• 5

8.3. Типы акустических волн

Плоские волны. Рассмотрим случай, когда волновой процесс распространяется в каком-либо одном направлении и характери­стики волны зависят только от одной координаты х. Акустиче­ское поле при этом будет описываться уравнением

ГС 27*

-3*2—с -gp-, <ЭФ (ЭФ

которое следует из (8.25) при —г— = —г— = 0.

оу ог

Найдем общее решение (8.27), введя новые переменные

t]=x—ct, Q=x+ct.        (8.28)

Частные производные потенциала по новым переменным бу­дут равны:

дФ       дФ дц . <?ф дО         дФ . дФ

дх ~ ф] дх + дв дх ~ дп + дв '

д2Ф д2Ф , о д2Ф , д2Ф +2-

дх2 ~~ drj2     дт) ае ^ dfl2

дФ        дФ |    дФ

д2Ф __ 2 ( д'Ф о а»Ф            . ааФ df> ~~ \ дг* i дпдв "г до

Подставляя их в (8.27), получаем

а2Ф д

dr] дв  дч

(-ж-)=°-            (8.29)

Из (8.29) следует, что дФ/дд не зависит от tj, и ее можно считать произвольной функцией от 6:

4г=/(°)-            (8-30)

Интегрируя (8.30) по 8, найдем

®-J/(0)<0+c-/i<O)+/s(4).       (8-31)

считая с произвольной функцией от tj.

Возвращаясь к исходным переменным, найдем общий инте­грал волнового уравнения (8.27):

, <S>=A(x-ct)+Mx+ct).           (8.32)

Это решение волнового уравнения справедливо и для звуко­вого давления, скорости, уплотнения. Вид функций fi и f2 опре­деляется формой начального возмущения, а их аргументы

обладают свойством не изменять своей величины при замене х на х+Ах (для fi), х — Ах (для f2) и t на f+Д* при условии Дt= = Axle. Так, например,

X—ct=JC+Ajc—с (t+Lt)=JC+Ах—Ct—С =X—ct.

Следовательно, функция f 1 (х — ct) есть волна, распространя­ющаяся в положительном направлении оси х, а введенная ранее величина с (см. 8.9) имеет физический смысл скорости распро­странения возмущения, т. е. скорости звуковой волны. Функция f2(x+Ax) — волна, бегущая в противоположном направлении.

Так как значение потенциала скорости в данный момент в любой точке плоскости, нормальной к оси х, остается неизмен­ным, то эта плоскость является волновой поверхностью, а волна, описываемая уравнением (8.27), называется плоской волной.

Поле плоских волн можно создать плоскостью колеблюще­гося поршня. В безграничной среде такая плоскость должна бы иметь бесконечно большие размеры, поэтому практически поле плоских волн может быть создано в средах, имеющих границы, например в трубах с абсолютно жесткими стенками. В океане - на больших удалениях от источника возмущения можно выде­лить участок, на котором приближенно волна может рассматри­ваться как плоская.

Если поле плоских волн создается источником, совершающим гармонические колебания, то потенциал скорости можно пред­ставить в форме

Ф = Ае?{а>*~кх\        (8.33)

где А — амплитуда звуковой волны; k = u>fc — волновое число.

Эффективное1 значение звукового давления для гармониче­ской плоской волны получим из формулы

р= P-|L= j»Ae! {at~kx) =/шрФ,         (8.34)

а эффективное значение колебательной скорости — из формулы (8.21):

а          -g- =jkAe>(e' =Jk Ф.  (8.35)

Выражения (8.34) и (8.35) показывают, что в плоской волне колебательная скорость и звуковое давление синфазны. Из этих выражений можно вывести простое соотношение, связывающее колебательную скорость и звуковое давление:

                        р=рси.            (8.36)

1 Эффективное, или действующее, давление — среднее квадратичное_зна- чейне давления (скорости и т. д.) за полупериод колебаний; оно в раз меньше, чем амплитудное значение.

Величина R = рс называется удельным акустическим или волновым сопротивлением среды. Величина 1/(рс), обратная волновому сопротивлению, называется волновой проводимостью среды.

Сферические волны. Простыми сферическими или сфериче­ски-симметричными волнами называются волны, потенциал ско­ростей которых является функцией двух независимых перемен­ных— расстояния г от центра волны и времени t. Идеальным источником простых сферических волн является периодически изменяющая свой объем сфера, размеры которой много меньше длины волны. Расстояние г в сферической системе координат связано с координатами х, у, г следующим уравнением:

r2=jc2+j^+z2. (8.37)

Пользуясь этим уравнением, выразим частные производные уравнения (8.24) через частные производные от потенциала Ф по расстоянию г. Дифференцируя (8.37) по х, у и г, найдем

дг        - х _     дг        у_. дг _£_

дх г '    ду г ' дг г

Далее находим

дФ       дФ дг йФ * .

(8.38)

дх дг дх дг г '

д2Ф д ( дФ \ х , дФ д ( х \ х1 д*Ф , г2 - х1 дФ

( дФ \ х . дФ д ( х \ Л дг ) г "т дг дх \ г /

дх* дх \ дг ) г ' дг дх \ г ) -т2 дг2 ' г> дг '

(8.39)

Аналогичным образом получаем

дгФ у2 дгФ г» - у» дФ ду*     дг2      г» дг

д*Ф г8 д2Ф , г»-г» дФ

(8.40)

(8.41)

дг8 г» dr2 ^ rs дг * Складывая правые части (8.39), (8.40) и (8.41), получим

2 <*Ф  1 д'О-Ф)          /о 4Q\

—дР 'Т1Г       ?         

Следовательно, волновое уравнение можно представить в сле­дующем виде:

(8.43)

Уравнение (8.43) по отношению к величине гФ является обычным одномерным волновым уравнением и его решение

17 Заказ М 499

257

относительно гФ должно совпадать по форме с решением волно­вого уравнения для плоских волн, т. е.

гФ =/l —(t +-£-).         (8.44)

Общее решение волнового уравнения есть совокупность волн: расходящейся от центра и имеющей потенциал скорости Ф1 =

=-j-f\[t—7") и сходящейся к центру (потенциал Ф2 =

—В отличие от решения для плоской волны, по­тенциал скорости в расходящейся симметрично-сферической волне убывает обратно пропорционально расстоянию г. Так как волновой поверхностью этих волн являются сферические поверх­ности радиусом r = ct (с — скорость звука), то убывание потен­циала в расходящейся волне обусловлено расширением фронта волны.

В практически важных задачах в большинстве случаев при­ходится встречаться только с расходящимися от излучателя сферическими волнами. Необходимость учета сходящейся к цен­тру бегущей волны возникает при решении ограниченного круга задач, например при рассмотрении отражения звука от границ заполненного сферического сосуда с пульсирующей сферой в центре.

Для расходящихся гармонических сферических волн потен­циал скорости можно записать в следующем виде:

ф =A_en»t-»)t           (845)

где А — некоторая постоянная, зависящая от параметров источ­ника.

Дифференцируя (8.45), найдем выражения для акустического давления и радиальной колебательной скорости:

р^М-^ЛИр-е"»"";       (8.46)

(-i±/t) Л*"*-*». (8.47)

Из (8.46) и (8.47) легко получить

_ (1 +jkr)p       р          р V1 -f tfr* у

гушр    рckr     J} рс kr А

Х ( V\+k*r> -J У 1 + k2r* ) = рс COS <t ■   (8,48>

где

kr         11

cos ©=—.       ; sin ф=                                   ; tg<p=-r—

т У1 +k'r2       т У l + ftV 6 т кг

Из (8.48) следует, что колебательная скорость отстает по фазе от звукового давления на угол ф, являющийся функцией k и расстояния г, а волновое сопротивление — комплексное. В дальней волновой зоне (&г>>1) cos<p-»-l и sinjp-vO, сфери­ческая волна приобретает свойства плоской волны

только давление и колебательная скорость изменяются обратно пропорционально г. В ближней зоне (kr<£L 1) costp-v&r, sinq>-»- -*-1, ф-»-я/2 и колебательная скорость отстает по фазе от давле­ния на 90°:

-1 —

' 2

„ _ ре 2

"2- р скг '

Давление в сферической волне в этом случае убывает обратно пропорционально г, а колебательная скорость — обратно пропор­ционально г2.

Цилиндрические волны. Рассмотрим случай, когда потенциал скоростей Ф зависит только от расстояния г от оси г в цилинд­рической системе координат и от времени t. Подобную ситуацию можно представить при излучении волн цилиндром с бесконечно вытянутой осью.

Совместив ось г декартовой системы координат с осью ци­линдра и учитывая, что Ф не зависит от г, можно записать опе­ратор Лапласа в виде

v          дх* ^ ду8 '

Имея в виду, что г = У*2+^2, и выражая частные производ­ные от Ф через г, аналогично тому как это делалось для сфери­ческой волны, получим радиально-симметричное волновое урав­нение в цилиндрических координатах

й'Ф „,/ д2Ф , 1 дФ dt*

 

Решение этого уравнения выражается через функции Бесселя или Ханкеля [9] и представляет собой совокупность расходя­щейся и сходящейся цилиндрических волн.

Для достаточно больших г, заменяя функцию Ханкеля ее асимптотическим выражением, можно получить следующую фор­мулу для прямой гармонической цилиндрической волны:

Ф-ТАУЖ 9 уг •           (8'5°)

Из (8.50) следует, что амплитуда симметрично-цилиндриче­ской волны в дальней зоне убывает обратно пропорционально

У г. По такому же закону убывают звуковое давление и коле­бательная скорость в цилиндрической волне.

17*

259

При анализе решений волнового уравнения для простейших типов волн среда предполагалась однородной, безграничной и не поглощающей энергии акустических волн при их распростране­нии. В океане такие условия в чистом виде реализуются редко. Степень приближения к отдельным из них зависит в основном от соотношений между длиной волны излучаемых колебаний и размерами источников акустических волн, расстоянием от из­лучателя до участка, на котором рассматривается поле, глубиной места и заглубления излучателя и т. д. В частном случае, когда длина волны много больше размеров излучателя, а поверхность и дно находятся на значительном расстоянии, волновые поверх­ности от такого источника являются полными сферами. Далее, хотя волна в реальных условиях никогда не является плоской, на больших удалениях от источника можно выделить небольшой участок, на котором она проявляет свойства плоской волны. В общем же применимость тех или иных допущений будет зави­сеть от рассматриваемых конкретных задач.

Кроме того, необходимо помнить, что, переходя к линейным уравнениям акустики от нелинейных уравнений гидродинамики и уравнения состояния, мы отбрасывали в них члены, содер­жащие квадраты и произведения величин первых порядков (дав­ления, скорости и сжатия). Ошибка в решениях при этом будет тем меньше, чем меньше число Маха (М = v]c) и чем меньше амплитуда звукового давления. Однако даже при малых М ошибка накапливается и звуковая волна по мере распростране­ния искажается по сравнению с волной, изображаемой решением линейного уравнения. При возбуждении волн конечной ампли­туды и ударных волн скорость распространения возмущения за­висит от давления, и она тем больше, чем выше давление. По­этому, чем дольше продолжается процесс, тем сильнее происхо­дит искажение формы волны по сравнению с решениями линейных уравнений акустики.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я