• 5

2.3. Механическая и внутренняя энергия термодинамической системы

При определении первого начала термодинамики в общем виде формулой (1.6) под энергией понималась совокупность всех ее форм. В простейшем случае эту совокупность можно пред­ставить арифметической суммой потенциальной «Ь»п, кинетиче­ской 3„, внутренней Эв и других видов энергии:

э=эа+эх+эя+ ...

Надо, однако, отметить, что разбиение энергии на некоторую сумму членов, соответствующую различным ее формам, вообще говоря, невозможно и имеет смысл только в определенных про­стейших случаях как некоторое приближение.

Предположим, что на систему не действуют магнитные, элек­трические, химические и другие, в данном случае второстепен­ные, силы. Выделяются только три вида энергии: потенциаль­ная— характеризующая положение термодинамической системы в поле гравитационной силы, кинетическая — зависящая от ско­рости движения системы, и внутренняя — определяющая состоя­ние системы. При этом формула (1.6) для закрытой системы может быть переписана следующим образом:

=dQ — dQ.    (2.32)

Если система открытая, то необходимо предусмотреть из­менение энергии за счет массообмена, т. е. добавить в правую

часть член     dS.

Изменение во времени энергии единичной массы жидкости определяется дифференцированием полученного выражения по t:

йЭи , ЛЭК , йЭл dQ dO ,( дх \ dS St           Г S      ' dt = ~~it        5Г + Г537,~гГ' Vм*

Уравнение, определяющее запасы кинетической энергии, т. е. связанной с движением воды, получается из уравнения движе­ния (2.22), в котором ради краткости записи все виды гравита­ционных ускорений обозначим символом G и сохраним члены, выраженные через вязкие напряжения т:

-g—G-2(»XV)—Lvp+_LdivT. (2.34)

Умножим это уравнение скалярно на pVrfv и проинтегрируем по всему объему v, занимаемому системой:

J4(-?")prfv=J0 ' Vprfv- J VP - Vrfv+Jv • divTrfv.

V         »          »          »

(2.35)

Ускорение Кориолиса при этом преобразовании пропадает из-за того, что скалярное произведение (и XV) • V равно нулю. Это свидетельствует о том, что так называемая «сила Корио­лиса» является фиктивной силой и изменений энергии не вызы­вает.

Левая часть уравнения (2.35) выражает изменение кинети­ческой энергии выделенного объема воды v. Она определяется тремя слагаемыми правой части уравнения. Первый член пред­ставляет собой изменение потенциальной энергии, если вспом­нить, что простейшее выражение изменения потенциальной энергии представляется формулой d9a = —gMdz, в которой М обозначает массу и знак минус использован из-за того, что вер­тикальная ось направлена от поверхности ко дну, а с глубиной запас потенциальной энергии уменьшается. Отнеся изменение Эп ко времени dt при постоянных g и М в единице объема, т. е. р, получим

            *-Vrf.   (2.36)

Но вертикальная скорость есть не что иное, как проекция вектора полной скорости потока V на вертикальную ось, по­этому

-ф        g-Vp.   (2.37)

Таким образом, можно записать

»          v

Два последних члена уравнения (2.35) преобразуются сле­дующим образом:

— J VP • Vcfv+ Jv ■ divTdv=           Jdiv(PV)rfv+

* i »

+ J Pdiv V • J div (т ■ V)rfv- J т div Vrfv. (2.38)

V         V         V

Первый и третий члены правой части полученного равенства представляют собой дивергенцию векторов в замкнутом объеме. В соответствии с теоремой Гаусса—Остроградского эти интег­ралы по объему могут быть преобразованы в интегралы по по­верхности. Одним из сомножителей подынтегрального выраже­ния во втором члене является дивергенция скорости, которая с помощью уравнения неразрывности заменяется изменением плотности массы системы. В результате этих преобразований равенство (2.38) приводится к виду

- J VP - Vfifv+ Jv ■ diVTfifv= — j[uPcos(0)+

»          »          П

-\-vP cos («Ту) cos (/O)] dn + J [(V ■ Tx) cos (if*) +

n

+(V • т,) cos («Ty)+(V ■ тг) cos (яГ«)] dn -

f P dp Г/ dV , _ av . dV\ .

- J —-2Г - J lT' • -ЯГ + т» • "ir+T* ' ~sr) dH-

Здесь в первый интеграл по поверхности входят проекции давления на нормаль к поверхности, а весь этот член интерпре­тируется как работа сил гидростатического давления, которая производится над системой за единицу времени. Второй инте­грал по поверхности зависит от вязких напряжений, действую­щих на поверхность системы, и выражает работу сил трения.

Последний член правой части полученного равенства также зависит от вязких напряжений, но интегрирование здесь про­исходит не по поверхности, а по объему, и интерпретируется это слагаемое как потеря кинетической энергии вследствие внутрен­него трения или как диссипация кинетической энергии во внут­реннюю.

Если обозначить ради краткости записи работу всех поверх­ностных сил через Gn со знаком, определяемым по первому члену, а диссипацию кинетической энергии через D:

Д-т " +т dv ' - dv

* дх ^ ЪУ ду ~ дг '

то уравнение (2.35) после всех преобразований примет вид

J 4- (3K+3n)rfv = - J -igL dn - J -f -g- J D Л. (2.39)

»          л          »          »

Нужно иметь в виду, что переход к интегралу по поверхно­сти произведен лишь для того, чтобы показать природу поверх­ностных сил. Для того чтобы перейти к дифференциальной форме уравнения изменения механической энергии, нужно снова первый член правой части представить в виде интеграла по объему, равного сумме первого и третьего членов правой части уравнения (2.38). После этого преобразования из-за произволь­ности выбранного объема можно отбросить интегрирование и получить уравнение изменения механической энергии в диффе­ренциальной форме:

            (2.40)

dt 1 dt dt p dt 4 '

Уравнение, описывающее изменение механической энергии, можно представить в несколько иной форме. Для этого нужно* иметь в виду, что изменение потенциальной энергии (2.36) свя­зано с вертикальными смещениями элементарного объема воды. В таком случае умноженное скалярно на V уравнение (2.34) после разделения индивидуальной производной на локальную и адвективную может быть записано

[v(p^r+psz)]+v" vP=v • dIvt-

Кроме того, третий член левой части этого выражения мо­жно представить в виде

V ■ VP= V • VP-PVV,

и тогда скорость изменения механической энергии на единицу объема выражается уравнением

+ +       =          (2.41)

V2

где Фа = V(P+p ——Hpgz) — поток энергии.

V2

В этом уравнении сумма Р+р—представляет собой общее

давление, состоящее из статического и динамического.

Выражение, определяющее изменение внутренней энергии, получается как разность полной энергии (2.33) и механической (2.40):

" d3* — dQ Л- р I п I С dS _ dQ i dOu г242ч df ~dt """j» 2r         55"J4 "dt        dT + ST-

Если работа над системой осуществляется только поверх­ностными силами, то G = Gn. Поэтому два последних слагае­мых сокращаются.

Изменение солености системы может быть заменено через дивергенцию диффузионного потока солей =—xsp v5. В результате получается одно из фундаментальных уравнений термодинамики, выражающее изменение внутренней энергии си­стемы:

Это уравнение является одной из форм первого начала тер­модинамики. Оно гласит, что изменение внутренней энергии еди­ничной массы воды за единицу времени складывается из при­тока энергии к ней посредством теплопередачи, работы сжатия или расширения, диссипации кинетической энергии из-за трения и притока энергии, обусловленной потоком солей.

Диссипацию кинетической энергии удобнее выражать не че­рез напряжения, а через более легко измеряемые градиенты скорости, пользуясь' соотношениями между этими характерис­тиками (2.21):

 

(2.44)

Поскольку движение жидкости происходит с деформацией объема, при котором составляющие скорости отличны от нуля, то оба слагаемых выражения (2.44) всегда положительны. При этом первый член, как видно из самой формулы, всегда больше второго. Следовательно, D/p — величина положительная, т. е. при всяком движении жидкости часть кинетической энергии дис- сипирует и преобразуется во внутреннюю.

В общем балансе внутренней энергии этот источник играет малую роль. Если сравнивать порядки величин членов уравне­ния (2.43), то даже для практически несжимаемого океана вклад диссипации кинетической энергии составляет в лучшем случае несколько процентов от эффекта сжатия. Поэтому при расчетах изменений внутренней энергии океана диссипацию, как правило, во внимание не принимают. Но при рассмотрении ба­ланса кинетической энергии, особенно в пограничных слоях, где трение велико, эти потери энергии движения необходимо учи­тывать, так как именно диссипация препятствует беспредель­ному росту кинетической энергии.

При имеющих место в Мировом океане потоках солей по­следний член выражения (2.43) еще меньше диссипативного. Поэтому его также во внимание не принимают.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я