• 5

II. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ. § 1. Свободные колебания в контуре

Рассмотрим контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивности L, конденсатора С и сопротивления R (рис. 297). Обозначим разность потенциалов на конденсаторе через!7,

а ток, текущий в контуре, через /. Сумма падений напряжения на элементах цепи равна э. д. с. самоиндукции:

RI + V = —L dJf.        (2.1)

Выразим V через заряд конденсатора q:

Продифференцируем полученное уравнение по времени. Учитывая,

что I = dq/dt, найдем

Разделим уравнение на L и введем обозначения

Рис. 297. Колебательный контур.            6 = R/2L, 0)о = 1 /1С; (2.3)

6 носит название затухания, а со0 — собственной частоты контура. Наше уравнение примет теперь вид

7+26/ +©3/ = 0.         (2.4)

Легко показать, что точно такой же вид имеют уравнения для заряда конденсатора q и напряжения V.

Уравнениями вида (2.4) описывается обширный класс колебатель­ных систем как электрических, так и механических (маятник). Уравнение (2.4) проще всего решать с помощью подстановки

/ =Аеи.            (2.5)

Подстановка* (2.5) в (2.4) приводит к так называемому характерис­тическому уравнению

Х2 + 28Х + щ = 0. Это уравнение определяет два возможных значения X:

— 6 + ]/ б2 — CDo,  — 6 —]/б2 —СОо.   (2.6)

Величина А остается произвольной. Общее решение (2.4) имеет, следовательно, вид

1 = А№ + В№.          (2.7)

Ток /, определенный выражением (2.7), является решением (2.4) при любых значениях А и В. Эти константы определяются начальными условиями задачи. Чаще всего в начальный момент времени ток в контуре отсутствует (/ = 0) и задан начальный заряд конденса­тора q0 или напряжение на нем V0. Положив в (2.7) / = 0, получим

А + В = 0.       (2.8)

 

Подстановка / = О, V = V0 в (2.1) дает

dt ) о ^ L

Вычисляя из (2.7) dl/dt при t = 0, найдем с помощью (2.9)

—х".

Уравнения (2.8) и (2.10) позволяют найти Л и В: Л =

(2.9) (2.10)

Vo

2L]/r62 —о>5'           2L Кб2 — cog *

Для упрощения записи введем обозначение

X = ]/б2 — cog и подставим полученные значения Л и В в (2.7):

Lx        2

(2.11)

(2.12)

В зависимости от соотношения между 6 и со0 ток в контуре мо­жет по-разному меняться во вре- мени.

1) Рассмотрим прежде всего случай, когда затухание мало:

6<со0,            (2.13)

х является в этом случае мнимой величиной:

к = ш о            (2.14)

Подставляя (2.14) в (2.12), найдем

/ = — ем ё Leo

mt        p-mt

21

 

Рис. 298. Свободные затухающие колебания (б < со0).

= -V±e-6's\n<ot. (2.15)

Как видно из (2.15), ток в конту­ре носит колебательный характер. График изменения тока изобра­жен на рис. 298. Амплитуда коле­баний экспоненциально убывает. Величина б определяет затухание колебаний. Угловая частота колебаний равна со. Как видно из (2.11) и (2.14), при 6< со0

со -      ^ (о0 (1 -         ъ со0. (2.16)

Частота колебаний в этом случае практически совпадает с (о0. Заме­

тим, что при 8 =£0 ток не является вполне периодической функцией времени, так как

I(t)¥*I(t + T).

Говорить о периоде этой функции можно только в том смысле, что она принимает нулевые значения через равные промежутки времени.

Свойства колебательного контура часто характеризуют, ука­зывая его добротность или логарифмический декремент затухания. Введем эти понятия.

Согласно (2.15) амплитуда п-го колебания 1п и амплитуда (п + к)-то колебания InVk относятся как

IMn+k = *kT>  (2.17)

где Т — период колебания, равный

Т = 2я/со.       (2.18)

Логарифмическим декрементом затухания      v называется величина

v ^бГ — ~ lny^- = In   (2.19)

Я ' n+k            *п+1

Если за k колебаний амплитуда колебаний уменьшается в е раз, то v - Ilk. Логарифмический декремент затухания можно опре­делить, следовательно, как величину, обратную числу периодов, за время которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Добротность контура Q определяется с помощью соотношения

e-S-W-T-        <2'2»>

Чем меньше логарифмический декремент затухания, тем выше добротность контура. С помощью (2.16) и (2.3) найдем, что при малом затухании

Q = ^ =            (2.2D

Рассмотрим физический смысл добротности (в случае малых потерь). Энергия W0, запасенная в контуре в начале цикла, равна q*/2С, а через пе­риод составляет  За цикл теряется энергия А№:

Aw = W0 (1-е~2бт) ^ W026Г= W0 Щ-.

Таким, образом,

Q = Д№/2я '   (2'22)

Добротность определяет, во сколько раз энергия, запасенная в контуре, превосходит среднюю потерю энергии за промежуток времени, в течение которого фаза колебания меняется на 1 радиан,

2) Рассмотрим теперь случай

6 = ©0;           (2.23)

при этом х, а следовательно, и со равны нулю. Предельный переход при со 0 в (2.15) дает

OjL

е~ы sin соt -

о )L

(ьЯ)е

м _

--^-Аг*.

(2.24)

Зависимость тока от времени в этом случае изображена на рис. 299. Ток в контуре не имеет колебательного характера и является апе­риодическим. Равенство (2.23) определяет так называемые крити­ческие условия опыта. Величина сопротивления /?кр, при котором

 

 

 

 

Рис, 299. Случай критического за­тухания (б = со0).

Рис. 300. Апериодический про­цесс (о > со0).

осуществляется критическии режим, называется критическим сопро­тивлением. С помощью (2.3) легко получить

Дкр = 2у7,/С.

3) Обратимся теперь к случаю

6>со0.

(2.25)

(2.26)

Оба корня характеристического уравнения являются в этом случае вещественными. Уравнение (2.12) может быть при этом записано в виде

 

 

Lx

nt.

(2.27)

Кривая зависимости тока от времени, соответствующая (2.27), изоб­ражена на рис. 300. Как видно из графика, процесс является апе­риодическим.

 

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я