• 5

6.7. Сетевые модели с вероятностной оценкой продолжительности работ

При расчете аналитических параметров сетевого графика (см. выше) пред­полагалось, что время выполнения каждой работы точно известно. В боль­шинстве проектов соблюдение этого условия невозможно. Управление

проектом направлено на достижение уникальной цели, что предполагает планирование и реализацию сложных комплексов работ, чаще всего не имевших в прошлом никаких аналогов. В советское время для определе­ния продолжительности работ использовались разного рода нормы и пра­вила. В настоящее время этой системы нормирования не существует: она была разрушена в ходе экономических реформ, к тому же взрывной харак­тер технологических изменений во многих отраслях народного хозяйства потребовал новых подходов к определению продолжительности работ. По­этому при реализации современных проектов необходимо использовать сетевые модели с вероятностной оценкой продолжительности работ.

Такие модели не следует путать со стохастическими (вероятностными) сетевыми моделями, так как сетевые модели с вероятностной оценкой продолжительности работ являются детерминированными. Детерминиро­ванные сетевые модели — сетевые модели, события которых не имеют вероятностной характеристики, т.е. обязательно свершаются и свершают­ся в установленной последовательности, хотя продолжительность работ может иметь вероятностную оценку.

Вместе с тем встречаются проекты, в которых тот или иной комплекс последующих работ зависит от не известного заранее результата. Напри­мер, может быть предусмотрено несколько вариантов продолжения ис­следования в зависимости от полученных опытным путем данных или несколько вариантов строительства предприятий различной мощности по обработке сырья в зависимости от результатов разведки запасов этого сырья. Такого рода сетевые модели называются стохастическими. Стоха­стические сети, так же как и детерминированные, могут характеризовать­ся детерминированными либо случайными продолжительностями работ.

Конечно, и при построении сетевых моделей с вероятностной оценкой продолжительности работ и при построении стохастических сетевых мо­делей мы имеем дело с одним и тем же явлением — с неопределенностью. Таким образом, стохастические модели отличаются от детерминирован­ных по структуре, а не по вероятности или детерминированности продол- жительностей работ. Поэтому следует правильно использовать устоявшу­юся терминологию.

Рассматриваемые здесь методы были первоначально разработаны в рам­ках методики PERT.

Рассмотрим несложный математический аппарат этих методов и проде­монстрируем, как его использовать при расчете параметров сетевых моде­лей в условиях вероятностной оценки продолжительности работ и проек­та в целом.

При расчете сетевых моделей методом PERT продолжительность работ является случайной величиной, подчиняющейся собственному закону рас­

пределения, а значит, обладающей собственными числовыми характери­стиками. Такими характеристиками являются средняя продолжительность

работы и дисперсия оценки продолжительности работы (диспер­сия работы) .

Значения f^ и рассчитываются при допущении, что распределение продолжительностей работ обладает тремя свойствами:

•           непрерывностью;

•           унимодальностью (наличием единственного максимума у кривой распределения);

•           конечностью и неотрицательностью диапазона возможных зна­чений продолжительности (кривая распределения имеет две точ­ки пересечения t осью ОХ, абсциссы которых неотрицательны).

Исходными данными для расчетов служат экспертные оценки продолжи­тельностей работ:

•           оптимистическая оценка , т.е. оценка продолжительности ра­боты i—j при благоприятных условиях;

•           пессимистическая оценка £ , т.е. оценка продолжительности ра­боты i—j при неблагоприятных условиях;

•           наиболее вероятная оценка £™ , т.е. оценка продолжительности работы i—j при нормальных условиях.

Средняя продолжительность ^ и дисперсия оценки продолжительности каждой отдельной работы определяются по следующим формулам:

е,=(еУ+4е>е7):б;      (6.7)х

<;=[(е/,°-,):б]2.            (6.8)

Бывают случаи, когда наиболее вероятное время выполнения работы оце­нить сложно. Поэтому в реальных проектах часто используется упрощен­ная (и, естественно, менее точная) оценка средней продолжительности работы, которая определяется на основе двух задаваемых временных оце­нок — оптимистической и пессимистической:

е,=(2£у+3£,):5.          (6.9)

При расчете средней продолжительности работы по формуле (6.9) диспер­сию следует определять по-другому:

<=[(£,-С,):5]2,            (6.10)

или

<,=0,04(е,-С,)2-        (6.11)

Средняя продолжительность работы представляет собой наиболее веро­ятную продолжительность работы. Дисперсия является мерой диапазона возможных значений продолжительности, или мерой разброса оценок. Если дисперсия велика, это означает, что и неопределенность продолжи­тельности выполнения работ велика. (Иными словами, различные значе­ния продолжительности имеют почти равную вероятность.) Если диспер­сия мала, это означает, что неопределенность продолжительности выпол­нения работы мала, т.е. время выполнения работы определенно более или менее точно. Работа, не лежащая на критическом пути, но облада­ющая большей дисперсией, чем критическая работа, может превратить­ся в критическую работу и существенно изменить весь сетевой график проекта.

В качестве примера рассмотрим две работы а и Ь, по которым получены экспертные оценки, приведенные в табл. 6.8.

Таблица 6.8

Экспертные оценки продолжительности работ

Оценка

Работа

а

Ь

Оптимистическая

4

5

Наиболее вероятная

6

5,5

Пессимистическая

8

9

Используя формулу (6.7), найдем средние продолжительности этих работ:

£р=(4 + 4-6 + 8):6 = 6; tьср=(5 + 4-5,5 + 9):6 = 6.

Как видим, средние продолжительности этих работ равны, хотя их опти­мистические, наиболее вероятные и пессимистические оценки отличают­ся. Поскольку разница между пессимистической и оптимистической оцен­кой этих работ одинакова, дисперсия их оценки, рассчитываемая по фор­муле (6.8), также будет одинаковой:

=[(8-4): б]2 = 0,44; =[(9 —5):б]2 =0,44.

Несколько изменим экспертные оценки продолжительностей работ (табл. 6.9). Таблица 6.9

Экспертные оценки продолжительности работ

Оценка

Работа

а

Ь

Оптимистическая

4

5

Наиболее вероятная

6

6

Пессимистическая

8"

7

Средние продолжительности обеих работ останутся без изменения:

£„р = (4 + 4 • 6 + 8): 6 = 6; С=(5 + 4-6 + 7):6 = 6.

Но изменится дисперсия, так как изменился (уменьшился) диапазон воз­можных значений продолжительности работы Ь:

с^ =[(8-4): б]2 = 0,44; ^=[(7-5):б]2=0,11.

Дисперсия работы b в четыре раза меньше дисперсии работы а. Это озна­чает, что вероятность завершения работы Ь в 6 дней в четыре раза выше, чем вероятность завершения в этот же срок работы а.

Вероятностные характеристики продолжительности отдельных работ ис­пользуются для определения параметров всего проекта в целом. Когда средняя продолжительность каждой работы определена, продолжитель-

 

ность (и прочие показатели) проекта рассчитывается с помощью уже изве­стных алгоритмов, только при этом в качестве продолжительности работ используется средняя продолжительность. Значения всех аналитических параметров сетевого графика — длины критического пути, определяюще­го продолжительность всего проекта, и ранних и поздних свершений со­бытий, резервов событий и работ — будут такими же, как если бы мы использовали не среднюю, а обыкновенную продолжительность работ. Но при этом необходимо понимать, что по своей сути все эти парамет­ры будут являться средними значениями соответствующих случайных величин.

Обобщенной вероятностной оценкой продолжительности всего проекта является средняя длина критического пути сетевого графика, которая вычисляется как сумма всех средних продолжительностей работ, лежа­щих на критическом пути:

Ожидаемая продолжительность выполнения проекта (средняя продолжи­тельность критического пути сетевого графика проекта) может оказаться неприемлемой. Тогда вместо нее выбирается директивная продолжитель­ность и возникает необходимость оценить вероятность того, что про­ект завершится не позднее директивно установленного срока. Для решения этой задачи необходимо:

•           определить среднее квадратическое (стандартное) отклонение длины критического пути о1кр (формула (6.13));

•           рассчитать аргумент функции Лапласа (интеграла вероятностей) Z (формула (6.14));

•           найти значение функции Лапласа Ф(2) (по таблицам стандартно­го нормального распределения (таблицам значения интеграла вероятностей));

•           вычислить вероятность соблюдения директивных сроков выпол­нения проекта Р(Г1кр<Г™) (формула (6.15)).

Формулы для определения названных величин:

тер _ V f Р

1 £кр / 1 ^ур •

(6.12)

 

(6.13)

 

(6.14)

Р{ТиР<Т™)= l/2+l/20(Z),      (6.15)

где С^р — дисперсия работы, лежащей на критическом пути. Рассчитаем сетевой график, представленный на рис. 6.14, методом PERT.

Рис. 6.14. Сетевой график для расчета методом PERT

 

Критический путь этого сетевого графика (см. рис. 6.14) составляют рабо­ты 0—3, 3—5, 5—6, 6—9, 9—10, 10—11. Допустим, на графике над работа­ми проставлены средние их продолжительности, а дисперсии работ, со­ставляющих критический путь, следующие:

<3 = 2,5; <5 = 2Д;

ст5-« = 3'2;

<9 = 4,0; аэ_ю = 1,5;

2 _ о zr °1<М1 -

Оценим вероятность выполнения проекта в срок при Г™ , равном 63 дням. Найдем среднее квадратическое отклонение длины критического пути:

 

 

= ^2,5 + 2,1 + 3,2 + 4,0 + 1,5 + 3,5 =%/$Д8 = 4,1.

Рассчитаем значение аргумента функции Лапласа:

Z = (63-61) : 4,1 = 0,49.

Обратившись к таблице значений функции стандартного нормального распределения (можно воспользоваться функцией программы Microsoft Excel НОРМСТРАСПО), определим Ф(2):

Ф(2) = Ф(0,49) =0,6879.

И наконец, рассчитаем вероятность Р(Г1кр < 63):

P{TLkv < 63) = 0,5 + 0,5 • 0,69 = 0,8439.

Таким образом, вероятность того, что проект, сетевой график которого представлен на рис. 6.14, с учетом введенных значений дисперсий крити­ческих работ завершится не позднее 63 дней, составляет около 0,8439.

В практике управления проектами возникает необходимость решения и обратной задачи, т.е. определения максимального срока выполнения про­екта с заданной вероятностью (с заданной надежностью). Продолжитель­ность выполнения проекта Г£кр при таких условиях может быть найдена следующим образом:

71кР=Г4 + Ир-а1хр,            (6.16)

где Zp — аргумент функции Лапласа, соответствующий значению функции, рав­ному (3, т.е. O(Zp) = (3 (определяется по той же таблице стандартного нормального распределения).

Рассчитаем возможный срок выполнения проекта, сетевой график кото­рого представлен на рис. 6.14, с заданной надежностью |3 = 0,95.

Найдем аргумент функции Лапласа, соответствующий значению 0,95 (мож­но воспользоваться таблицей стандартного нормального распределения или же формулой НОРМСТОБР() в программе Microsoft Excel). Он равен — 1,6449. По формуле (6.16) определяем:

Т1кр = 61 + 1,6449 • 4,1 =68 дней.

При заданной вероятности 0,95 наш проект завершится за 68 календарных дней.

Приведем еще один пример использования сетевой модели с вероятност­ными оценками продолжительностей работ.

Рассмотрим сетевой график на рис. 6.15.

•График содержит 30 событий и 40 работ. Над стрелками указаны оптими­стическая, наиболее вероятная и пессимистическая оценки продолжитель­ностей работ. Рассчитаем среднюю продолжительность и дисперсию ра­бот сетевого графика, используя формулы (6.7) и (6.8). Результаты внесем в табл. 6.10.

Рис. 6.15. Сетевой график с вероятностными оценками продолжительностей работ

 

Таблица 6.10

Расчет средней продолжительности работ

1

 

с,

С-

С-

1

2

6

7

13

7,83

1,36

1

3

3

5

8

5,17

0,69

1

4

3

4

5

4,00

0,11

2

8

1

3

6

3,17

0,69

2

9

2

5

12

5,67

2,78

3

7

1

4

7

4,17

1,36

4

5

2

3

7

3,50

0,69

4

6

1

3

6

3,17

0,69

5

14

2

8

10

7,33

1,78

5

15

2

8

10

7,33

1,78

6

13

3

6

9

6,00

1,00

7

8

2

7

12

7,00

2,78

7

12

1

4

9

4,33

1,78

Окончание табл. 6.10

i

/'

С-

С,

С-

8

9

1

3

11

4,00

2,78

8

11

3

4

14

5,50

3,36

9

10

1

9

11

8,00

2,78

10

25

2

7

8

6,33

1,00

11

24

3

6

7

5,67

0,44

12

19

5

6

9

• 6,33

0,44

13

18

1

2

4

2,17

0,25

14

17

1

5

7

4,67

1,00

15

4 16

5

6

9

6,33

0,44

16

22

2

3

10

4,00

1,78

17

20

4

6

15

7,17

3,36

17

21

2

4

12

5,00

2,78

18

20

2

4

11

4,83

2,25

19

20

2

3

7

3,50

0,69

20

23

1

5

8

4,83

1,36

20

24

2

4

9

4,50

1,36

20

26

2

5

8

5,00

1,00

21

23

1

5

8

4,83

1,36

22

23

3

4

7

4,33

0,44

23

29

2

3

9

3,83

1,36

24

25

2

4

10

4,67

1,78

24

26

2

4

10

4,67

1,78

25

27

2

3

8

3,67

1,00

26

29

3

5

7

5,00

0,44

27

28

1

8

10

7,17

2,25

28

29

3

5

8

5,17

0,69

29

30

2

4

7

4,17

0,69

Используя средние значения продолжительности работ, рассчитаем ран­ние и поздние свершения событий дробным методом, как это показано на рис. 6.16.

Рис. 6.16. Расчет сетевого графика дробным методом с использованием средних значений продолжительности работ

 

На рисунке 6.16 указаны три директивных срока, соблюдение которых крайне важно для проекта. Это так называемые критические сроки (deadline). Согласно этим срокам:

•           событие 23 должно произойти не позднее 40-го дня после начала реализации проекта;

•           событие 25 должно произойти не позднее 30-го дня после начала реализации проекта;

•           событие 30 должно произойти не позднее 50-го дня после начала реализации проекта.

Требуется определить вероятность свершения этих событий в заданное время.

Для рассматриваемых событий самыми длинными путями являются (рис. 6.17):

•           для события 23 путь 1—4—5—14—17—20—23;

•           для события 25 путь 1—4—5—14— 17—20—24—25;

•           для события 30 путь 1 —4—5— 14— 17—20—24—25—27—28—29—30.

Рассчитаем продолжительности этих путей. Это можно сделать двумя спо­собами: суммируя продолжительности работ или взяв с графика ранние свершения конечных событий:

7^.447-2^23 = 4,00+ 3,50+ 7,33f 4,67+- 7Д7н 4,83= 31,5( Тср =35 84'

11-4-5-14-17-20-24-25 00,04,

Тср      = 56 02

11-4-5-14-17-20-24-25-27-28-29-30 ОО, О .

Рис. 6.17. Критические пути сетевого графика

 

14,34 7,83

Затем найдем среднее квадратическое отклонение длины пути, используя формулу (6.13):

сТц,_23) = ^/0,11 +0,69 +1,78 +1,00 +3,36 +1,36 = ^30 = 2,88;

aL(1_2S) = ,/0,11 + 0,69 + 1,78 +1,00 +3,36 +1,36 +1,78 = ,/10,06 =3,18;

JL(1-30)

= 70,11+0,69+1,78+1,00+3,36 +1,36 +1,78 +1,00 +2,25 -Ю,69 +0,69 =

= ,/14,71 « 3,83,

Далее определим значения аргумента функции Лапласа по формуле (6.14): Z(1_23) = (40 - 31,50) : 2,88 = 2,95; Z(l-25l = (30 - 35,84) : 3,17 = -1,84;

'(1-30) '

(50 - 56,02) : 3,83

1,57.

Обращаясь к таблице стандартного нормального распределения, найдем вероятность реализации рассматриваемых событий в требуемые сроки:

Р{ТШ_23) < 40) = 0,5 + 0,5 • 0,9984 = 0,99;

Р(Гц,_25| < 30) = 0,5 + 0,5 • 0,0328 = 0,52;

Р(ТЦ1_Ж] < 50) = 0,5 + 0,5 • 0,0582 = 0,53.

По результатам расчетов можно сделать вывод, что вероятность соблюде­ния плановых сроков наступления события 23 очень высока, в отличие от вероятности соблюдения плановых сроков событий 25 и 30. Необходи­мо оптимизировать сетевой график для того, чтобы повысить вероятность соблюдения плановых сроков совершения событий 25 и 30.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я