• 5

3.5. Баланс турбулентной энергии в океане

Общая кинетическая энергия турбулентного движения вклю­чает в себя кинетическую энергию среднего движения и кинети­ческую энергию пульсационного движения (часто называемую просто турбулентной энергией).

Для получения важных уравнений баланса кинетической энергии среднего и пульсационного движений используются уравнения движения Навье—Стокса (3.16) и Рейнольдса (3.18), которые для удобства записываются в следующем виде:

+ -Щ- (Puiuj+P&j        (3.72)

*Я+РлЬи-*и) =/v (3.73)

Скалярное умножение уравнения (3.72) на поле мгновенной

скорости ы(, а (3.73) на поле осредненной скорости щ, суммиро­вание затем каждого уравнения по всем компонентам с учетом

того, что плотность общей кинетической энергии 3== —pujiif,

а плотность кинетической энергии среднего движения Эв =

= —pu4uf, в итоге приведут к двум уравнениям:

ТГ+-317

-«Л-Р^ф-Ь^   <3.74,

- a^tj) =

                        5                     

3          4          S

Уравнения (3.74) и (3.75) представляют баланс полной ки­нетической энергии и кинетической энергии среднего движения соответственно.

Рассмотрим более подробно физический смысл слагаемых уравнения (3.75Л. Слагаемое 1 описывает локальное изменение плотности кинетической энергии среднего движения во времени. Слагаемое 2 означает изменение плотности потока энергии за счет: 1) непосредственного переноса Эа осредненным движением (втекание и вытекание энергии через- границы выделенного объ­ема турбулентного потока), 2) работы сил давления, 3) переноса

Uftij, обусловленного силами внутреннего молекулярного трения, 94

4) аналогичного ему переноса ри'} ии обязанного действию

турбулентной вязкости. Слагаемое 3 показывает изменение ве­личины Эа за счет работы объемных сил. Слагаемое 4 представ­ляет изменение кинетической энергии среднего движения за счет диссипации, вследствие чего часть этой энергии переходит во внутреннюю энергию. Последнее 5 слагаемое правой части, вхо­дящее в (3.75) со знаком минус, имеет смысл превращения энер­гии осредненного движения в энергию пульсационного.

В целом уравнение (3.75) показывает все основные факторы, обусловливающие изменение кинетической энергии осредненного движения произвольного объема воды турбулентного потока.

Уравнение баланса турбулентной энергии в океане полу­чается путем вычитания уравнения (3.75) из (3.74) с учетом, что

плотность энергии пульсационного движения Э-1=-^-ри'.и,<:

дЭ.

dt 1

м-

 

3          4          5

Физический смысл слагаемых, входящих в это уравнение, вы­является аналогично уравнению (3.75).

Смысл слагаемого 1 очевиден: локальное изменение плотно­сти энергии турбулентности. Слагаемое 2 есть не что иное, как плотность потока турбулентной энергии за счет переноса энер­гии осредненным течением, пульсациями давления, силами моле-

(           _ х„ , ( да, да', \2\

кулярной вязкости ^слагаемое p-^-tii IJ J и си­лами турбулентной вязкости (действие турбулентных пульса­ций— слагаемоеСлагаемое 3 означает изменение

плотности энергии турбулентности за счет работы пульсаций внешних сил. Слагаемое 4 — изменение плотности энергии тур­булентности за счет диссипации турбулентной энергии под дей­ствием вязкости. Слагаемое 5 вызывает особый интерес, так как оно характеризует взаимные превращения энергии осредненного и пульсационного движений.

Если А = —   поток энергии направлен от осред­

ненного движения к пульсационному, турбулентные пульсации

получают энергию от осредненного движения. Если Л<0, поток энергии направлен от пульсационного движения к осредненному; последнее получает энергию от турбулентных пульсаций.

В целом уравнение (3.76) характеризует все основные на­правления изменения плотности энергии турбулентности в выде­ленном объеме турбулентного потока.

Уравнение баланса энергии турбулентности дополняет урав­нение Рейнольдса, накладывая еще одно ограничение на стати­стические характеристики турбулентности.

Если в турбулентном потоке несжимаемой жидкости отсут­ствуют пульсации внешних сил и через границы выделенного объема нет притока энергии турбулентности, то трансформация энергии осредненного движения является единственным источ­ником энергии турбулентности внутри объема. В этом случае ве­личина А, вычисленная в пределах всего объема, должна быть положительной, в уравнении (3.75) перед последним слагаемым должен быть знак минус, а в уравнении (3.76) перед последним слагаемым должен быть знак плюс. Все это будет свидетельство­вать как раз о «перекачке» энергии от осредненного движения к пульсационному.

Как было показано, в турбулентных потоках в океане в ос­новном осуществляется именно такой перенос кинетической энергии: от среднего движения к крупномасштабным турбулент­ным вихрям и т. д. Однако возможны случаи, когда крупно- и среднемасштабные вихри в океане получают дополнительную энергию от внешних источников. В этом случае величина А мо­жет стать отрицательной и, согласно (3.76), будет происходить перенос энергии от турбулентных пульсаций к осредненному движению. Такое явление получило название «отрицательной вязкости»; оно обнаружено в мезомасштабных вихрях в Гольф­стриме.

В последнее время предпринято несколько попыток оценить по экспедиционным данным значения некоторых слагаемых в уравнении баланса энергии турбулентности для океана и тем самым выявить роль различных факторов в балансе энергии тур­булентности для процессов различных масштабов. Наибольший интерес представляет определение взаимных превращений энер­гии осредненного и пульсационного движений.

По данным продолжительных измерений скорости течений самописцами БПВ-2 на полигоне в Атлантическом океане в 1970 г. получено, что для ряда станций энергия турбулентно­сти увеличивается за счет энергии среднего движения (Л>0). Несколько других станций показали, что энергия турбулентных пульсаций увеличивает энергию среднего потока (Л<0). Вели­чина А имеет порядок Ю-0 кг/(м • с3).

Анализ других слагаемых в уравнении (3.76) показал, что слагаемые, характеризующие перенос турбулентной энергии ос- редненным течением, в среднем на два порядка меньше членов,

описывающих перенос энергии пульсациями скорости. Оценивае­мые члены имеют порядок Ю-7 кг/(м* с3). Сравнение этой вели­чины с величиной А показывает, что для процессов рассмотрен­ных масштабов перенос энергии турбулентности за счет турбу­лентной вязкости преобладает над обменом энергией между осредненным и пульсационным движениями.

Уравнение баланса энергии турбулентности (3.76) позволяет подробно рассмотреть динамическое влияние стратификации вод на турбулентные процессы в океане. Особенно легко это просле­дить на примере горизонтально однородной турбулентности, ха­рактерной для средних устойчивых течений в океане, у которых вертикальные градиенты всех свойств намного превышают го­ризонтальные. Это означает, что все слагаемые в (3.76) будут зависеть лишь от вертикальной координаты. Если в первом при­ближении пренебречь слагаемым 2, описывающим перенос энер­гии турбулентности (в связи с тем, что пространственный пере­нос энергии в однородной турбулентности играет малую роль), то уравнение баланса энергии турбулентности примет вид

^ =       (3.77)

где для краткости через е обозначена скорость диссипации энер­гии пульсационного движения (слагаемое 4 в уравнении (3.76)).

Уравнение (3.77) можно записать иначе:

1-й)-

(3.78)

Здесь

> • dui • I duo

Rf=-£- —(3.79)

р * > ои I ~ ; oui

есть безразмерное число, называемое динамическим числом Ричардсона. Физически оно определяет ту часть энергии тур­булентных пульсаций, которая расходуется (при устойчивой стратификации) или освобождается (при неустойчивой страти­фикации) за счет превращения потенциальной энергии в кинети­ческую. Если использовать градиентную гипотезу Буссинеска— Шмидта для вертикальных потоков плотности и импульса, урав­нение (3.76) и выражение (3.79) примут вид:

(3.80)

 

Rf=

S g V 9

69 дхл

 

гГ-ЯГ—sF7Rl»

где

Rl =

g

d? dxs

 

(3.81)

(3.82)

Щ-,о* v2

100 L 8C

есть обычное число Ричардсона, которое физически означает от­ношение архимедовых сил к силам инерции.

Введенные числа Rf и Ri явля­ются, как было показано, критерия­ми развития турбулентности в стра­тифицированном океане. Поскольку для мелкомасштабной турбулентно­сти направление турбулентных пото­ков количества движения противо­положно направлению градиента средней скорости, то члены, стоящие в скобках в уравнении баланса (3.78), всегда положительны, т. е.

 

90 Ri

Рис. 21. Зависимость нормиро­ванных дисперсий пульсации скорости течения от чисел Ри­чардсона [1].

' > dui ~ п

' ' dti, ^ п

Тогда из (3.78) совершенно очевид­но, что в устойчиво стратифициро­ванном океане:

дЭх

а)         для развивающейся турбулентности, ■ ^ ->0, необходимо Rfcl, a Ri<ScT;

б)         для затухающей турбулентности, • <0, необходимо Rf>l, a Ri > ScT;

в)         iv случае стационарной турбулентности, = 0, RfKp =

— 1, a RiHp — ScT.

Как видно, турбулентность в стратифицированном океане возможна, если RfKp<l. Надежных данных, определяющих зна­чение критического числа Ричардсона, в настоящее время еще hqt. Но, согласно теории гидродинамической устойчивости, те­чение стратифицированной жидкости оказывается устойчивым

относительно бесконечно малых возмущений, если во всех его точках Rf>0,25, следовательно, Rf^ ^ 0,25. Рисунок 21 на­глядно иллюстрирует влияние локальных условий стратифика­ции в океане на некоторые статистические характеристики тур­булентности. При этом зависимость нормированных дисперсий пульсаций скорости от локальных чисел Ричардсона аппрокси­мируется гиперболой вида у = а Ri-1 (а = 2,2• 10~4).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я