• 5

Примечания к главе V

500)    Содержание синтаксических обозначений „S" и „3" разъяс­нено в §§ 30, 35. <К стр. 286.)

501)    В выражении, которое должно быть дуализировано, можно, кроме сокращений по схемам D3—11 и D14, допускать также и сокращения по схемам D20—23. В этом случае при дуализации должны взаимно заменяться / и t, а также = и <К стр. 289.)

502)    это определение дано Лейбницем в следующей форме: „Eadem sunt quorum unum potest substitui alteri salva veritate"**. См. изданные Эрдманом God. Guil. Leibnitii Opera Philosophica, том 1, 1840, стр. 94, и изданные Герхартом Die Philosophischen Schrijten von Gottfried Wilhelm Leibniz, том 7, 1890, стр. 228, 236 (также в английском переводе в приложении к A Survey of Symbolic Logic Льюиса). Однако в этой форме наблюдается известное сме­шение употребления и упоминания: вещи тождественны, если имя одной из них может быть подставлено вместо имени другого без нарушения истинности. Тем не менее важная идея этого^опре- деления должна быть приписана Лейбницу.

Фреге в Die Grundlagen der Arithmetik (1884) принимает опре­деление Лейбница без каких-либо изменений. В его же Grundgesetze der Arithmetik (см. том 1, 1893) устранено смешение употребления и упоминания, но сам принцип выступает не в виде определения, а в виде аксиомы: <р(х = y)D9'((/7)[F(j:)D F(y)]). Первая форму­лировка этого принципа в форме определения тождественности без смешения употребления и упоминания дана как будто бы Пирсом в 1885 г. (American Journal of Mathematics, том 7, см. стр. 199). В The Principles of Mathematics (1903) Рассела это опре­деление выступает в форме „х тождественно с у, если у принадле­жит к каждому классу, к которому принадлежит х, или, иными словами, если 'х есть и' влечет 'у есть и' для всех значений и". В Principia Mathematica, том 1,1910, мы находим знак =, введенный с помощью определения сокращения, которое по существу сов­падает с нашей схемой D22. <К стр. 290.)

*> „Все объекты при подстановке сохраняют свою силу без изменения смысла". — Прим. перее.

503)    Проблема элиминирования восходит к Шрёдеру. См. изложение этого вопроса Аккерманом в статье в Mathematische Annalen, том 110, 1934, стр. 390—413. <К стр. 294.)

504)    Это решение дано Сколемом и Бэманом в их статьях 1919 и 1922 гг., упомянутых в § 49. Имеется также набросок решения в статье Лёвенгейма 1915 г. <К стр. 294.)

505)    этот пример взят из статьи Аккермана, цитированной в примечании 503. <К стр. 294.)

506)    другими словами, основу М можно свести к такой дизъюнк­тивной нормальной форме (в смысле примечания 299), в которой нигде f не встречается со знаком отрицания перед ней. <К стр. 295.)

и>« Решение как этого частного случая проблемы элиминиро­вания, так и частных случаев из упражнений 52.8—52.10, а также решение примеров 52.7 (2) и 52.7 (3) даны Аккерманом в статье, цитированной в примечании 503.

В статье Аккермана содержится, кроме того, доказательство неразрешимости общей проблемы элиминирования для функцио­нального исчисления второго порядка, в том смысле, что для некоторых пп-формул не существует результантов; рассматривается также обобщение проблемы элиминирования, в которой результан­том пп-формулы функционального исчисления второго порядка должен быть класс пп-формул функционального исчисления первого порядка.

Заметка Аккермана в Mathematische Annalen, том 111, 1935, стр. 61—63, содержит решения нескольких других частных слу­чаев проблемы элиминирования — правда, не совсем для функцио­нального исчисления второго порядка, а для системы, которая получается добавлением к функциональному исчислению вто­рого порядка в качестве дополнительных аксиом, суммированных в аксиомную схему, известных частных случаев аксиомы выбора, выразимых в обозначениях функционального исчисления второго порядка (см. § 56 и примечание 555). <К стр. 295.)

508) То есть основа М имеет такую дизъюнктивную нормальную форму, в которой ! нигде не встречается без предшествующего знака отрицания. Мы можем также следующим образом определить четность каждого вхождения некоторой элементарной части в М: если элементарная часть стоит одна, то это четное вхождение данной элементарной части; в ~ К четность каждого вхождения некоторой элементарной части противоположна ее четности отно­сительно К; в KDL четность противоположна для каждого вхождения некоторой элементарной части в К, но остается той же самой в L. Тогда выставленное здесь требование состоит в том, что f должно встречаться в М лишь на нечетных местах, а в 52.7 (1) требуется, чтобы f встречалось лишь на четных местах. <К стр. 295.)

509> См. § 49 и примечание 462. Для сингулярного функциональ­ного исчисления порядка со доказательство особенно подробно проведено Генценом в Mathematische Zeitschrift, том 41, 1936, стр. 357—Збб, хотя и в несколько иной форме, чем указанная нами. <К стр. 297.)

ею» Метод, использованный в этом параграфе для доказатель­ства теоремы слабой полноты для функционального исчисления второго порядка, указан Леоном Хенкиным (в его диссертации, Princeton University, 1947). Это по существу тот же метод, что и использованный в § 45 (также принадлежащий Хенкину, ср. примечание 465) для доказательства теоремы Гёделя о полноте функционального исчисления первого порядка. Он может быть распространен на функциональные исчисления более высоких порядков, хотя для систем, содержащих подходящую форму аксиомы выбора, видоизмененный метод, использованный Хенкиным в статье в The Journal of Symbolic Logic, том 15, 1950, стр. 81—91, может оказаться более предпочтительным. <К стр. 297.)

511) Как обычно, если свободных переменных нет, то под „при­нимает значение t при всех возможных значениях своих свобод­ных переменных" мы понимаем просто „обозначает t". (Ср. при­мечание 312.) <К стр. 298.)

512> Если в качестве области индивидов фиксирована некото­рая частная непустая область, то мы можем замкнутую пп-фор­мулу называть истинной, когда она общезначима в этой области. Так как предложения (чистого) функционального исчисления второго порядка — то же самое, что замкнутые пп-формулы, то это можно считать синтаксическим эквивалентом семантического свойства быть истинным предложением, как это описано в § 09. <К стр. 298.)

513)    Используемый здесь прием был в июле 1950 г. указан автору Хенкиным. По сравнению с процедурой, использованной в соответствующем месте § 45 или в диссертации Хенкина, он имеет то преимущество, что позволяет заменить бесконечную последовательность прикладных функциональных исчислений S^ S2, S3, ... на одно прикладное функциональное исчисление S. Такое же упрощение можно было бы внести в доказатель­ство **453 в § 45; но так как разница в длине доказательства не­значительна, то мы сохранили там старую форму доказательства (которая, как нам кажется, может быть поучительной). <К стр. 301.)

514)    Если а не встречается в А в качестве связанной перемен­ной, то достаточно однократное применение *515. В противном случае требуемый результат может быть получен тремя или более последовательными применениями *515. <К стр. 302.)

515) Возможность того, что все области           %3, ... конечны,

реализуется, если, например, в качестве Н взять пп-формулу (3x)(3y)(3F) и F(x)~ F(y), которая имеет не общезначимую пфрпи и которая поэтому не является теоремой (**530). Если, с другой стороны, мы возьмем в качестве Н отрицание одной из аксиом бесконечности (см. § 57), то все эти области должны быть счетно-бесконечны. <К стр. 303.)

5Ш Как разъяснено в § 04, мы считаем классы сингулярными пропозициональными функциями, а отношения — бинарными пропозициональными функциями. <К стр. 306.)

517> Областью отношения называется класс вещей (индивидов), которые находятся в этом отношении хотя бы к одной какой-либо вещи, а конверсная область отношения — это класс вещей, к ко­торым хотя бы одна вещь находится в данном отношении. (Таким образом, конверсная область некоторого отношения — то же самое, что область конверсии этого отношения, где „конверсия" пони­мается так, как это разъяснено в § 03.) <К стр. 306.)

518)    Относительным произведением двух отношений Ф и У является отношение, которое имеет место между двумя вещами (индивидами) а и b тогда и только тогда, когда существует по меньшей мере одна вещь с, такая, что а находится к с в отноше­нии Ф, а с находится к b в отношении W.

Если, например, в качестве индивидов взять людей, то отно­сительным произведением отношений супруг и дочь является отношение зять (т. е. супруг дочери), а относительным произ­ведением отношения родитель и родитель является отношение пра­родитель. <К стр. 306.)

519)    другие исследования теории постулатов с логистической точки зрения см., например, у Карнапа в Abriss der Logistik (Wien, 1929) и The Logical Syntax of Language (New York and London, 1937), а также у Гильберта и Бернайса в Grundlagen der Mathematik (Berlin, 1934, 1939). Хотя читатель и должен иметь в виду некото­рое отличие в подходе и терминологии, тем не менее мы считаем, что наше изложение вопроса находится по существу в соот­ветствии с точкой зрения указанных авторов. <К стр. 307.)

его) этот момент может быть проиллюстрирован на примере элементарной теории чисел и анализа, так как эти две отрасли математики могут строиться при желании на одной и той же системе постулатов, но с различными положенными в основу логиками. А именно, элементарная теория чисел может быть определена добавлением постулатов (Ах), данных ниже, к при­кладному функциональному исчислению первого порядка, содер­жащему все пропозициональные и функциональные переменные, а также те функциональные константы, которые встречаются

в постулатах. А анализ может быть определен добавлением тех же постулатов к прикладному функциональному исчислению четвертого порядка, так как в получающейся системе рациональ­ные, действительные и комплексные числа могут быть определены одним из известных методов определения этих чисел в терминах натуральных чисел.

Сделанные выше утверждения могут вызвать некоторые сом­нения из-за неясности того, что именно следует понимать под „элементарной теорией чисел" и „анализом" при употреблении этих терминов в обычном (неформальном) математическом языке. Однако, по мнению автора, „элементарную теорию чисел" жела­тельно понимать таким образом, чтобы не исключать выражения известных общих утверждений, относящихся к классам и функциям натуральных чисел, как, например, суждение, что в каждом классе натуральных чисел имеется наименьшее число.

С другой стороны, в системе, получаемой добавлением посту­латов (Аг) к некоторому прикладному функциональному исчи­слению второго порядка, в некотором смысле может быть полу­чена значительная часть анализа, хотя и с помощью искусствен­ных приемов, выходящих за пределы нашего настоящего рас­смотрения. Таким образом, решение подняться в определении ле­жащей в основе математического анализа логики до функциональ­ного исчисления четвертого порядка может показаться сомнитель­ным, однако и в данном случае автору кажется, что при этом достигается наилучшее соответствие с неформальным словоупо­треблением.

В тех случаях, когда лежащей в основе логикой является функциональное исчисление второго или более высокого порядка, принято, как указано ниже, заменять постулаты (Ах) более эконом­ной системой постулатов (А2). Этим, ''однако, не разрушается приведенная иллюстрация, так как при] желании всегда можно сохранить постулаты, (Ai). <К стр. 307.)

521) При неформальной формулировке этих постулатов к не­определяемым терминам часто добавляют термины 0, 1 и = (не­которых из них или все). Логистический метод, однако, дает возможность установить, что эти дополнительные неопределяемые термины излишни. Правда, определениями, которые мы даем, не вводятся константы 0 и 1, но обозначения Z0 и Zx дают по существу тот же эффект, который получался бы при действитель­ном включении констант 0 и 1 в качестве неопределяемых терминов.

Кроме того, при неформальной формулировке этих постулатов к неопределяемым терминам часто причисляют „натуральное число". Этот дополнительный неопределяемый термин не столько элиминируется применяемым нами методом, сколько включается

в неопределяемые термины S и Я, так как мы считаем, что область определения функции определяется этой функцией и что область определения задана, коль скоро задана сама функция. (Изменить область определения — это значит заменить саму функцию на другую функцию.) Или же, если это больше нравится читателю, он может считать, что используемый при неформальной форму­лировке неопределяемый термин „натуральное число" представ­лен индивидными переменными, область значений которых состав­ляют индивиды, т. е. натуральные числа. <К стр. 308.)

522) Вводя этот термин в смысле, отличном от того, в котором мы употребляем „элементарная теория чисел". <К стр. 308.>

52S) Monatshefte /йг Mathematik und Physik, том 38, 1931; см. стр. 191—193. <К стр. 309.)

5241 Ср. примечание 520. К логистическим формулировкам как элементарной арифметики, так и арифметики первого поряд­ка часто применяют название арифметика Гильберта, так как системы такого рода были введены Гильбертом и его школой. См. статью Гильберта в Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universitat, том 6, 1928, стр. 65—85 (перепечатано в седьмом издании Grundlagen der Geometrie Гиль­берта*0; см. также статью Аккермана в Mathematische Annalen, том 117, 1940, стр. 162—194, а также исследование систем Z, Z*, Z**, Z' и т. д. Гильбертом и Бернайсом в Grundlagen der Mathematik. <К стр. 310.)

525)    Arithmetices Principia, Nova Methodo Exposita, Turin, 1889; Formulate de MatMmatiques, том II, § 2, Turin, 1898. Как указы­вает Пеано, его постулаты имеются в трактате Дедекинда Was Sind und was Sollen die Zahlen, 1888**', хотя и не в форме постулатов. Некоторые существенные элементы, во всяком случае, содер­жатся уже в статье Пирса в American Journal of Mathematics, том 4, 1881, стр. 85—95. <К стр. 310.)

526)    эти два определения-схемы иллюстрируют общий метод, позволяющий находить в рассматриваемой системе выражения, представляющие такие числовые функции, которые в нефор­мальном изложении были бы введены с помощью рекурсивных равенств. Например, первая схема соответствует следующим рекурсивным равенствам для сложения:

а + 0 = а,

                        й + (Й+1) = (й + Й)+ I.

*)Русский перевод — в книге Д. Гильберт, Основания геометрии, Гостехиздат, М.—JL, 1948, стр. 491. — Прим. перев.

**> Есть русский перевод: Дедекинд, Что такое числа и для чего они служат, Известия Физ.-мат. о-ва Казанского университета, том 15, 1906, стр. 25—104. — Прим. перев.

А вторая схема таким же образом соответствует следующим рекурсивным равенствам для умножения:

а х 0 = О, flx(Hl) = fl + (axi).

Этот метод, иллюстрируемый двумя определениями-схемами в тексте, был введен Гильбертом и Бернайсом в Grundlagen der Mathematik, том 2, 1939, добавление IVG, и Паулем Лоренценом в статье в Monatshefte fiir Mathematik und Physik, том 47, 1938— 1939, стр. 356—358. Другие методы, служащие тем же целям, принадлежат Дедекинду (1888) и Кальмару (1930, 1940) и также могли бы быть приняты в данной связи. Неформальное изложение вопроса и краткие сведения по его истории имеются в статье Кальмара в Acta Scientiarum Mathematicarum, том 9, № 4, 1940, стр. 227—232.

Сами рекурсивные равенства для сложения и умножения (неформально сформулированные) даны Пирсом в статье, цитиро­ванной в предыдущем примечании. <К стр. 311.)

5271 Это будет следовать из нашего дальнейшего подробного рассмотрения системы А2, так как все постулаты системы А0 и А1 могут быть доказаны в системе А2 как теоремы, если модифициро­вать их указанным образом (т. е. заменить обозначения 2 (а, Ь, с) и П(а, Ь, с) из А0 и А1 на соответствующие обозначения из А2).

528)    Одним из аспектов этого удобства является процесс под­становки вместо функциональных переменных. Например, про­стая замена тернарной функциональной переменной F повсюду на букву И превратилась бы при несокращенных обозначениях в значительно более сложную операцию подстановки (разрешенную правилом подстановки вместо функциональных переменных). <К стр. 312.)

529)    Вторая точка зрения, описываемая ниже, длительное время оставалась неявной при использовании постулатов матема­тиками и в неформальных изложениях теории постулатов, хотя логистический метод делает возможной более тщательную ее формулировку. Эта точка зрения, в частности, особенно подчерки­валась Кейсером, который в этой связи говорит о „доктринальной функции" {„doctrinal function"), — см. его статью в The Journal of Philosophy, том 15, 1918, стр. 262—267. „Абстрактное" рассмо­трение системы постулатов („допущений"), описанное Вебленом и Юнгом в Introduction к их Projective Geometry (впервые опубликова­но в 1910 г.), представляет собой, по сути дела, ту же идею, хотя термин „пропозициональная функция" и не употребляется.

Ни Веблен и Юнг, ни Кейсер не проводят вводимого ниже различения теорем и следствий системы постулатов. В действи­

тельности это едва ли было возможно до появления работ Тарского и Карнапа. <К стр. 312.)

530)    Мы здесь рассматриваем только тот случай, когда лежа­щая в основе логика является одним из функциональных исчи­слений не выше второго порядка, хотя распространение на другие случаи, и в частности на одно из функциональных исчислений более высокого порядка, может быть проведено по аналогии. Метод распространения на функциональные исчисления более высоких порядков станет ясным после подробного изложения этих исчислений, которое будет дано в следующей главе. <К стр. 312.)

531)    В случае одного из функциональных исчислений — любой пп-формулы. <К стр. 313.)

832) Для этой цели чистое функциональное исчисление пер­вого порядка с равенством следует считать имеющим порядок, промежуточный между первым и вторым.

533)    это есть понятие „логистического следствия", введен­ное Тарским, Przeglqd Filozoficzny, том 39, 1936, стр. 58—68, и Actes du Congres International de Philosophie Scientifique (Париж, 1936), часть VII, стр. 1—11. <K стр. 314.)

534)    Утверждая это, мы предполагаем, что число неопределяе­мых терминов конечно. Видоизменения, которые необходимы для того, чтобы охватить противоположный случай, могли бы быть сделаны, если рассмотреть бинарную пропозициональную функ­цию, одним аргументом которой была бы область индивидов, а другим — полная система значений свободных переменных представляющих форм постулатов. <К стр. 314.)

535)    Сопоставьте это с прежней точкой зрения, согласно кото­рой математическая теория состоит из теорем.

Против этой новой точки зрения можно было бы выставить возражения, относящиеся к абсолютизму, предполагаемому этой теорией, или платонизму, как говорит Бернайс (L'Enseignement Mathimatique, том 34, № 1—2, 1935, стр. 52—69; ср. также Френ­кель, ibid., стр. 18—32). Однако следует заметить, что этот плато­низм присущ всей классической математике вообще, и от того, что он применяется в теоретическом синтаксисе, он не становится ни более резким, ни более сомнительным, а лишь больше бросается в глаза. Ибо наше определение следствий из некоторой системы постулатов может быть сформулировано для формализованного метаязыка (и рассмотрено в его пределах), который мы здесь не описываем подробно, но который, как можно заметить, лишь несущественно отличается от формализованных языков, необхо­димых для логистического изложения классической математики.

Имелись бы, конечно, убедительные возражения (ср. § 07) против намерения ввести формализованный язык при помощи

неэффективного понятия следствия и заменить таким образом первоначальную конструкцию языка в пределах того, что мы назвали элементарным синтаксисом (§ 08). Но после того, как такая формализация языка завершена (или по крайней мере после того, как завершена такая формализация как языка-объекта, так и метаязыка), использование в теоретическом синтаксисе языка-объекта неэффективного понятия следствия является уже другим вопросом и возражения против него уже относятся к дру­гому уровню.

Верно, что определенное нами в теоретическом синтаксисе неэффективное понятие следствия предполагает некоторое абсо­лютное понятие ВСЕХ пропозициональных функций от индиви­дов. Однако то же самое предполагается и в классической мате­матике, особенно в классическом анализе, и возражения против этого ведут к таким модификациям классической математики, как математический интуиционизм (который будет рассмотрен в одной из дальнейших глав) или частичный интуиционизм вей­левского Das Kontinuum (Leipzig, 1918).

(В этой последней книге возражения Вейля против абсолют­ного понятия все и против порочного круга, который, по мнению Вейля, содержится в этом понятии, приводят его к позиции, кото­рая, грубо говоря, заключается в том, что простые функциональ­ные исчисления заменяются либо соответствующими предикатив­ными функциональными исчислениями, либо же разветвленными функциональными исчислениями (ср. § 58 и примечание 583), причем аксиомы сводимости Рассела (§ 59) отвергаются. Как хоро­шо известно, Вейль, хотя он и оказался в состоянии осуществить частичную перестройку анализа, пришел к выводу, »гго суще­ственная часть классической теории является домом, построенным на песке.) <К стр. 314.)

536)    Под интерпретацией математической теории мы понимаем интерпретацию той логистической системы, которая получается добавлением постулатов в качестве дополнительных аксиом к ле­жащей в основе логике. В этом же смысле мы говорили об интер­претации постулатов в последнем абзаце § 07.

Преимущества аксиоматического метода, заключающиеся в том, что полученные с его помощью результаты сохраняют силу для различных интерпретаций, слишком часто подчеркивались дру­гими авторами и не нуждаются в повторении. (Ср. с соответствую­щим замечанием о логистическом методе вообще в § 07.) <К стр. 314.)

537)    это — упоминавшаяся в примечании 529 доктринальная функция Кейсера. Точное изложение этого понятия с точки зре­ния различия между смыслом и денотатом связано с некоторыми трудностями, и мы не будем здесь заниматься этим. <К стр. 314.)

5S8) Такое понятие непротиворечивости, включающее частный символ л*, достаточно здесь, так как мы рассматриваем в качестве лежащей в основе логики только обычные (прикладные) функцио­нальные исчисления различных уровней в частных формулировках, принятых в главах III—VI. Для того чтобы ввести в рассмо­трение в качестве лежащих в основе логик и другие системы, не­обходимо в каждом случае уточнять знак (исходный или определяе­мый), который отождествляется с Если же этого сделать нельзя, то можно использовать какое-либо из других введенных в § 17 понятий непротиворечивости. <К стр. 315.)

539)    этот метод доказательства независимости постулатов был использован Пеано (Rivista di Matematica, том 1, 1891, см. стр. 93— 94) и Гильбертом в его Grundlagen der Geometrie, первое из­дание (1899). Однако истоки этого метода можно обнаружить еще ранее в связи с неэвклидовой геометрией Больаи и Лоба­чевского, так как модели постулатов этой геометрии, найденные Бельтрами (1868) и Клейном (1871), являются в действительности независимостными примерами эвклидова постулата о параллель­ных. <К стр. 316.)

540)    Ср. первое издание Grundlagen der Geometrie Гильберта, стр. 19—21. <К стр. 316.)

541)    Хантингтон, Transactions of the American Mathematical Society, том 3, 1902, см. стр. 264, 277—278, 281, 283—284; Веблен, ibid., том 5, 1904, см. стр. 346—347. Ср., далее, замечания Хантингтона, там же, том б, 1905, стр. 209—210. Ныне общепринятый термин „категорический" появляется впервые в статье Веблена, где утвер­ждается, что он указан Джоном Дьюи.

Хотя идея о категоричности, как о понятии, применимом к системам постулатов вообще, впервые сформулирована, как будто, Хантингтоном и Вебленом, в литературе можно найти более ран­ние результаты, равносильные категоричности тех или иных систем постулатов. Так, в Was Sind und was Sollen die Zahlen? Дедекинда (ср. примечание 525) в 134-м абзаце содержатся су­щественные элементы обычного доказательства категоричности постулатов Пеано, сходного с тем, которое описано ниже в упраж­нении 55.15. А результат, доказанный Георгом Кантором в Mathe- matische Annalen, том 46, 1895, стр. 510—512, заключается факти­чески в том, что определенная система постулатов — его широко известное определение континуума — является категорической. (Дедекинд говорит о „Bedingungen", а Кантор — о „Merkmale", а не о постулатах или аксиомах.) <К стр. 316.)

542)    Не исключен, конечно, тот частный случай, когда обе области индивидов совпадают, и в этом случае требуемым одно- однозначным соответствием является некоторое одно-однозначное

29 2007 -

отображение этой области индивидов на себя. (Мы предполагаем, что термин „одно-однозначное соответствие" знаком читателю, но в случае нужды разъяснение его можно найти в примеча­ниях 556, 564.) <К стр. 317.)

543> Определяющее имеет очевидное сходство с представляю­щей формой конъюнкции постулатов (ID), хотя и отличается от нее в разных отношениях, в частности оно содержит одной свободной функциональной переменной больше. В той форме, в которой оно приведено здесь, определяющее упрощено по срав­нению с постулатами с помощью очевидных применений Р и F1. <К стр. 318.)

544> д0 тех ПОр; пока мы ставим себе только задачу воспроиз­водить (в этом смысле) в F|p теоремы из А1, нам не нужны никакие дополнительные аксиомы. Точно так же и для теоремы, что су- ществует не более одной арифметики (с точностью до одно-одно­значного соответствия), не требуется никаких дополнительных аксиом. Однако для некоторых других теорем, и в частности для теоремы, что существует по меньшей мере одна арифметика, нужна будет аксиома бесконечности и, возможно, также аксиома вполне-упорядочиваемости индивидов. <К стр. 319.)

545) Часто говорят, что математика сводима к логике и в дру­гом смысле (в смысле Фреге и Рассела). Об этом мы будем говорить в другом параграфе. Однако уже сейчас необходимо заметить, что решение, хотя бы частично, является вопросом терминологии. Можно также считать, что аксиома бесконечности находится вне области логики и что логика кончается, а математика начинается с добавлением такой аксиомы. <К стр. 319.)

54в) Ср. с примечанием 528. <К стр. 322.)

Это определение-схему можно считать модифицированной формой специального случая расселовского контекстуального определения дескрипций, т. е. его схемы для контекстуального определения обозначения (?х)А; см. American Journal of Mathema­tics, том 30, 1908, стр. 253. В этом специальном случае мы можем, следуя замечанию, сделанному Эрбраном в Comptes Rendus des Seances de la SocidU des Sciences et des Lettres de Varsovie, Classe III, том 24,1931, стр. 33, упростить определения (содержащиеся в схеме), используя для этого теоремы Z0(x)3. Z0(у)Dx = у и Zx(x)3я zi(У) 3 х = у логистической системы А1. <К стр. 322.)

547) Это частный случай сформулированного в примечании 452 результата Сколема. Его доказательство, отличное по методу от указанного здесь, приведено в Fundamenta Mathematicae, том 23, 1934, стр. 150—161. <К стр. 323.)

54») это адаптация примера, принадлежащего Тарскому, см. Мо- natshefte /йг Mathematik und Physik, том 40, 1933, стр. 97—112.

С помощью теорем Гёделя о неполноте (которые будут рассмотрены в одной из дальнейших глав) можно также найти конечную си­стему постулатов, которая непротиворечива относительно дока­зуемости, не будучи непротиворечивой относительно следования. <К стр. 324.)

549)    Выражение „частично упорядоченный класс" является пере­водом немецкого выражения „teilweise geordnete Menge", исполь­зованного Феликсом Хаусдорфом в Grundziige der Mengenlehre (Leipzig, 1914), стр. 139, где общее понятие частичного порядка (отличаемое от рассмотрений его частных случаев) вводится, как будто бы, впервые. <К стр. 324.)

550)    Это определение простого порядка следует, по-видимому, приписать Пирсу, который в American Journal of Mathematics, том 4, 1881, стр. 86 дает в терминах отношения (а не отноше­ния < , как в упражнении выше) весьма близкое определение.

Определение простого порядка в терминах отношения пред­шествует (аналогичного отношению < )дано Гутберлетом в Zeit- schrift fur Philosophic und Philosophische Kritik, н. е., том 88, 1886, стр. 183—184. То же самое определение использовано также Геор­гом Кантором, см. Mathematische Annalen, том 46, 1895, стр. 496 (или же его Gesammelte Abhandlungen, стр. 296); возможно, что Гутберлет мог взять это определение из рукописи Кантора (см. Ge­sammelte Abhandlungen, стр. 388, 482—483), хотя его собственная формулировка этого вопроса не совсем ясна. Как Гутберлет, так и Кантор явно формулируют только два последних постулата из трех приведенных выше, но дополнительное условие, что никакой элемент не предшествует себе самому, молчаливо предполагается, по крайней мере Кантором, как это видно из Mathematische Annalen, том 49, 1897, стр. 216 (или Gesammelte Abhandlungen, стр. 321).

Условие, что никакой элемент не предшествует самому себе, конечно, может быть заменено условием, что не может одновремен­но х предшествовать у и у предшествовать х. В такой форме три постулата явно приводятся Джилмэном (учеником Пирса) в Mind, н. е., том 1, 1892, стр. 518—526; Джиовани Вайлати в Rivista di Matematica, том 2, 1892, стр. 73. <К стр. 324.)

551)    Понятие вполне-упорядоченного класса дано Кантором в Grundlagen einer Allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Leipzig, 1883, стр. 4, или Mathematische Annalen, том 21, 1883, стр. 548, или Acta Mathematica, том 2, 1883, стр. 393 (или Gesammelte Abhandlungen, стр. 168). Канторовское определение вполне-упорядоченности несколько отлично, но эквивалентно тому, что сейчас общепри­нято в качестве такого определения, выражаемого приведенным выше четвертым постулатом. Кроме того, вначале, давая определе­ние вполне-упорядоченности, Кантор предполагал понятие про-

29* - 1 -

стого порядка. Однако в 1895 г., как разъяснено в предыдущем примечании, определение простого порядка было дано. <К стр. 324.)

552)    Как и в случае (1), наличие бесконечной последователь­ности индивидов, участвующих в этих постулатах, может быть обеспечено использованием соответствующим образом модифици­рованных постулатов (Аг). (Сравните используемую в тексте про­цедуру преобразования постулатов (ID) для области целостности с единицей в пропозициональную форму с тремя переменными, вы­ражающими, что некоторый класс является областью целостности с единицей относительно двух тернарных отношений.) <К стр. 325.)

553)    Понятия метрического пространства и полного (или пол­ного метрического) пространства введены Морисом Фреше, хотя и в других терминах. См. его тезисы в Rendiconti del Circolo Mate- matico di Palermo, том 22, 1906, стр. 1—74, и его статью в Transac­tions of the American Mathematical Society, том 19, 1918, стр. 53—65. <K стр. 325.)

554)    См. статью Арнольда Шмидта в Mathematische Annalen, том 115, 1938, стр. 485—506. (Добавлено в корректуре: см. также улучшенные изложения этого же предмета Арнольдом Шмид­том в Mathematische Annalen, том 123, 1951, стр. 187—200, и Хао Ваном в The Journal of Symbolic Logic, том 17, 1952, стр. 105—116.) <K стр. 326.)

555)    Имеется в виду следующая аксиомная схема:

(х) (31) аз (3g) (xffivx^v,;::^,) a i,

где х, xlt х2,..., хп — отличные друг от друга индивидные перемен­ные, f есть /г-арная функциональная переменная, g есть (л + ^-ар­ная функциональная переменная, а А есть пп-формула, не содер­жащая никаких связанных вхождений ни g, ни х. Она приводится у Гильберта и Аккермана в Grundzdge der theoretischen Logik, второе издание (1938), стр. 104, и третье издание (1949), стр. 111*), а также в статье Аккермана, упомянутой в последнем абзаце при­мечания 507. <К стр. 327.)

556» Мы говорим, что некоторое отношение является подотно- шением другого отношения, если первое отношение формально имплицирует второе в смысле формальной импликации, разъяс­ненной в § 06. Отношение R называется много-однозначным, если для всякого элемента а из области отношения R существует един­ственный элемент b из конверсной области отношения R, такой, что а находится к b в отношении R. Далее, отношение называется одно- многозначным, если его конверсия является много-однозначным отношением; наконец, отношение называется одно-однозначным,

*) Русский перевод: Основания теоретической логики, ГИИТЛ, М,— Л., 1947, стр. 168. — Прим. перев.

если и оно само, и его конверсия являются много-однозначными отношениями. (См. также разъяснение терминологии в приме­чании 517.) <К стр. 328.)

557> Ср. Гильберт и Аккерман, Grundziige der Theoretischen Logik, второе издание (1938), формула g на стр. 104, и третье из­дание (1949), формула g на стр. 111*'. <К стр. 328.)

558) Для аксиомы бесконечности, которая была бы обще­значима в счетно-бесконечной области индивидов, это является следствием упражнения 48.24. Тот же результат может быть получен для аксиомы бесконечности, общезначимой только в не­счетно-бесконечной области индивидов, если в метаязыке восполь­зоваться аксиомой выбора и следовать методу упражнения 48.22, что и было проделано Хенкиным в его диссертации 1947 г. и статье, цитированной в примечании 465. (Ср., далее, примечание 451.) <К стр. 329.)

559» Существуют аксиомы бесконечности, которые являются пп-формулами только функциональных исчислений еще более высоких порядков, в частности „Infin ах" из Principia Mathematica, как она выглядела бы р наших обозначениях, а также три аксиомы бесконечности, которые соответствуют определениям конечности I, 11,111 Тарского из Fundamenta Mathematicae, том б, 1924, стр. 46,93.

5в0) Сейчас же напрашивается мысль о введении более огра­ниченного понятия аксиомы бесконечности, как такой пп-формулы, которая общезначима во всякой бесконечной области, но не об­щезначима ни в какой конечной области. Это действительно может быть сделано в подходящем метаязыке. Однако с точки зрения оправдания или объяснения предпочтения, отдаваемого одной какой-нибудь аксиоме бесконечности перед другой, резуль­тат оказывается менее удовлетворительным, чем можно было предполагать. Ибо при более ограниченном понятии аксиомы бесконечности решение вопроса о том, какая из приведенных ниже пп-формул (ool)—(оо5) действительно должна считаться аксиомой бесконечности, зависит от того, что принимается за определение „конечного" и „бесконечного" в метаязыке, а также от аксиом (в конечном счете формализованного) метаязыка, в част­ности от наличия и вида аксиом, играющих роль аксиом беско­нечности и выбора. (Ср. аналогичное замечание Мостовского в Comp­tes rendus des Stances de la Socidtd des Sciences et des Lettres de Varsovie, Classe III, том 31, 1938, стр. 16.) <K стр. 329.)

ем) Из статьи, цитированной в примечании 481. Ср. также с упражнением 43.5 (2). <К стр. 329.)

562) из его статьи, цитированной в примечании 430. Ср. также с упражнением 43.5 (1). <К стр. 329.)

*) Русский перевод — стр. 167. — Прим. перев.

563)    Аксиома (оо5) из монографии автора 1944 г. упрощена здесь в соответствии с указаниями, сделанными Бернайсом в пись­ме от 31 августа 1945 г. Идея аксиомы, утверждающей, что инди­виды не могут быть приведены в замкнутый циклический поря­док, взята из второго определения конечности Дедекинда, которое приведено в предисловии ко второму изданию (1893) его Was Sind und was Sollen die Zahlen? По этому поводу см., далее, § 7 статьи Тар­ского в Fundamenta Mathematicae, том б, 1924, стр. 83—93 и статью Кавайе, там же, том 19, 1932, стр. 143—148. <К стр. 329.)

564)    Класс называется подклассом некоторого другого класса, если все элементы первого класса являются также элементами второго (ср. с примечанием 556); если же в дополнение к этому второй класс содержит хотя бы один элемент, не являющийся элементом первого класса, то первый класс называется собствен­ным подклассом второго. Под одно-однозначным соответствием между двумя классами подразумевается одно-однозначное отно­шение в смысле примечания 556, областью которого является один класс, а конверсной областью — другой. (Все это термины, обычные в общематематической литературе, и относительно них мы уже неоднократно предполагали, что они известны читателю без каких-либо специальных разъяснений. В частности, понятие одно- однозначного соответствия было использовано в метатеоре- ме **439 и в ее доказательстве, а также в определении категорично­сти § 55, а понятия много-однозначного и одно-многозначного соответствия — в § 23 и в упражнении 55.18.) <К стр. 330.)

565)    Пирс, American Journal of Mathematics, том 7, 1885, стр. 202; Дедекинд, Was Sind und was Sollen die Zahlen? (1888), абзац 64. Как отмечает Дедекинд в своем введении ко второму изданию, одно-однозначное соответствие между бесконечным классом и его собственным подклассом впервые было указано Больцано в его Paradoxien des Unendlichen (1851) и было известно Кантору в 1878 г., но ни тот, ни другой автор не намеревались сделать это определе­нием бесконечного класса. <К стр. 330.)

566> Comptes Rendus des Stances de la Sociite des Sciences et des Lettres de Varsovie, Classe 111, том 31,1938, стр. 13—20. <K стр. 330.)

567> Доклады Академии Наук СССР, том 70, 1950, стр. 569—572. <К стр. 330.)

568) Как Мостовский, так и Трахтенброт рассматривают логи­стические системы, отличные от F|p; кроме того, они рассматривают непосредственно не проблему наиболее слабой аксиомы бесконеч­ности, а проблему наиболее сильного определения конечности (класса). Таким образом, результат, сформулированный в тексте, не содержится в явном виде в их статьях, а должен быть выведен из них. Сверх того, обе статьи представляют собой резюме, не

содержащие доказательств сформулированных результатов; од­нако указания, достаточные, по-видимому, для восстановления доказательства, содержатся в статье Трахтенброта и в рецензии на нее Мостовского в The Journal of Symbolic Logic, том 15, 1950, стр. 229. <K стр. 330.)

569)    Эта аксиома бесконечности подсказана определением ко­нечности, которое было дано Вебером и несколько упрощено Кюршаком. См. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereini- gung, том 15, 1906, стр. 177 и том 16, 1907, стр. 425. Следует от­метить также связь с (°°1), которая утверждает существование частичного порядка индивидов, в котором нет последнего инди­вида. <К стр. 331.)

570)    Подсказана определением конечности Пауля Штеккеля, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, том 16, 1907, •стр. 425. <К стр. 331.)

571)    Подсказана принадлежащим Тарскому определением ко­нечности Е в Fundamenta Mathematicae, том 30, 1938, стр. 162. Однако в той форме, в которой эта аксиома приведена здесь, она модифицирована использованием одно-многозначного соот­ветствия вместо одно-однозначного соответствия, использованного Тарским в определении Е. <К стр. 331.)

572)    то что это не может быть сделано без использования аксио­мы (w), следует из результата, полученного Мостовским в его диссертации О Niezaleznoki Definicji Skonczonosci w Systemie Logiki, которая опубликована в качестве приложения к Annates de la Socidti Polonaise de Mathematique, том 11, 1938, стр. 1—54. <K стр. 331.)

573)    Эта цитата взята из статьи Пуанкаре в „Scientia", том 12, 1912, см. стр. 7. Более ранние формулировки возражений Пуанкаре против непредикативных определений („«Minitions поп ргёсИса- tives") см. в Revue de Mdtaphysique et de Morale, том 14,1906, стр. 307. <K стр. 332.)

574)    Однако нельзя быть уверенным, что принцип порочного круга Рассела совпадает с тем, что имел в виду Пуанкаре, так как Пуанкаре никогда не развивал своих идей систематически в этом направлении, а (неформально) приводимые им примеры непреди­кативных определений не дают возможности выяснить, каков бы был его приговор относительно других примеров того, что также можно было бы считать непредикативными определениями.

В статье в Revue de Mttaphysique et de Morale, том 17, 1909, стр. 461—482 [впоследствии перепечатанной в качестве главы IV в Demises Pensees (1913)], Пуанкаре обсуждает расселовскую „иерархиютипов", т. е. разветвленное функциональное исчисление

(высшего порядка), которая вводится Расселом как основанная на принципе порочного круга. Из этого обсуждения можно, по- видимому, заключить, что Пуанкаре считал принцип порочного круга в общем и целом соответствующим его собственным идеям, но не соглашался без возражений принять функциональное ис­числение, которое Рассел предлагал в качестве воплощения этого принципа, — даже в случае отказа от расселовских аксиом сво­димости, которые будут рассмотрены в следующей главе.

По-видимому, Пуанкаре (в отличие от Вейля) верил или на­деялся на то, что всю классическую математику удастся построить, не прибегая к непредикативным определениям, коль скоро допу­щены постулаты арифметики, включая постулат математической индукции. Ср. его статью в *Acta Mathematica, том 32, 1909, стр. 195—200, особенно § 5, стр. 198—200. <К стр. 332.)

575)    См. American Journal of Mathematics, том 30, 1908, стр. 237. Термин „apparent variable" (фиктивная переменная) исполь­зован Расселом в том смысле, в котором мы используем термин „связанная переменная" (ср. примечание 28), поэтому вторая из двух цитированных формулировок принципа порочного круга должна в нашей терминологии звучать следующим образом: пп-формула, содержащая связанную переменную, не должна обозначать одно из значений, принадлежащих к области значений этой переменной. (К стр. 332.)

576)    Разъяснение см. в его статье „Der Circulus Vitiosus in der Heutigen Begrundung der Analysis" в Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, том 28, 1919, стр. 85—92. (К стр. 332.)

577)    Мы здесь не будем пытаться решить вопрос о семантиче­ских правилах главной интерпретации какого-либо из предика­тивных или разветвленных функциональных исчислений второго порядка или формулировать эти правила. Заметим, однако, что для согласованности с только что описанными мотивами необхо­димо отказаться от идеи, что предложение обозначает одно из истинностных значений t или f, и, следовательно, не считать эти два истинностных значения значениями пропозициональных пере­менных, а классы и отношения в объемном (экстенциональном) понимании — значениями функциональных переменных. Точка зрения, которой Рассел придерживался в 1908 г., а Уайтхед и Рассел в первом издании Principia Mathematica, будет, по-види­мому, лучше всего передана, если предположить, что предложения обозначают суждения, считать суждения значениями пропози­циональных переменных, а свойства и отношения в интенциональ- ном понимании — значениями функциональных переменных. Что касается более экстенциональной точки зрения, защищаемой Расселом в его Introduction to the Second Edition of Principia Mathe­matica (ср. примечание 590), то ее можно, видимо, представить

с помощью бесконечного перечня истинностных значений, а имен­но двух истинностных значений tm и fm для каждого уровня т, считая tm и fm значениями пропозициональных переменных т-то уровня и считая значениями п-арных функциональных перемен­ных т-го уровня функции (в экстенционалыюм понимании), имеющие упорядоченные /z-ки областью своего определения и имеющие tm и fm (одно или оба) своими значениями.

Следует тут же заметить, что сказанное выше не является воспроизведением точки зрения самого Рассела по семантическим вопросам, особенно в том виде, как она изложена во введении и добавлениях ко второму изданию Principia Mathematica. Это скорее первый шаг предполагаемой попытки включить развет­вленные функциональные исчисления в нашу собственную семан­тическую программу и дать для них „семантические правила" такого рода, с которыми сам Рассел, наверное, не согласился бы. <К стр. 332.)

578) Употребление здесь слова „уровень" <„level"> является отклонением от терминологии Рассела и Principia Mathematica. То что мы в функциональных исчислениях второго порядка на­зываем уровнем функциональной или пропозициональной пере­менной, совпадает с тем, что Уайтхед и Рассел называют порядком. Однако в общем случае, и особенно в связи с разветвленными функ­циональными исчислениями высших порядков, мы понимаем под уровнем функциональной переменной то, что в терминологии Уайтхеда и Рассела называлось бы величиной <the amount), на которую порядок <the order) этой функциональной переменной превосходит наивысший порядок переменной из числа тех, кото­рые могут стоять на одном из аргументных мест (т. е. на одном из мест между скобками, следующими за рассматриваемой функ­циональной переменной).

Мы не будем использовать в этой связи слово „порядок" в каком-либо смысле, отличном от того, в котором мы говорим о функциональных исчислениях первого порядка, второго порядка и т. д. (употребление этого слова значительно отличается от при­нятого Уайтхедом и Расселом). Мы будем, кроме того, использо­вать слово „тип" совершенно иначе, чем это делают Уайтхед и Рассел, приноравливая это употребление скорее к простым функ­циональным исчислениям, чем к разветвленным функциональным исчислениям. А именно, как будет более подробно разъяснено в главе VI, все встречающиеся в функциональных исчислениях первого (или второго) порядка функциональные переменные относятся, как мы говорим, к первому типо-классу, новые функцио­нальные переменные, которые вводятся в функциональном исчи­слении третьего порядка, относятся, как мы говорим, ко второму типо-классу, и т. д., вводя новый типо-класс функциональных

переменных с каждым последовательным функциональным исчи­слением нечетного порядка. В нашей терминологии пропозициональ-   » ные переменные не разбиваются на типы, а относятся к одному и тому же типу, хотя в разветвленных функциональных исчисле­ниях имеются пропозициональные переменные различных уров­ней. Точно так же все индивидные переменные относятся к одному типу (отличному от типов пропозициональных и функциональных переменных). Две функциональные переменные, из которых одна m-арна, а другая л-арна, относятся к одному и тому же типу, если обе они принадлежат первому типо-классу и т = п или если обе они принадлежат одному и тому же более высокому типо-классу, т = п и всякая переменная, которая может стоять на некотором аргументном месте за одной из них, относится к тому же типу, что и переменная, которая может стоять за другой на том же (по поряд­ку) аргументном месте. <К стр. 333.)

579)    Эту формулировку следует сравнить не только с собствен­ной формулировкой Рассела (в статье, цитированной в приме­чании 454) и формулировкой в Principia Mathematica, но также с формулировкой Гильберта и Аккермана в Grundziige der Theore- tischen Logik, первое издание (1928), и с формулировкой Фитча в The Journal of Symbolic Logic, том 3, 1938, стр. 140—149. Все они отличаются от нашей настоящей формулировки (скажем) исчи­сления Ff/B, не будучи ограничены тем, что мы называем вторым порядком. Формулировка Фитча, кроме того, содержит обозна­чения и аксиомы, предназначенные для включения в систему в не­котором смысле формулировки, или частичной формулировки, арифметики, так что его систему можно скорее сравнить с на­шей А2/в (см. ниже) нежели с Ff'B. <К стр. 334.)

580)    При желании мы могли бы также ввести обозначения =2 и заменяя в D22 и D23 переменную F на F1'2. Аналогично =3 и ij И т, д. <к стр. 335.)

581)    ха часть системы из Principia Mathematica, которая не         , выходит за пределы функционального исчисления второго порядка, приблизительно представлена чистым разветвленным функциональ­ным исчислением второго порядка уровня ю, к которому добав­лены некоторая аксиома бесконечности, бесконечный перечень аксиом, получаемых из (w) вышеописанным способом, а также

(по крайней мере в первом издании Principia) аксиом сводимости, которые приводятся ниже в § 59. Для полной системы Principia добавляются функциональные переменные более высоких типо- классов (ср. примечание 578), но по-прежнему разветвленные, т. е. разделенные на уровни; аксиома бесконечности формули­руется в ином виде (упомянутая в примечании 559 „ Infin ах"), требующем функциональных переменных более высоких порядков; аксиомы, получаемые из (w), как это описано в тексте, заменяются

расселовскими мультипликативными аксиомами (эквивалентны­ми аксиомам выбора); и (по крайней мере в первом издании) в дополнение к аксиомам сводимости, данным в § 59, включаются аксиомы сводимости, содержащие функциональные переменные более высоких типо-классов. <К стр. 336.)

582> Сформулированные в § 55 системы А0 и А1 остаются не за­тронутыми принятием точки зрения разветвления, т. е. разделе­ния на уровни. <К стр. 336.)

583)    Ср. с примечанием 535.

Вейль описывает формулировку разветвленной арифметики второго порядка, а также более высокого порядка, и считает эту систему приемлемой. Однако фактические построения книги ле­жат в значительной степени в пределах предикативной ариф­метики второго порядка и как будто бы по существу эквивалентны системе А21 (см. ниже), хотя и отличаются деталями формулировки. В некоторых местах эта система должна быть расширена до преди­кативной арифметики третьего порядка. путем добавления пере­менных следующего более высокого типо-класса, которые, однако, допускаются только в качестве свободных переменных. <К стр. 336.)

584)    То есть, точнее говоря, F1 заменяется на Flli для полу­чения первого постулата из указанного бесконечного перечня, на F1/2 для получения второго постулата из этого перечня и т. д. <К стр. 337.)

585)    Таким образом, „F" становится в действительности син­таксической переменной с F1'1, F1/2, F1'3, ... в качестве значений; тем самым оказывается установленной теоремная схема, сумми­рующая бесконечный перечень аксиом. Это пример того, что ав­торы Principia Mathematica называют типовой неопределенностью <typical ambiguity>.

Бесконечный перечень постулатов математической индукции из А2/в также может быть удобным образом суммирован в един­ственной постулатной схеме с помощью типовой неопределенности. (Ср. примечание 584.) <К стр. 337.)

586> Конечно, имеется в виду дать не главную интерпретацию, а лишь некоторую специальную интерпретацию, служащую целям данного конкретного доказательства независимости. <К стр. 338.)

5В7) В статье, цитированной в примечании 454. <К стр. 338.)

588) В частности со стороны Леона Хвистека в Przeglad Filozo- ficzny, том 24, 1921, стр. 164—171; со стороны Гильберта и Аккер­мана, Grundzuge der Theoretischen Logik, первое издание (1928), стр. 114—115; со стороны Адольфа Френкеля, Einleitung in die Mengenlehre, третье издание (1928), стр. 259—263; со стороны

У. В. Куайна в Mind, н. е., том 45, 1936, стр. 498—500, и в статье в The Philosophy of Alfred North Whitehead, 1941, см. стр. 151—152. <K стр. 338.)

589) Хвистек в статье, цитированной в предыдущем примеча­нии; Рамсей в статье в Proceedings of the London Mathematical Society, ser. 2, том 25, 1926, стр. 338—384, перепечатанной в его The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, 1931, стр. 1—61; Карнап в Abriss der Logistik, 1929, § 9. См. также от­дельные замечания Карнапа и Хана в Erkenntnis, том 2, 1931, стр. 73, 97, 145. <К стр. 338.)

aw Указывая, что их место могли бы частично занять аксиомы объемности, которые в терминах разветвленных функциональ­ных исчислений высших порядков выражают, что формально экви­валентные пропозициональные функции одного и того же типа и одного и того же уровня тождественны. (Ср. примечание 577.)

Сравните также The theory of constructive types— статью в Annates de la SocieU Polonaise de Mathematique, том 2, 1924, стр. 9—48, и том 3, 1925, стр. 92—141, в которой Хвистек берет, по словам Рассела, героический курс на отказ от аксиом сводимости без принятия какой-либо замены для них и предпринимает таким образом попытку основать логистическое построение математики на системе из Principia Mathematica без этих аксиом. <К стр. 338.)

\

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я