• 5

§ 2. Вынужденные колебания. Метод комплексных амплитуд

Рассмотрим теперь процессы, протекающие в контуре, подсо­единенном к источнику внешней э. д. е., изменяющейся по синусои­дальному закону (рис. 301):

S = S0cos Ш. (2.28)

В этом случае вместо (2.1) имеем

L dJf+RI + - cos Qt.   (2.29)

Решение линейного дифференциального уравнения (2.29) с пра­вой частью состоит из общего решения однородного уравнения (ко­торое уже было получено в предыдущем параграфе) и какого-нибудь

частного решения уравнения с правой частью. Для нахождения этого реше­ния воспользуемся методом комплекс­ных амплитуд. Этот метод основан на следующем утверждении. Пусть неко­торая комплексная функция является решением линейного дифференциаль­ного уравнения с вещественными ко- Рис. 301. Последовательный кон- эффициентами и комплексной правой

тур с включенной э. д. с.     ^^ ~     г

частью. Тогда вещественная часть

этой функции является решением

того же уравнениям правой части которого стоит вещественная часть

прежнего выражения, а мнимая часть — решением уравнения

с мнимой правой частью.

Исходя из сказанного, заменим (2.29) уравнением с комплексной правой частью

L4f+RI(2-3°)

Правая часть (2.29) является вещественной частью правой части (2.30). Решив уравнение (2.30), мы получим комплексное выражение для тока. Вещественная часть этого решения является, согласно указанному выше утверждению, решением исходного уравнения (2.29).

Будем искать решение (2.30) в виде

7          (2.31)

где / — комплексная амплитуда тока («крышкой» сверху будем обозначать комплексные величины, индексом 0 — амплитудные значения). Подставляя (2.31) в (2.30) и сокращая на eiQt, найдем

+          =          (2.32)

Величина, стоящая в квадратных скобках, носит название импеданса контура и обозначается обычно буквой Z,

Z = R + i(QL^^c\         (2.33)

Выражение для Z не зависит от начальных условий, не содержит ни токов, ни напряжений и определяется только свойствами эле­ментов, соединенных в контур. Импеданс является, таким образом, характеристикой контура. Подстановка (2.33) в (2.32) дает

S0 = Z I q.       (2.34)

Полученное выражение полностью эквивалентно закону Ома. Роль сопротивления играет в нем импеданс контура Z. Равенство (2.34) обладает характерной особенностью: правая его часть содержит произведение двух комплексных величин, а левая является действи­тельной. Легко видеть, что это обстоятельство не носит принципи­ального характера и является случайным. Возьмем вместо (2.28)* несколько более общее выражение для синусоидальной э. д. с.

% — cos (Ш + ср).    (2.35)

Фаза ф определяет начальные условия: в самом деле, при t = О напряжение не обязательно должно проходить через максимум, как это молчаливо предполагалось при написании (2.28). При переходе к (2.30) в правой части уравнения будет стоять уже не Ш0е1Шу a $0eiQt, где Ш0 является комплексной величиной,

Связь между током и напряжением в этом случае снова определя­ется импедансом контура Z, но вместо (2.34) следует писать

«о=27;.           (2.36)

Уравнение (2.36) имеет вполне общий характер.

Исследуем несколько более подробно свойства импеданса Z. Выражение для Z содержит действительную часть, называемую' обычно активным сопротивлением контура, и мнимую часть, носящую название реактивного сопротивления или реактанса. Правила сло­жения импедансов при последовательном и параллельном включении элементов те же, что и для обыкновенных сопротивлений. Импеданс индуктивности равен *QL, импеданс емкости равен —i/QС, импе­данс сопротивления — просто R.

Подставим Z в показательной форме:

Z = Z0^, = +    г|) = arctg        • (2.37)

Разрешим уравнение (2.36) относительно /0 и перейдем от ком­плексного к действительному выражению для тока. Как было ска­зано выше, для этого достаточно взять действительную часть /:

/ e Re (VQ/) = Re      = Re'-^L jit) =

= — cos (Q/ + ф ■

 

(2.38)

 

Сравнивая (2.38) с (2.35), найдем, что ток отстает от напряжения по фазе на величину г|), определяемую отношением мнимой и действи­тельной частсй импеданса. Амплитуда колебаний обратно пропор­циональна модулю импеданса Z0.

Метод комплексных амплитуд облегчает решение многих задач, так как сводит решение дифференциальных уравнений к решению

обыкновенных уравнений и позволяет избежать утомительных вычислений с тригонометрическими функциями. При этом следует иметь, конечно, в виду, что метод позволяет определять отнюдь не общее решение исходного уравнения, а лишь одно из его част­ных решений. Чтобы получить общее решение, нужно прибавить к найден­ному сумму (с произвольными коэф­фициентами) двух независимых реше­ний уравнения без правой части. Как мы видели выше, решения однородного уравнения (без правой части) затухают. Через доста­точно долгий, промежуток времени их вклад всегда становится исчезающе мал. Метод комплексных амплитуд позволяет получить, таким образом, установившееся решение, к которому рано или поздно система обязательно придет.

Особенно важен метод комплексных амплитуд в теории перемен­ных токов, где установившееся решение представляет главный интерес.

В качестве иллюстрации найдем ток в цепи источника переме: ного тока в контуре, изображенном на рис. 302. Для параллельного соединения элементов цепи имеем

1 '-/QC.           (2.39)

Рис. 302. Параллельный контур.

4- = ! +

Z R^

iQL

Разрешим (2.39) относительно Z и представим Z в показательной форме:

2. — Z0eix\ Zq = г

1

 

w> =    (2.40)

tg i|) оказывается равным нулю в случае резонанса, т. е. когда

=          (2.41)

Уравнения (2.40) показывают, что импеданс цепи в этом случае равен R и оказывается вещественным. В. дальнейшем мы рассмотрим слу­чай резонанса более подробно.

Решения, полученные методом комплексных амплитуд, допускают простую геометрическую интерпретацию. Комплексное число Z =» == Z0eW представляется в комп­лексной плоскости вектором, длина которого равна Z0. Угол, составляемый вектором с вещест­венной осью, равен Комплек­сное напряжение Ш0е1Ш или комплексный ток          пред­

ставляются поэтому векторами, вращающимися с угловой ско­ростью Q. Удобно перейти к си­стеме координат, которая сама вращается с угловой скоростью Q. В этой системе векторы % и / будут неподвижны. Длины век­торов пропорциональны ампли­тудным значениям напряжения и тока. Вектор / повернут относи­тельно Щ. Угол между векторами равен сдвигу фаз между ними. Такие диаграммы называются векторными диаграммами.

Построим векторную диаграмму напряжений для контура, изоб­раженного на рис. 301. Поскольку во всех элементах цепи течет один и тот же ток, удобно положить его фазу равной нулю и отсчи­тывать от нее фазы напряжений на всех элементах цепи. Учитывая, что падение напряжения на сопротивлении находится в фазе с током, падение напряжения на индуктивности опережает ток на угол я/2, а падение напряжения на емкости отстает от него на я/2, получим векторную диаграмму, изображенную на рис. 303. Складывая век­торы Vl* Vc и V^, найдем из построения

в полном согласии с (2.37).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я