные недостаточны для того, чтобы отвергнуть гипотезу.

На этом мы заканчиваем краткое изложение методов обработки наблюдений. Более подробные сведения могут быть найдены в спе­циальных книгах.

N

 

(4.22)

V. ИОНИЗАЦИОННЫЕ КАМЕРЫ И СЧЕТЧИКИ § 1. Введение

Счетчики Гейгера и ионизационные камеры служат для регистра­ции и исследования быстрых частиц. Они представляют собой на­полненные газом сосуды с двумя электродами. Схема устройства такого прибора приведена на рис. 314.

Обычно стенки прибора образуют один из электродов системы. Второй электрод вводится в газ через изолирующую пробку. К элек­тродам подведено постоянное напряжение от источника э. д. с. Величина тока, проходящего через газ, измеряется по падению

напряжения на измерительном сопротивлении.

Заполняющий сосуд газ сам по себе не проводит электричес­кого тока. Проводимость газа связана с внешними причинами, приводящими к появлению ио­нов. Ионизацию газа могут производить быстрые заряжен­ные частицы, проходящие через газ. При исследовании нейт­ральных частиц (нейтронов, у-квантов) ионы создаются вто­ричными заряженными частицами, которые образуются в стенках прибора или в самом газе при взаимодействии с первичными нейт­ральными частицами.

Для обеспечения надежной работы ионизационной камеры (или счетчика) нужно правильно выбрать состав рабочего газа. Очень важно, чтобы электроны, образующиеся при ионизации, оставались свободными, а не захватывались соседними молекулами (не «при­липали» к ним). Чаще всего для наполнения пользуются аргоном и неоном, иногда азотом и водородом. Кислород и водяные пары, даже в небольших количествах, вызывают резкое ухудшение рабо­чих параметров прибора.

На рис. 315 схематически изображена типичная вольт-амперная характеристика рассматриваемого прибора. По оси абсцисс отло­жено напряжение на его электродах, по оси ординат — величина импульса, образующегося на измерительном сопротивлении при прохождении через прибор быстрой заряженной частицы.

При небольших напряжениях величина импульса зависит как от рода пролетающей частицы, так и от величины напряжения на электродах. Дльфа-частицы отличаются от Р-частиц (электронов) величиной заряда и скоростью. Количество пар ионов, образую­щихся на единице пути в газе (плотность ионизации), пропорцио­нально квадрату заряда пролетающей частицы. У а-частицы Z2

rV"

Иоиат

 

уш/штшщ

Газ

— Измерительное ^Z сопротивление

 

Рис. 314. Схема устройства газового счетчика.

в четыре раза больше, чем у электрона. Плотность ионизации быстро увеличивается с уменьшением скорости (как l/v2). При одинаковой энергии а-частицы имеют существенно меньшую скорость, чем электроны. Обе указанные причины приводят к тому, что плот­ность ионизации по следу а-частицы в тысячи раз превосходит плотность ионизации по следу электрона. Аналогичные рассужде­ния применимы ко всем другим частицам. При скоростях, близких к скорости света, частицы меньше всего ионизируют газ (мини­мальная ионизация). При небольших напряжениях на электродах

 

Рис. 315. Характеристики газового счетчика при работе в различных режимах.

Кривая а — для сильноионизирующих частиц (например, а-частиц), кривая б — для частиц с меньшей удельной ионизацией ((3-частиц).

зависимость величины импульса от напряжения объясняется из­менением вероятности рекомбинации ионов. При малых напряже­ниях электрическое поле медленно растаскивает образовавшиеся ионы, они с заметной вероятностью могут вновь соединиться в нейтральный атом (или молекулу) и перестают вносить вклад в электропроводность газа. Чем напряжение выше, тем процесс рекомбинации становится менее вероятным и, наконец, вольт-ам­перная характеристика выходит «на плато» — практически все образовавшиеся ионы достигают электродов. Прибор, работающий в области плато, называют ионизационной камерой.

При дальнейшем повышении напряжения величина импульсов снова начинает расти. Это возрастание связано со вторичной иони­зацией, которую производят на пути к аноду электроны, разгоняю­щиеся в электрическом поле. Вторичная ионизация оказывается возможной, когда на длине свободного пробега электроны успевают набрать энергию, достаточную для того, чтобы ионизировать встреч­

ные атомы. Чем выше напряжение на камере, тем большее число раз успевает произойти такая ионизация. Вместо каждого первич­ного электрона на анод приходит целая лавина. Число электронов, приходящих к аноду (и соответственно ионов, достигающих катода) в этой области оказывается существенно больше числа первоначально образовавшихся пар ионов, но остается ему пропорциональным, причем коэффициент пропорциональности зависит от напряжения на камере. Происходит, как говорят, газовое усиление импульса. Рассмотренная область называется поэтому пропорциональ­ной, а прибор, работающий в этом режиме, носит название про­порционального счетчика.

Перемена названия — счетчик вместо камеры — связано с из­менением характера работы прибора. Импульсы, возникающие при прохождении отдельных частиц через ионизационную камеру, особенно если речь идет о быстрых частицах, столь малы, что обычно не используются для регистрации. Камеры чаще всего измеряют суммарный ток, возникающий от прохождения многих частиц. Более мощные импульсы, возникающие в пропорциональном счет­чике, используются для счета числа частиц, пересекающих прибор. Прибор, работающий в пропорциональной области, естественно поэтому называть счетчиком.

За пропорциональной областью располагается область ограни­ченной пропорциональности. Импульсы, возникающие при про­хождении отдельных частиц, при этом оказываются еще больше, чем у пропорциональных счетчиков. Увеличение импульса покупается, однако, ценой нарушения пропорциональности между* величиной импульса и числом первичных ионов, образованных в газе при про­хождении регистрируемой частицы. Различать частицы разной природы оказывается при этом все более трудно.

Нарушение пропорциональности при увеличении напряжения связано с появлением пространственного заряда положительных ионов у анода счетчика. Поле медленно движущихся ионов иска­жает распределение потенциала и прекращает образование лавины. Чувствительность счетчика восстанавливается лишь после ухода ионов от анода.

При дальнейшем повышении потенциала прибор переходит в гейгеровскую область. В этой области вели­чина импульса вообще перестает зависеть от числа первичных электронов. На появление даже одной-единственной пары ионов гейгеровский счетчик отвечает максимально возмож­ным импульсом. Величина этого импульса зависит от напря­жения.

Если продолжать повышать напряжение на счетчике, то после прохождения первой же частицы начинается непрерывный разряд, довольно быстро приводящий к порче счетчика. В этой области прибор не используется.

Развитая выше общая схема характеризует камеры и счетчи­ки лишь в самых общих чертах. В зависимости от назначения при­бора меняется его конструкция, габариты, наполнение и схема включения ♦

§ 2. Ионизационные камеры

Устройство ионизационной камеры изображено на рис. 316. Быстрые частицы пронизывают газ, которым наполнена камера, и ионизируют его. Образовавшиеся ионы движутся в электрическом поле, которое создано заземленным через сопротивление R измери­тельным электродом ИЭ и наружным высоковольтным электродом ВЭ. Сила тока /, протекающего через камеру, и, следовательно, напря­жение Vt образующееся на сопротивлении Ry определяются иони­зацией газа и служат для ее измерения. Измерительный электрод ИЭ укреплен в высоковольтном с помощью изоляторов Их и И2- Ох­ранный электрод ОЭ заземлен. Основные токи утечки направляются

г

т

Газ

И(

=> из

ВЭ

П/? Ф/

Кизмерительному \ прибору s о

Рис. 316. Схема устройства ио­низационной камеры.

 

V,        V

Рис. 317. Вольт-амперная характе­ристика ионизационной камеры.

от высоковольтного электрода к охранному и не попадают на изме­рительный. Разность потенциалов между ОЭ и ИЭУ зависящая от падения напряжения на Ry обычно не превышает долей вольта, и поэтому утечки через изолятор Их малы и не искажают результа­тов измерений.

Поставим вблизи камеры источник ионизирующего излучения и начнем постепенно увеличивать напряжение на ней. Ток, проте­кающий через камеру, сначала будет резко возрастать, а затем, начиная с некоторого напряжения станет постоянным или, как говорят, выйдет на плато (рис. 317). Предельный ток /0 равен, очевидно,

10 = пе,

где п — число пар ионов, образуемых в секунду в объеме камеры, а е — заряд электрона.

При недостаточном напряжении сила тока оказывается заметно меньше /0. Это происходит в основном из-за того, что часть ионов

успевает рекомбинировать и не доходит до электродов камеры. Лишь при достаточно больших напряжениях (порядка сотни или нескольких сотен вольт при обычных размерах каме})) ионы дви­жутся достаточно быстро, и рекомбинация не играет существенной роли. При использовании камер- для регистрации ионизирующего излучения всегда стремятся работать в области плато, так как при этом сила тока не зависит от небольших изменений напряжения на камере.

Сделаем некоторые численные оценки. При измерении напряже­ний, меняющихся не очень быстро, чувствительность аппаратуры обычно не удается сделать больше чем несколько милливольт. Это связано с тем, что контактные разности потенциалов на проводах, сопротивлениях и деталях аппаратуры составляют десятые доли вольта и несколько меняются с температурой и со временем. Изме­ряемые напряжения лишь в том случае будут зарегистрированы на­дежно, если они существенно превышают указанную нестабиль­ность. Положим поэтому, что минимальное измеримое значение на­пряжения равно Vmin = Ю-2 В.

При данном Vmin минимальная обнаружимая сила тока 1т\п определяется, очевидно, величиной сопротивления R. Практически никогда не применяют сопротивлений больше чем 1013 Ом. Это связано с тем, что при больших сопротивлениях схема очень мед­ленно откликается на изменение интенсивности измеряемого излу­чения. Постоянная времени схемы, изображенной на рис. 316, равна RC, где С — емкость измерительного электрода и соединяю­щих проводов. Эта емкость обычно составляет не менее 20 пФ. При R — 1011 Ом имеем

т=1011.20.10-и = 2 с.          (5.1)

Увеличивать R — и вместе с ним т — в большинстве случаев не­целесообразно. При наших параметрах схемы имеем поэтому

/min = vmin/R = Ю-2/10" = ю-13 А.            (5.2)

Поскольку заряд электрона равен 1,6*10~19 Кл, найдем, что камера способна эффективно регистрировать излучение лишь в том случае,

если в ней за секунду образуется ~ i 6° кг19 " ^ паР ионов-

Быстрые частицы, пролетающие через камеру, создают в ней, вообще говоря, заметное число ионов. Это число достигает 105 на частицу для а-частиц и составляет около 100 для быстрых электронов. Как бы ни были велики эти числа, они все-таки существенно меньше, чем 106, так что ионизационная камера способна надежно регистри­ровать лишь суммарный эффект от прохождения большого числа частиц.

Положение существенно изменяется, если в сочетании с иониза­ционной камерой применять не измеритель тока, а регистратор

отдельных импульсов. Найдем импульс напряжения, возникающий на камере, при прохождении через нее одной а-частицы, создающей 105 пар ионов. Заряд, перенесенный образованными ионами, равен 105 -1,6 -10"19 = 1,6 • 10~14 Кл, и изменение потенциала емкости С составит

A V = Q/C= 1,6-10-14/20.10-12^ Ю-3 В.  (5.3)

Как было отмечено выше, такое изменение напряжения было бы невозможно заметить, если бы оно происходило медленно. Соби­рание ионов в камере продолжается, однако, не более миллисе­кунды, контактные разности потенциалов за такие времена меняются крайне незначительно, и сигнал 1 мВ измерить в этих условиях нетрудно. Импульсная ионизационная камера позволяет, таким образом, регистрировать отдельные а-частицы. Измерение импуль­сов, вызванных прохождением одиночных быстрых электронов, и в этом случае оказывается, однако, невозможным. Эту задачу позволяют решить только счетчики.

Заметим, что в (5.3) величина сопротивления R не входит. В этом случае, следовательно, нет смысла выбирать его особенно большим. Легко сообразить, что уменьшать R можно до тех пор, пока т = = RC не окажется порядка времени собирания ионов. Это проис­ходит при

R = т/С = 10-3/20 • Ю-12 - 50 МОм.          (5.4)

При дальнейшем уменьшении R величина импульса начинает падать. Оценка (5.4) справедлива для времен собирания ионов по­рядка 10~3 секунды. Во многих случаях удается это время суще­ственно уменьшить и соответственно сократить величину R.

§ 3. Пропорциональные счетчики

Как показано на рис. 315, при дальнейшем увеличении напря­жения на камере за участком плато начинается участок нового подъ­ема. Число ионов, приходящих на электроды, возрастает -при этом вследствие вторичной ионизации и оказывается существенно больше числа первичных ионов, образованных в газе ионизирующим излу­чением. Вторичная ионизация возможна, если энергия, приобре­таемая электронами в электрическом поле на пути между двумя последовательными столкновениями с атомами газа, оказывается достаточной для того, чтобы ионизировать эти атомы. Она позво­ляет, таким образом, усиливать импульсы, возникающие при про­хождении частиц через газ. Ионизационные камеры, использующие газовое усиление, носят название счетчиков. Устройство обычного счетчика изображено на рис. 318. Катодом служит проводящий слой 1 из графита или из какого-либо металла, нанесенный на внутреннюю поверхность стеклянной цилиндрической трубки 2.

Тонкая нить 3 — анод — закреплена с одного конца с помощью работающей на сжатие пружинки 4t которая поддерживает нить в натянутом состоянии. Второй конец нити соединен с проволокой, которая сваривается со стеклом. Для уменьшения краевых эффек­тов нить проходит через тонкие стеклянные трубки 5 с плавно за­кругленными краями. Трубка 6 служит для откачки счетчика и для заполнения его газом.

Напряженность электрического поля в цилиндрическом счет­чике обратно пропорциональна расстоянию от его оси:

fl

Здесь гг — радиус нити, г2 — внутренний радиус катода, V — раз­ность потенциалов между нитью и катодом. Поле достигает больших

 

Рис. 318. Схема устройства пропорционального и гейгеров­ского счетчиков.

значений около нити и невелико у катода. Условие вторичной иони­зации может быть записано в виде

£>£вт,            (5.6)

где Еът — напряженность электрического поля, при которой ста­новится возможной вторичная ионизация.

Это условие выполняется при

r<r0 = -jr          7-.        (5.7)

вт In —

Формула (5.7) определяет радиус, при котором электроны на­чинают ионизировать атомы газа. Эта формула имеет смысл, ко­нечно, лишь при г0 > гг. Если вторичная ионизация произошла до­статочно далеко от нити, то вторичные электроны, набрав в элек­трическом поле достаточную энергию, способны сами ионизировать газ наравне с первичными. Вместо каждого первичного электрона в этом случае к аноду приходит целая лавина. Число электронов,

приходящих к нити счетчика, отнесенное к числу первичных элек­тронов, носит название коэффициента газового усиления А. Коэф­фициент газового усиления быстро возрастает с напряжением, так как число вторичных электронов экспоненциально растет с увели­чением разности г0 — гг.

При значениях, меньших 103, коэффициент газового усиления А оказывается обычно очень стабильным (при стабильном V) и не за­висит ни от числа первоначально образовавшихся ионов, ни от места их образования. Последнее обстоятельство связано с тем, что нара­стание лавины происходит в очень узкой области, непосредственно прилегающей к нити. Газ, наполняющий всю остальную часть счет­чика, находится в одинаковых условиях: всякий образованный здесь электрон постепенно продвигается к аноду, начинает вызы­вать ионизацию, достигнув радиуса г = г0, и рождает на своем"пути в области около нити приблизительно одинаковое число пар ионов. Количество электронов, приходящих на нить, таким образом, с хорошей точностью пропорционально числу первичных электро­нов. Счетчик, работающий в указанном режиме, называется про­порциональным счетчиком. Число первичных ионов, создаваемых в объеме счетчика, зависит от рода пролетающих через него ча­стиц и от их скорости. По величине импульса в пропорциональном счетчике можно поэтому судить о свойствах пролетающих частиц.

Для работы счетчиков с, газовым усилением существенно, чтобы электроны, сталкиваясь с атомами газа, не прилипали к ним, т. е. не образовывали отрицательных ионов. Такие ионы вследствие своей большой массы движутся сравнительно медленно, обладают малой длиной свободного пробега и неспособны производить вторичную ионизацию. «Прилипшие» электроны выбывают поэтому из процесса образования лавины.

К числу электроотрицательных газов, т. е. газов, склонных захватывать электроны, относится кислород. Его присутствие резко ухудшает характеристики счетчиков и поэтому крайне нежелательно. Для наполнения счетчиков часто применяют не имеющие сродства к электронам благородные газы, в особенности аргон. Кроме того, в состав газовой смеси часто вводятся многоатомные газы (в про­порциональных счетчиках обычно метан). Роль этих газов будет ясна из дальнейшего.

При значениях, много больших 103, коэффициент газового уси­ления начинает зависеть от величины первоначального импульса: чем больше число первичных электронов, тем А оказывается меньше. Импульсы начинают как бы подравниваться по величине. Счетчик вступает при таких А в область «ограниченной пропорциональности». Ограничение величины импульса связано с положительными ионами.

Электроны и положительные ионы образуются при ионизации в равном количестве. Обладающие большой подвижностью элект­роны — как первичные, так и вторичные — за время порядка

10"7 -f-10~6 секунды успевают закончить свой путь к аноду. Мед­ленные положительные ионы за этот промежуток времени практи­чески не успевают сдвинуться с места. Они образуют в газе прост­ранственный заряд. Величина этого заряда особенно велика около нити, где происходит нарастание лавины. Поле положительных ионов искажает первоначальное поле в счетчике и делает его более равно­мерным. Поле в окрестности нити при этом падает. При больших импульсах ослабление оказывается столь существенным, что ве­личина газового усиления начинает падать.

§ 4. Счетчики Гейгера

Как было выяснено выше, при увеличении напряжения на счет­чике коэффициент газового усиления быстро возрастает, и счетчик переходит из пропорционального режима в режим ограниченной пропорциональности. При еще больших напряжениях возникнове­ние хотя бы одной пары ионов приводит к началу самостоятельного разряда. Сигналы, выдаваемые счетчиком, достигают при этом не­скольких вольт и могут использоваться без предварительного уси­ления.

Самостоятельный разряд в счетчике не может быть объяснен одним только разрастанием лавины. В самом деле, как бы ни была велика лавина, образующие ее вторичные электроны приходят на анод вместе с первичными, — и новым электронам взяться, каза­лось бы, неоткуда. Разряд, таким образом, должен был бы прекра­титься вплоть до появления новых электронов, возникновение ко­торых связано с внешними причинами. Существуют, однако, два явления, способные вызвать возникновение новых электронов в силу одних, только внутренних причин.

Отметим прежде всего, что при нейтрализации ионизированных атомов у катода освобождается заметное количество энергии. По­тенциалы ионизации атомов почти всегда выше работы выхода электронов из металла, так что энергии хватает и на то, чтобы вы­рвать из металла электрон, необходимый для нейтрализации иона, и на освобождение еще одного электрона. Этот электрон начинает двигаться к нити, рождает на своем пути новую лавину и т. д. Возникновения самостоятельного разряда при малых А не проис­ходит лишь благодаря тому, что вероятность вырывания элек­трона из катода очень мала. Только при огромном числе положи­тельных ионов, сталкивающихся с катодом (порядка 104), появляется заметная вероятность того, что из него будет выбит хоть один элек­трон. Если каждая лавина приводит к появлению у катода больше чем одного электрона (в среднем), создаются условия для возникно­вения самостоятельного разряда. Самостоятельный разряд в счет­чике может поддерживаться поэтому лишь при достаточно большом ионном токе.

Вторым процессом, который способен освобождать электроны из катода, является фотоэффект — вырывание электронов из катода световыми квантами (в основном ультрафиолетом). Кванты ультрафиолетового излучения при разряде счетчика излучаются возбуждаемыми при соударениях с электронами атомами и реком- бинирующими у катода положительными ионами. Возникший в счетчике самостоятельный разряд должен сам собой прекратиться, как только около нити образуется достаточно мощный простран­ственный заряд. Вскоре, однако, положительные ионы уходят от нити, и условия для образования разряда восстанавливаются. Один из описанных выше эффектов приводит к появлению в газе новых электронов, происходит новая вспышка, за ней следующая и т. д.

Ясно, что описываемый счетчик может зарегистрировать всего одну частицу, а для регистрации следующей нужно предварительно погасить самостоятельный разряд. В зависимости от методов гаше­ния счетчики делятся на самогасящиеся и несамогасящиеся.

В несамогасящемся счетчике в токовую цепь счетчика вводится большое, сопротивление R (см. рис. 318). Как ясно из предыдущего, «самоподдерживаться» в счетчике может лишь достаточно интенсив­ный разряд, т. е. разряд с током больше некоторого /mj„. Если этот ток вызывает на сопротивлении такое падение напряжения, что

V-RImin< Vc.p

(Vc.p — напряжение самостоятельного разряда), то разряд, оче­видно, должен погаснуть. Необходимые для гашения разряда со­противления составляют обычно около 108 Ом. При таких больших сопротивлениях сильно возрастает постоянная времени, с которой восстанавливается напряжение на счетчике (RC — 10~3 с). Во время восстановления счетчик не может давать импульсы прежней вели­чины. Часть этого времени (так называемое «мертвое время») он оказывается вообще неработоспособен. Хотя в последнее время был предложен ряд эффективных радиотехнических методов гаше­ния разряда, несамогасящиеся счетчики сейчас применяются срав­нительно редко.

Гашение разряда в самогасящихся счетчиках осуществляется путем введения в газ паров какого-нибудь сложного органического вещества (спирта, ацетона и др;). Многие сложные молекулы непро­зрачны для ультрафиолета и не дают соответствующим квантам достичь катода. Энергия,-освобождаемая ионами у катода, в присут­ствии таких молекул расходуется не на вырывание электронов, а на диссоциацию молекул. Возникновение самостоятельного раз­ряда в этих условиях становится невозможным, а величина импульса ограничивается пространственным зарядом положительных ионов. Для прекращения самостоятельного разряда достаточно сравни*

тельно небольших примесей многоатомных газов (около 10%). Давление в счетчиках колеблется от нескольких сотых до несколь­ких десятых долей от атмосферного.

В отличие от несамогасящихся счетчиков, самогасящийся счет­чик способен зарегистрировать лишь ограниченное количество им­пульсов; оно составляет обычно несколько десятков миллионов. За это время существенная часть многоатомных молекул успевает дис­социировать, и счетчик становится непригоден к работе.

Разряд в самогасящихся счетчиках заканчивается за время по­рядка 10"7 секунды, однако чувствительность его восстанавливается только после того, как положительные ионы уйдут достаточно да­леко от нити (полная чувствительность достигается лишь после их

 

Рис. 319. Вид осциллограммы при наблюдении импульсов гейге­ровского счетчика. тм — мертвое время счетчика, тв — «выпадающее» время, состоящее из мертвого времени и времени восстановления.

нейтрализации на катоде). Время полной нечувствительности счет­чика называется обычно мертвым временем, а время его неполной чувствительности — временем восстановления. Мертвое время и время восстановления счетчиков удобно наблюдать и измерять с по­мощью осциллографа со ждущей "разверткой.

Подадим на вертикальный вход осциллографа сигналы со счет­чика, установленного вблизи от радиоактивного источника. Выбе­рем длительность ждущей развертки в два-три раза больше мерт­вого времени. Сигналы, запускающие развертку и расположенные вследствие этого в самом ее начале, налагаются друг на друга и дают яркую картину, изображенную на рис. 319 жирной линией. Эта линия характеризует форму нормального импульса.

Если подобрать интенсивность радиоактивного источника так, чтобы среднее время между проходящими через счетчик части­цами было меньше длительности развертки, то за время прохожде­ния луча по экрану может быть зарегистрирован второй сигнал. В силу случайного характера радиоактивного распада повторные сигналы появляются через различное время после импульса, за­пустившего развертку. Эти сигналы имеют на экране осциллографа вид тонких линий, так как они связаны с однократным прохожде­нием луча.

Как видно из рисунка, непосредственно за основным импульсом вторичные импульсы не возникают. «Пустой» участок характери­зует мертвое время счетчика тм. Затем амплитуда сигналов посте­пенно увеличивается и через тв — время восстановления — дости­гает нормальной.

Мертвое время самогасящихся счетчиков зависит от геометрии счетчиков, от напряжения на нем и от подвижности ионов наполняю­щего газа. Обычно оно составляет около 10~4 секунды.

Величина импульса, которая может быть снята с нити, для са­могасящихся счетчиков составляет несколько вольт.

Гашение разряда в счетчике с помощью многоатомных газов является эффективным в том случае, если напряжение на счетчике (и, следовательно, величина лавины) не слишком велико. При сильном- подъеме напряжения количество ионов оказывается столь большим, что появляется заметная вероятность образования вто­ричных электронов у катода даже в присутствии многоатомных газов. В этом случае возникает самостоятельный разряд, при ко­тором счетчик почти сразу выходит из строя. Подъем напряжения на счетчиках должен поэтому производиться крайне осторожно.

Как отмечалось выше, самогасящиеся счетчики, содержащие многоатомные газы, обладают тем недостатком, что они могут заре­гистрировать ограниченное число частиц (не более 108). Кроме того, такие счетчики неудобны в обращении, так как требуют сравни­тельно высокого напряжения — порядка тысячи вольт.

При исследовании газового разряда было замечено, что если добавить к инертному газу, заполняющему счетчик, небольшое количество (0,1%) какого-либо из галогенных газов, то рабочее напряжение сильно понижается и счетчик становится самогася­щимся. Счетчики, наполненные такой смесью, называют галоген­ными. Для заполнения галогенных счетчиков обычно используют неон с добавкой химически мало активного брома. Рабочее напря­жение в галогенных счетчиках, как правило, не превышает 200— 400 В.

Работа счетчиков основана на том, что потенциал возбуждения неона (16,6 В) заметно меньше его потенциала ионизации (21,5 В); поэтому при столкновении электронов с молекулами неона в основ­ном происходит их возбуждение. Вблизи нити счетчика, где напря­женность электрического поля велика, образуется особенно много возбужденных атомов неона. Время жизни неона в возбужденном (метастабильиом) состоянии очень велико (10~2 -г- 10~4 секунды), и до момента высвечивания атом неона испытывает весьма большое число соударений, причем успевает столкнуться и с редко встре­чающимися молекулами брома.

При соударении с молекулой брома возбужденный атом неона может ионизировать ее, так как потенциал ионизации брома (12,8 В) ниже потенциала возбуждения неона. Образовавшийся при иони-

20 п/р Л, Л. Гольдина

зации электрон разгоняется в поле нити и возбуждает атомы неона, которые в свою очередь ионизируют новые молекулы брома. Часть возбужденных атомов неона переходит в основное состояние путем излучения. Возникающее при этом ультрафиолетовое излучение практически не поглощается в газе и, попадая на катод, выбивает с его поверхности электроны. При движении этих электронов к аноду процесс возбуждения атомов неона повторяется, возникают новые электронно-ионные лавины и при достаточном напряжении на счет­чике в нем возникает самостоятельный разряд.

В результате разряда вблизи нити счетчика образуется большой положительный пространственный заряд, состоящий из ионизи­рованных молекул брома. Этот заряд понижает напряженность поля около нити, и процесс возбуждения атомов неона прекращается. К этому времени еще не все возбужденные атомы неона успевают перейти в основное состояние. Процесс ионизации молекул брома и выбивание электронов с катода ультрафиолетовым излучением продолжаются. Эти процессы несколько затягивают время оконча­ния разряда. Как отмечалось выше, в несамогасящихся счетчиках Гейгера самостоятельный разряд поддерживается электронами, которые выбиваются из катода положительными ионами газа. В галогенных счетчиках с катодом сталкиваются только ионы брома и вторичные электроны при этом не выбиваются, поскольку энер­гия ионизации брома меньше удвоенной работы выхода электронов с поверхности катода. Эта поверхность подвергается специальной обработке, цель которой заключается в том, чтобы увеличить ра­боту выхода электронов.

Мертвое время и время восстановления у галогенных счетчиков имеют те же значения и обусловлены теми же причинами, что и у счетчиков, заполненных многоатомными газами.

Следует отметить, что начальная стадия разряда в галогенных счетчиках развивается гораздо медленнее, чем в других типах счет­чиков из-за того, что молекулы брома ионизируются электронами не прямо, а в два этапа. Первый этап этого процесса — возбужде­ние атомов неона — происходит быстро, а второй — медленно, поскольку встреча атомов неона с молекулами брома происходит редко (напомним, что в газе счетчика на 1000 атомов неона имеется только одна молекула брома!).

Медленное развитие разряда приводит к удлинению фронта электрических сигналов, снимаемых со счетчиков. Импульсы гало­генных счетчиков сильнее запаздывают и больше флюктуируют по времени, чем импульсы обычных самогасящихся счетчиков. По­этому при работе с галогенными счетчиками нельзя использовать схемы совпадения с высоким разрешением.

Приведем в заключение счетную характеристику гейгеровского счетчика (рис. 320). Счетная характеристика опре­деляет зависимость числа частиц, регистрируемых счетчиком за

единицу времени, от напряжения на счетчике при неизменных внешних условиях, например при неизменном расстоянии от ра­диоактивного источника. Пока напряжение оказывается меньше порогового, счетчик не работает как гейгеровский и связанная с ним электронная схема не регистрирует распадов. При подходе к порогу счетчик «начинает чувствовать» источ­ник и счет быстро увеличи­вается. Затем наступает об­ласть плато, на котором счет мало зависит от напряжения. В этой области счетчик ре­гистрирует почти все попав­шие в него частицы. За пла­то начинается быстрый рост числа отсчетов, связанный с. многократной регистрацией каж­дой частицы. Увеличение скорости счета в этой области служит предупреждением о том, что счетчик переходит в режим непрерыв­ного разряда и, следовательно, будет испорчен. Подъем напряже­ния должен быть немедленно прекращен и режим счетчика возвра­щен к середине плато.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я