• загрузка...

§ 54. Кинетическая энергия вращающегося тела

загрузка...

Кинетическая энергия вращающегося тела слагается из суммы кинетических энергий отдельных частиц тела. Кинетическая энер­гия частицы, находящейся на расстоянии г от оси, равна

Д m.u'j

=          (54.1)

так как а* = сог;, а кинетическая энергия всего вращающегося тела

£к„н = ®32Ат,Г'=/?   (54'2)

выражается так же, как и кинетическая энергия тела при посту­пательном движении, только вместо массы следует подставить мо­мент инерции тела /, а вместо линейной скорости — угловую ско­рость со.

Работу сил при вращении тела около неподвижной оси можно представить обычным способом: определить скалярное произведе­

ние каждой силы на путь, проходимый точкой приложения силы. Но можно выразить эту работу через момент сил. Точка приложе­ния силы F движется по кругу радиуса R-, возьмем проекцию силы на касательную к этому кругу FB; за время dt точка приложения силы сместилась на R da, где da — угол, на который повернулось тело. Поэтому работа сил за время dt будет равна

FaR doc.

Величина FHR равна моменту силы М, и, следовательно, работу можно записать так:

М da.

t

А работа за промежуток времени t будет равна jj М da. Иначе

о

говоря, при вращении работа силы измеряется произведением момента сил на угол поворота, а при переменном моменте сил — интегралом от момента по углу поворота.

Можно показать, что если к телу приложен только момент сил М, то работа сил будет равна увеличению кинетической энергии. Действительно, по закону динамики (52.6)

M =      (54.3)

где I — момент инерции, со — угловая скорость; умножим обе половины равенства на da = со dt — угол, на который тело повер­нулось за время dt. В результате

Mda=I~udt=Id

или работа сил за время t равна

о          о

Таким образом, сформулированное в начале абзаца положение доказано

Теперь мы можем сравнить движение точки с вращательным движением твердого тела относительно неподвижной оси следую­щим образом:

Формулы (54.3) и (54.4) справедливы при / = const.

Движение материально]! точки

Вращение твердого тела вокруг оси

Масса т

Равнодействующая внешних сил F

Смещение х Скорость V Ускорение а

Количество движения K = mv

Кинетическая энергия ту3/2 Работа F dx

Второй закон динамики

«г dK

F=ma, или F

Момент инерции относительно оси 1 Сумма моментов внешних сил относи­тельно оси М Угол поворота а Угловая скорость вращения ю Угловое ускорение Р Момент количества движения относи­тельно оси Af = /co Кинетическая энергия /ш'^ 2 Работа М da Закон динамики

dN

Ж=/р, или M=~j}-

Рассмотрим несколько опытов, в которых изменяется кинетическая энер­гия вращающихся тел. Прежде всего проследим, как изменяется кинетическая энергия вращающегося тела в опытах на скамье Жуковского (см. рис. 140), описанных в предыдущем параграфе. При вращении экспериментатора с ган­телями в руках кинетическая энергия вращающегося тела изменяется, а именно, она возрастает при уменьшении момента инерции. В самом деле, момент коли­чества движения /со остается постоянным, а со возрастает; следовательно, энер­гия, равная /ш2/2, возрастает. Экспериментатор совершает некоторую работу против центробежных сил инерции; за счет этой работы экспериментатора увеличивается кинетическая энергия системы. При удалении грузов от оси происходит обратное, кинетическая энергия уменьшается на величину работы, совершаемой центробежными силами инерции при движении грузов вдоль радиусов.

Предлагаем в качестве упражнения рассчитать, что работа, совершаемая экспериментатором при приближении грузов, в точности равна изменеиию кине­тической энергии.

Так же и в опытах с раскручиванием статора и ротора (рис. 141), когда кинетическая энергия возрастает: если допустимо пренебречь внешними силами трения, то в каждый момент кинетическая энергия тела, имеющего больший момент инерции, будет меньше. Пусть момент инерции статора в 4 раза больше, чем момент инерции ротора; тогда угловая скорость ротора в 4 раза больше угловой скорости ста гора. Так как момент количества движения (/со) статора и ротора одинаков, то, следовательно, кинетическая энергия статора в 4 раза меньше кинетической энергии ротора. Тело, имеющее меньший момент инер­ции, «примет» большее количество энергии, когда оба тела «раскручиваются» внутренними силами. Работа, затраченная источником электромагнитных сил, Распределится между статором и ротором обратно пропорционально моменту инерции каждого из них.

Поучительно рассмотреть изменение кинетической энергии в следующей задаче. К ротору центробежной машины прикреплен стержень А (рис. 142) пер­пендикулярно к оси. На стержень насажены два одинаковых шара, которые могут скользить по нему. Вначале два шара соединены нитью; отсоединив ротор привода, сообщают ему рукой некоторую угловую скорость со0, а затем пере­жигают нить, соединяющую шары. Шары, естественно, удаляются к концам стержня, у которых поставлены на одинаковых расстояниях упоры, так что

шары не могут соскочить со стержней. Какова будет скорость вращения ротора, если силами трения можно пренебречь?

Будем решать задачу так. допустим, что вначале шары были на расстоя­нии R0 от центра, а в момент t находятся на расстоянии R. Тогда угловая

 

Рис. 142.

скорость вращения может быть найдена из условия постоянства момента коли­чества движения.

N = (IB + 2mRl) co0=(/0 + 2mtf3) w = const,          (54 5)

где m —масса шара, а /0 — момент инерции ротора и стержня. Кинетическая энергия вращения в этот момент будет равна

 

(54 6)

Когда шары остановятся у упоров на расстоянии Rx от оси, то угловая скорость вращения согласно равенству (54.5) будет равна

N

Ш1=7Т+ШГ    (54'7)

Очевидно, угловая скорость уменьшается; следовательно, уменьшается и кине­тическая энергия на величину

ДЕ=~2 N (ы0 — %).

(54.8)

Куда, в какую форму и каким образом перешла энергия ДЕ? Ведь мы полагали, что сил трения нет. Чтобы разобраться в этом, просмотрим еще раз наши рас­суждения.

Прежде всего, выражение (54.6) показывает, что кинетическая энергия вра­щения стала уменьшаться, как только шары начали двигаться (R > R0): момент количества движения постоянен, а угловая скорость падает. Это противоречит закону сохранения энергии. Следовательно, формула (54.6) не учитывает всю кинетическую энергию движущихся тел. Так оно и есть. В выражение (54 6) не входит кинетическая энергия движения шаров вдоль радиуса; убыль энергии, показываемая формулой (54.8), как раз и дает величину этой энергии.

При ударе шаров, после которого они остановились около упоров, вся кине­тическая энергия движения вдоль стержня превратилась в тепловую, как при всяком неупругом ударе. Величину энергии, перешедшей в тепловую, и пока­зывает формула (54 8).

Интересно знать, что было бы при упруюм ударе шаров об упоры, т. е. при отсутствии перехода энергии механической» в тепловую? Очевидно, что при упругом ударе шары, имевшие скорость v„ вдоль радиуса, после удара отскочат с той же скоростью v0 назад к центру. Центробежная сила будет тормозну их движение, угловая скорость вращения будет опять возрастать; шары остано­вятся только при R = R0, когда угловая скорость примет начальное значе­ние <в0. Затем шары пойдут к периферии, и процесс*будет периодически повто­ряться: шары будут совершать колебания вдоль радиуса, угловая скорость будет также периодически изменяться и т д Описанная картина имеет место в отсутствие сил трения при вращении диска и при скольжении шаров вдоль стержня.

В действительности же шары срачу не останавливаются у упоров и явление протекает так: шары отскакивают от упоров на небольшое расстояние, после нескольких последовательных, все уменьшающихся ударов шары окончательно остановятся у упоров. Кинетическая энергия шаров переходит в тепловую как при скольжении вдоль стержня, так и при ударах, и общее количество рассеян­ной энергии будет равно ДЕ (см. (54.8)), если не считаться с потерей энергии вследствие трения при вращении ротора и стержня.

Авторы: 1380 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1909 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я