• 5

14.5. Методы теории игр

Определить стратегии решений в условиях риска можно при помощи методов теории «игр с природой». Под «природой» понимают комплекс неопределенностей, не зависящих от лица, принимающего решение.

В представленной матрице (табл. 14.4) графы соответствуют определен­ным состояниям внешней среды (S^), а строки — стратегии поведения лица, принимающего решение (С-). Элемент матрицы (а^) — это оценка каче­ства стратегии С(. в условиях S; (это может быть прибыль, убыток, балльная оценка и др.).

В платежной матрице сг( — платеж второго игрока («природы») первому (лицу, принимающему решение) в ситуации, когда первый игрок выбрал г-тую стратегию, а второй — j-тую. Если в ij-той ситуации несет убыток первый игрок, или, другими словами, выигрывает «природа», то платеж а^ имеет знак минус. Игра не является антагонистической, так как ни один из игроков не стремится нанести противоположной стороне максималь­ные убытки.

Таблица 14.4

Общий вид платежной матрицы

 

Состояние внешней среды

Стратегия

S,

S2

S

5„

с,

 

 

 

аь

С2

°2,

°22

 

°2„

с.

 

 

а..

 

с

 

°„2

 

 

Лицо, принимающее решение, выбирает наилучшую стратегию из возмож­ных на основе следующих критериев.

Критерий Вальда:

=max min а

' 1

Применяя этот критерий, руководитель ориентируется на наихудшие ус­ловия, поэтому результат может быть или гарантированным, или лучше гарантированного (табл. 14.5).

Таблица 14.5

Платежная матрица для расчета по критерию Вальда

Действия

Условия

 

 

s,

S2

mina-.

i

с,

0

10

0

с2

1

1

1

max mino.. ' /

 

 

1

По критерию Вальда Угар = 1.

Критерий абсолютного оптимизма (табл. 14.6):

^.бс.опт. = max min а.

' 1

Таблица 14.6

Платежная матрица для расчета по критерию абсолютного оптимизма

Действия

Условия

 

 

rs,

S,

max a,

i

с,

0

10

10

с2

1

1

1

max mina..

i i

 

 

10

Y - =10.

dUC ОПТ.

Критерий Севиджа (критерий минимального сожаления):

УСев = min шах г..

1 j

При использовании критерия Севиджа элементом матрицы является не оценка варианта действий а^, а показатель сожалений г^, который пред­ставляет собой разность максимального значения оценки, имеющейся в/-той графе, и величины а.., т.е. г = max а -а .

ч          , У V

Например, из приведенной выше матрицы с элементами afj (см. табл. 14.6) получаем матрицу с элементами i\. (табл. 14.7).

Таблица 14.7

Платежная матрица для расчета по критерию Севиджа

Действия

Условия

 

 

S,

S2

max r.

i

с,

HI -0)

0 (10- 10)

l

С,

0(1-1)

9 (10- 1)

9

min max r-

 

 

1

У Се, = 1-

Критерий Гурвица:

Fryp = max

a max а, +(1- a)max а .

Этот критерий основан на степени оптимизма а (0 < а < 1).

24 Управление проектом

737

Критерий Байеса-Лапласа, или критерий среднего выигрыша. При опре­делении этого критерия необходима оценка вероятности того или иного состояния внешней среды Р.\

Таблица 14.8

Платежная матрица для расчета по критерию Байеса-Лапласа

Действия

Условия

 

 

s,

S,

 

с,

0

10

6(0x0,4+ 10x0,6)

с,

1

1

1 (0 х 0,4 + 1 х 0,6)

Вероятность условий Р

0,4

0,6

тахЕм^/=6

X,. = 6.

Критерий Байеса-Лапласа является не чем иным, как выбором оптималь­ного решения на основе значения ожидаемой денежной стоимости (EMV).

Для лучшего понимания теории игр рассмотрим простой пример. Допус­тим, в рамках подготовки инвестиционного проекта определяется произ­водственная программа завода по изготовлению некой продукции. Объем производства планируется на основе прогнозов платежного спроса поку­пателей. Отпускная цена одной единицы продукции — 100 денежных еди­ниц, себестоимость — 50 денежных единиц. Рассматриваются четыре со­стояния внешней среды, при которых объем спроса составляет 100, 200, 300 и 400 штук соответственно, а также четыре варианта планового объ­ема производства — 100, 200, 300 и 400 штук соответственно. Исходя из этого платежная матрица будет иметь следующий вид (табл. 14.9).

По критерию Вальда (табл. 14.10) предпочтительной является стратегия С,, поскольку среди минимальных результатов по каждой стратегии (для Cv С2, С3 и С4 они равны 5000, 0, —5000 и — 10 000 соответственно) максималь­ным является значение 5000, относящееся к стратегии С,.

По критериям Севиджа и Байеса-Лапласа (при вероятностях состояний внешней среды 0,1, 0,4, 0,3 и 0,2 соответственно) одинаково предпочтитель­ными стратегиями являются С2 и Су Так, при применении критерия Севид­жа (табл. 14.11) из максимальных значений показателя rf. (15 000, 10 000, 10 000 и 15 000 соответственно для каждой стратегии) минимальным являет­ся значение 10 000, относящееся ко второй и третьей стратегиям. А при применении критерия Байеса-Лапласа (табл. 14.12) из средних выигрышей каждой стратегии (5000, 9000, 9000 и 6000 по каждой стратегии соответствен­но) максимальным является 9000, относящееся к стратегиям С2 и С3.

Таблица 14.9

Ра счет значений платежной матрицы

 

Состояние внешней среды (объем продаж)

Стратегия (объем производства)

5,(100 шт.)

S, (200 шт.)

S, (300 шт.)

sx (400 шт.)

С, (100 шт.)

5 000

(100 X 100- 100x50)

5 000

5 000

5 000

С2 (200 шт.)

0

(100 х 100-200x50)

10 000

10 000

10 000

С3(ЗООшт.)

-5 000

(100 X 100-300x50)

5 000

15 000

15 000

С,(400 шт.)

-10 000 (100 х 100-400x50)

0

10 000

20 000

Таблица 14.10

Расчет по критерию Вальда

 

Состояние внешней среды (объем продаж)

 

Стратегия (объем производства)

S, (100 шт.)

S2 (200 шт.)

S, (300 шт.)

S4 (400 шт.)

mina,.

С, (100 шт.)

5 000

5 000

5 000

5 000

5 000

С2(200 шт.)

0

10 000

10 000

10 000

0

С3(300 шт.)

-5 000

5 000

15 000

15 000

-5 000

С,(400 шт.)

-10 000

0

10 000

20 000

-10 000

max mina.

/ i

 

 

 

 

5 000

Таблица 14.11

Расчет по критерию Севиджа (в ячейках таблицы приведены показатели rJ

 

Состояние внешней среды (объем продаж)

 

Стратегия (объем производства)

S, (100 шт.)

S2 (200 шт.)

S, (300 шт.)

SA (400 шт.)

max г.

i

С,(100 шт.)

0

5 000

10 000

15 000

15 000

С,(200 шт.)

5 000

0

5 000

10 000

10 000

С3(300 шт.)

10 000

5 000

0

5 000

10 000

С,(400 шт.)

15 000

10 000

5 000

0

15 000

min max г;,

* /

 

 

 

 

10 000

Таблица 14.12

Расчет по критерию Байеса-Лапласа

 

Состояние внешней среды (объем продаж)

 

Стратегия (объем производства)

S, (100 шт.)

5,(200 шт.)

5,(300 шт.)

5,(400 шт.)

V" Ра.

Zj(-=i i ч

С, (100 шт.)

5 000

5 000

5 000

5 000

5 000

С, (200 шт.)

0

10 000

10 000

10 000

9 000

С, (300 шт.)

-5 000

5 000

15 000

15 000

9 000

С,(400 шт.)

-10 000

0

10 000

20 000

6 000

Р

0,1

0,4

0,3

0,2

 

max У" Ра

9 000

По критерию Гурвица (а = 0,5) все стратегии равновероятны.

При применении методов из теории игр возникает естественный вопрос, когда и какие критерии использовать. Каких-либо однозначных рекомен­даций на этот счет не существует. Многое зависит от объективных состав­ляющих среды, в рамках которой принимается решение. Немаловажным фактором является и субъективная составляющая, которая в теории при­нятия решений определяется как личная предрасположенность к риску.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я