РАБОТА № 19
ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ И КОСМИЧЕСКИЕ АППАРАТЫ (КА)
Цель работы. Изучение теоретических основ запуска искусственных небесных тел.
Пособия: Астрономический календарь — постоянная часть или Справочник любителя астрономии; таблицы тригонометрических функций; таблицы логарифмов; логарифмическая линейка или арифмометр.
Литература: [1], глава VI, § 53, 54, 63, 64; [2], глава II, § 59, 60; Астрономический календарь — постоянная часть, § 20, Физматгиз, 1962.
Дополнительная: [10], § 17—20; [20], глава 2, § 1, 3, глава 4, § 1, S, глава 7, § 1, 6, 7, глава 9, § 1—4, глава 14, § 1, 2, 7, глава 15, § 1, 3, 5; [21], глава 7—11.
Задачи: [3], № 383, 657, 677, 678, 681—685, 725; [4], № 128—132, 135, 136, 140—161.
Теоретической основой запуска и движения искусственных спутников является ограниченная задача двух тел, а движения космических аппаратов — ограниченная задача трех и более тел, поскольку массы т искусственных небесных тел ничтожно малы в сравнении с массой М Земли, Луны, планет или Солнца. Поэтому для искусственных небесных тел интеграл энергии имеет вид
где М — масса небесного тела, с которого запущено искусственное небесное тело или вокруг которого оно движется.
Чтобы создать искусственное небесное тело, ему необходимо при выводе на орбиту сообщить некоторую начальную скорость vH (скорость запуска), величина и направление которой определяется техническими возможностями и задачами запуска. Технически это осуществляется с помощью многоступенчатых ракет, последняя ступень которой сообщает искусственному небесному телу требуемую скорость запуска vH и тем самым выводит его на орбиту на некоторой высоте Ан над поверхностью естественного небесного тела. Высота запуска hH зависит от плотности слоев атмосферы, окружающей небесное тело, и, в частности, для Земли всегда /гн>Л60 км.
При прочих равных условиях наименьшие значения величины начальной скорости vH получаются при ее направлении, перпендикулярном к радиусу небесного тела. Поэтому, как правило, искусственные небесные тела выводятся на орбиту в горизонтальном направлении. Именно эти условия запуска и рассматриваются в дальнейшем.
Величина скорости запуска vH зависит от поставленной задачи. Если нужно создать искусственный спутник с круговой орбитой, то ему на расстоянии г от центра небесного тела должна быть сообщена скорость
где va— круговая скорость, при которой из уравнения (1) получается г=а, т. е. орбита искусственного спутника будет круговой (рис. 49).
(1)
При необходимости запуска искусственного спутника по эллиптической орбите с большой полуосью а скорость запуска vH определяется неравенством
где vn— параболическая скорость, причем ун вычисляется из уравнения (1) по заданным значениям г и а.
vh
Космические аппараты, предназначенные для исследования далеких областей космического пространства, должны преодолеть притяжение небесного тела, с которого ой и запущены, а это возможно только в том случае, если сообщенная им скорость запуска
При подстановке в уравнение (1) значения
получим а=сю, т. е. орбитой космического аппарата буде-f разомкнутая кривая второго порядка—парабола. При vR>vn движение космического аппарата происходит по гиперболе.
Если считать, что искусственные спутники и космические аппараты запускаются непосредственно с поверхности небесного тела с массой М и радиусом R, то в формулах (2) и (3) следует положить
r = R
и, в частности, для Земли расчетный радиус R=6370 км. Вычисленные для поверхности небесного тела (r=R) значения круговой va и
параболической vn скорости называются в технике, соответственно, первой и второй космической скоростью, причем параболическая скорость vn часто называется критической скоростью или скоростью освобождения.
Значения va и vn для поверхности небесного тела (r=R), которые мы обозначим, соответственно, через wa и wn, легко определяются через ускорение силы тяжести g на поверхности небесного тела. В самом деле, поскольку из закона всемирного тяготения следует
С М
ТО
и, подставляя выражение (4) в формулы (2) и (3) при r=R, получим
шв - VgR (5)
и
= V2gR= wa У 2. (6)
В действительности же, как уже указывалось ранее, скорость запуска vH сообщается искусственному небесному телу на некоторой высоте hH над поверхностью небесного тела, поэтому, строго говоря, при расчетах скорости запуска следует полагать
и, согласно выражениям (2), (4) и (5), круговая скорость
= = «,„ YJ= «,„ (7)
и параболическая скорость
V. - 1/2731 - »п |/Ж _ , «8,
причем всегда vn=vayr2.
Скорость космических тел всегда выражается в км/сек, радиусы небесных тел Солнечной системы — либо в км, либо в радиусах Земли, массы этих же тел — в массах Земли, а расстояния до них — в км, в радиусах Земли и в астрономических единицах. Поэтому при вычислении скорости, во избежание ошибочных результатов, необходимо строго придерживаться определенной системы единиц и выбирать соответствующее значение гравитационной постоянной /. Так, при выражении масс М небесных тел в массах Земли, расстояний г и а — в радиусах Земли, времени t — в секундах, а скорости v — в км/сек, значение /=62,50, а ]/"/= 7,91 (точнее, ]// =7,906); поэтому уравнение (1) примет вид
v == 7,91 j/^,
(9)
откуда
Va — 7.91
(10)
УИ_ г
(11>
Если же М выражена в массах Земли, а и г — в км, t — в секундах и v — в км!сек, то
f = 398 400 (точнее f = 398 350) и у7 = 631,1,
поэтому
t»e = 631,1 ]/-
Уп = 631,1/^-= 892,5 у.
м
(12) (13)
(И)
Искусственные спутники Земли, как правило, выводятся на эллиптические орбиты, общим фокусом которых является центр Земли С. Наинизшая точка П орбиты спутника над поверхностью Земли называется перигеем (рис. 50), а наивысшая точка А — апогеем. По высоте hq перигея и высоте hQ апогея над земной поверхностью легко вычислить большую полуось а орбиты, перигей- ное расстояние q, апогейное расстояние Q и эксцентриситет е орбиты.
Аналогично подсчитываются параметры орбиты искусственного спутника любого естественного небесного тела, но в этих случаях ближайшие и наиболее удаленные от небесного тела точки орбиты искусственного спутника получают несколько иные наименования, в зависимости от названия небесного тела. Так, если искусственный спутник обращается вокруг Луны, то эти точки называются, соответственно, периселением (Я) и апоселением (А), происходящим от греческого названия Луны — Селена; для спутников Марса они называются периарием и апоарием, от греческого названия Марса — Арес, и т. д.
Период обращения Т как естественных, так и искусственных спутников небесных тел связан с большой полуосью а орбиты спутника третьим законом Кеплера
спуп
Рис. 50
где М — масса небесного тела, т — масса спутника и / — гравитационная постоянная.
Ограниченная задача двух тел позволяет придать третьему закону Кеплера вид
(16)
о3 / v 7
Поскольку для искусственных спутников всегда а задается в километрах, а Т — в минутах и, кроме того, массы М естественных тел планетной системы проще всего выражать в массах Земли, то положив /=398 350 и переведя Т в минуты, получим
Т2 = 275,25 • Ю-10— (17)
М v '
или
Т= 16,59 • 10~5а Y~Sr- (18)
При решении обратной задачи
а = 331,2]/"МТ2, (19)
где по-прежнему а — в километрах, Т — в минутах и М — в массах Земли.
Очевидно, для искусственных спутников Земли следует в формулах (17), (18) и (19) положить М = 1.
Формула (17) позволяет вычислить массу М небесного тела в массах Земли по известной большой полуоси а и периоду обращения Т его спутника. Если же имеется необходимость вычислить массу небесного тела в килограммах, то формула (17) примет вид
М= 164,46 • 1015-^-, (20)
где а — в километрах и Т — в минутах.
Так как искусственные спутники Земли выводятся на орбиту, как правило в перигее, то скорость запуска спутника vH может быть принята за скорость vq в перигее и вычислена по интегралу энергии (9) или (12), подстановкой в него r=q. Это же уравнение позволяет вычислить скорость спутника v в любой точке его орбиты на расстоянии г от центра Земли, но проще воспользоваться значением круговой скорости va9 вычисленной по формуле (10) или (13) при г=а, а затем разделить равенство (1) на
2 с М
Va = f
а а
и получить
Положив в формуле (21) r=q или r=Q, получим соответственно vq или yQ, т. е. скорость искусственного спутника в перигее и в апогее его орбиты.
Расчет орбит космических аппаратов значительно сложнее расчета орбит искусственных спутников, поскольку задача двух тел опре^- деляет только нижний предел начальной скорости vHJ необходимой
причем значение ун>-уп и VH<Vn параболической скорости относительно Солнца на расстоянии 1 а. е. от него.
По мере удаления от Земли скорость космического аппарата v относительно Земли (геоцентрическая скорость) постепенно уменьшается за счет земного притяжения, что вызывает уменьшение его скорости V относительно Солнца (гелиоцентрической скорости); поэтому в поле тяготения Солнца аппарат движется по эллиптической орбите с постепенно уменьшающимся эксцентриситетом.
Рассмотрим изменение геоцентрической скорости космического аппарата. При запуске аппарата с Земли его v =vH и кинетическая энергия относительно Земли
для вывода аппарата на орбиту, а сама орбита и скорость движения космического аппарата определяется суммарным гравитационным воздействием небесных тел, в поле тяготения которых он движется (ограниченная задача трех и более тел).
Рассмотрим в упрощенном виде некоторые случаи движения космических аппаратов.
А Солнцу
Рис. 51
Примем, что запуск космического аппарата произведен к Луне в направлении орбитального движения Земли (рис. 51) в день, когда фаза Луны близка к последней четверти. При таком запуске начальная скорость аппарата VH относительно Солнца складывается из его скорости запуска vH относительно Земли и из орбитальной скорости Земли V$, т. е.
Поле тяготения Земли, направленное против движения космического аппарата, уменьшает его скорость v, а поле тяготения Луны, направленное по движению аппарата, наоборот, увеличивает эту скорость. В результате скорость аппарата меняется совместным действием полей тяготения обоих небесных тел, но с целью значительного упрощения задачи мы будем рассматривать ее в рамках ограниченной задачи двух тел. Для этого пренебрежем действием на аппарат лунного притяжения вплоть до «точки равного притяжения», т. е. той точки пространства между Землей и Луной, в которой гравитационные ускорения полей тяготения обоих небесных тел численно равны между собой. Обозначив массы Земли и Луны соответственно через Мх и М2, их радиусы — через Ri и R2, расстояние между этими телами — через г0, а расстояния от них точки равного притяжения — через Pi и р2=го—Рь получим
М1 М2
f—± = f — (23)
Pi (Го — Pi)2
и помня, что М2«, а г0«60/?4, найдем р4 и р2 в радиусах Земли.
В точке равного притяжения скорость космического аппарата уменьшается до минимума vm, причем изменение кинетической энергии аппарата
АЕ = Е» — Ет =
mvl
сопровождается изменением АП его потенциальной энергии относительно центра Земли, которая в момент старта аппарата была
ТТ с Мг
Пн=—т/
Ri
а в точке равного притяжения стала
ТТ с Мг
Pi
а так как АЕ = —АП, то
„2
mvrn
mfMt
Ri Pi
—). (24)
откуда
V2 ==v2 — 2fM<(-
Ri Pi
Полагая 1, Ri=l и принимая поэтому /=62,50, получим простое выражение для минимальной скорости vm космического аппарата.
После прохождения аппаратом точки равного притяжения лунное поле тяготения действует на него сильнее земного, и поэтому по мере приближения аппарата к Луне его скорость снова возрастает. Теперь для простоты расчетов будем считать действие Земли на космический
(планета, tj
аппарат незначительным (хотя это и не совсем верно) и учитывать только действие Луны. Тогда конечная скорость vK сближения аппарата с Луной найдется из аналогичного равенства
v^vl+VM^-L). (25,
Расчет орбит для запуска космических аппаратов к планетам Солнечной системы также очень сложен и требует учета возмущений.
В космическом пространстве такой аппарат, подобно телам Солнечной системы, будет двигаться под действием силы солнечного тяготения, и поэтому его простейшая орбита может быть представлена эллипсом, в одном из фокусов которого находится Солнце. Начальная сткорость VH космического аппарата относительно Солнца определяется условиями его полета и различна при запуске к верхним и нижним планетам, орбиты которых в первом приближении можно считать круговыми.
При запуске к верхним планетам перигельное рас-
Рис. 52
стояние космического аппарата
а афелийное расстояние
где а0 и ai— соответственно средние расстояния Земли и планеты от Солнца (рис. 52), выраженные в астрономических единицах (а. е.). Из этих соображений легко подсчитать величину большой полуоси а (в а. е.) орбиты космического аппарата и вычислить период Т его обращения вокруг Солнца в годах, который затем, при необходимости, перевести в месяцы или сутки. Очевидно, что
даст продолжительность полета аппарата от Земли до планеты.
Скорость Vq в перигелии и^ в афелии вычисляется из интеграла энергии
"■-Nt-T)-
или
V = 29,76 j/JL_J_,
(27)
где Mq— масса Солнца принята за единицу, г я а выражаются в астрономических единицах, а V — в км/сек.
Технически проще сначала найти по формуле (27) круговую скорость космического аппарата Va (при г=а), а затем, разделив равенство (27) на выражение для Va, получить формулу, аналогичную (21), по которой уже вычислять Vq и Vq .
Следует иметь в виду, что вычисленное значение афелийной скорости Vq будет отличаться от ее действительного значения за счет возмущающего действия на космический аппарат главным образом со стороны Земли, Луны и планеты, к которой аппарат направлен. Поэтому вычисленное значение V0 правильнее назвать условной скоростью аппарата в афелии.
Поскольку запуск космического аппарата производится в перигелии его орбиты, то его начальная скорость относительно Солнца может быть принята VH=VQ, откуда нетрудно найти скорость аппарата уд относительно Земли в направлении ее движения, называемую дополнительной скоростью:
v* = VH-V9, (28)
где — орбитальная скорость Земли (Уе=29,76 км/секж 29 >8 км/сек).
Однако значение дополнительной скорости уд часто оказывается меньшим скорости освобождения с Земли vn= 11,18 км!сек, и поэтому уд не может служить начальной скоростью запуска ун космического аппарата с Земли. Для расчета величины начальной скорости ун обратимся снова к интегралу энергии для поля земного тяготения
"-'"(т-т)-
который напишем в виде
у2 = + const, (29)
где М — масса Земли.
Так как можно считать, что запуск космического аппарата производится с поверхности Земли при r=R> то, согласно выражению (29),
V2H = + const. (30)
С другой стороны, если бы земное притяжение отсутствовало, то дополнительной скорости уд было бы достаточно, чтобы аппарат ушел от Земли на расстояние г->оо, т. е., согласно (29),
Уд =- + const = const. (31)
Подставляя значение постоянной из формулы (31) в выражение
(30) и помня, что = v2n , получим начальную скорость запуска R
космического аппарата
»- = У v2n + v\ (32)
Подобным же образом выбирается простейшая орбита для запуска космического аппарата к нижним планетам, но техническое обеспечение начальной скорости VH здесь более затруднено тем обстоятельством, что эта скорость должна быть меньше орбитальной скорости Земли У®, так как при VH = V® аппарат будет обращаться вокруг Солнца по земной орбите, а при VH>Vф— за орбитой Земли. В то же время скорость запуска vH с Земли опять-таки должна быть не ниже уп, иначе аппарат станет спутником Земли. Поскольку в этом случае аппарат запускается в афелии своей орбиты, то Vh=Vq, и тогда
Уд = lze - 17н. (33)
т. е. должна быть направлена навстречу орбитальному движению Земли. Скорость запуска аппарата с Земли вычисляется по формуле (32).
Зная продолжительность полета t космического аппарата к планете, можно определить конфигурации планеты в моменты запуска и t2 сближения аппарата с планетой. Пусть в момент ti гелиоцентрическая долгота Земли, находящейся в точке Я, равна /0, а гелиоцентрическая долгота планеты Р равна I (см. рис. 52). Через промежуток времени t=t2—Земля придет в точку S, а планета — в точку Л, диаметрально противоположную Я, ив момент t2 гелиоцентрическая долгота Земли будет
l'0 = l0 + n0ty (34)
а гелиоцентрическая долгота планеты
/' = l + nit= 180° + 10У (35)
где п0 и rii— соответственно средние угловые движения Земли и планеты за единицу времени, в которых выражен интервал t.
Легко видеть, что разность гелиоцентрических долгот планеты и Земли в момент ti равна:
1 — 10= 180° —п^у (36)
а в момент t2
1'—Г0= 180 ° — n0t. (37)
Из треугольника РСП находим, что для момента конфигурация планеты
ДХ4 = 180° — (/ — /0) — а, (38)
причем sin ДХ4 = -^-sina. (39)
а0
Выразив из формулы (38)
sin а = sin [(/ — /0) + AXJ
и подставив это выражение в формулу (39), после простых преобразований получим
ctg Дл4 = ^ cosec (/ - /0) - ctg (/ - /0), (40)
откуда находится конфигурация ДА^.
Если же для того же момента необходимо вычислить геоцентрическое расстояние планеты
Pi = Yа1 + —2а0а4 • cos (/ — /0), (41)
то конфигурацию планеты проще вычислить по формуле
sin ДХ4 = • sin (/ — /0). (42)
Pi
Аналогично вычисляется элонгация планеты ДХ2=/^А5С и ее геоцентрическое расстояние р2 для момента tz.
Все вычисления в данной работе рекомендуется проводить на логарифмической линейке с точностью: а и г — до 0,01 а. е., v — до 0,1 км!сек, I — до 1° и / — до 5 суток.
ЗАДАНИЕ
1*. Вычислить круговую и параболическую скорость на поверхности Солнца, Луны, Земли и планет: 1) Марса; 2) Юпитера; 3) Сатурна; 4) Урана; 5) Нептуна; 6) Венеры; 7) Меркурия.
2*. Вычислить круговую и параболическую скорость на расстояниях, равных 3,0, 8,0 и 35,0 радиуса от поверхности одного из этих тел.
3*. Сравнить между собой вычисленные в пунктах 1 и 2 величины и сделать вывод о закономерности их изменения с расстоянием от центра небесного тела.
4. Определить период обращения и орбитальную скорость искусственного спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте: 1) 630 км; 2) 2630 км; 3) 4630 км; 4) 6630 км; 5) 8630 км; 6) 10 630 км; 7) 12 630 км; 8) 14 630 км.
5. По общим результатам пункта 4 построить на одном чертеже графики изменения периода обращения и скорости искусственного спутника Земли в зависимости от радиуса его орбиты и, сопоставив графики с результатами пункта 3, сформулировать вывод о причине изменения скорости и периода обращения с расстоянием.
6. Вычислить высоту над земной поверхностью, угловую и линейную скорость стационарного искусственного спутника Земли, об
ращающегося с периодом в 1 звездные сутки в плоскости земного экватора по круговой орбите.
7. Установить условия видимости искусственного спутника Земли, обращающегося в плоскости земного экватора по круговой орбите, в направлении:
1) с запада к востоку, с периодом в 1 звездные сутки;
2) с запада к востоку, с периодом в 1 средние сутки;
3) с востока к западу, с периодом в 1 звездные сутки;
4) с востока к западу, с периодом в 1 средние сутки.
8. По общим результатам пунктов 6 и 7 сформулировать вывод о причине различных условий видимости искусственных спутников Земли, движущихся по сходным орбитам.
9. Определить большую полуось и эксцентриситет орбиты, период обращения, перигейное и апогейное расстояние, скорость запуска, скорость в перигее и апогее искусственного спутника Земли, высота полета которого меняется в пределах:
1) от 240 км до 613 км (Космос-23, 13 декабря 1963 г.);
2) от 196 км до 523 км (Космос-39, 18 августа 1964 г. );
3) от 232 км до 1052 км (Космос-42, 22 августа 1964 г.);
4) от 227 км до 1192 км (Космос-53, 30 января 1965 г.);
5) от 259 км до 1720 км (Космос-54, 20 февраля 1965 г.);
6) от 257 км до 1676 км (Космос-63, 15 марта 1965 г.);
7) от 229 км до 1154 км (Космос-70, 2 июля 1965 г.);
8) от 207 км до 521 км (Космос-95, 4 ноября 1965 г.).
10*. По высоте перигея и периоду обращения вычислить большую полуось и эксцентриситет орбиты, высоту апогея, скорость в перигее, скорость в апогее и скорость запуска:
1) советского корабля-спутника «Восток» (12 апреля 1961 г.), hq = 181 км, Т= Г29м,1;
2) советского корабля-спутника «Восход-2» (18 марта 1965 г.), hq = m км, Т=Г30,М9;
3) первого советского искусственного спутника Земли (4 октября
1957 г.), hq =228 км, Т= Г36м,2;
4) третьего советского искусственного спутника Земли (15 мая
1958 г.), /г,-226 км, Т= Г46м,0;
5) советской научной космической станции «Электрон-3» (И июля 1964 г.), hq= 405 км, Т=2Ч8\2;
6) советской научной космической станции «Электрон-4» (11 июля
1964 г.), hq =459 км, Т=2Г53М,9;
7) советской научной космической станции «Протон-2» (2 ноября
1965 г.), /г,-191 км, Г=Г32М,6;
8) советского второго спутника радиосвязи «Молния-1» (14 октября 1965 г.), hq =500 км, Т= 1 Г59м,0.
И. Определить период обращения и орбитальную скорость искусственного спутника, обращающегося на высоте 500 км над поверхностью: 1) Луны; 2) Меркурия; 3) Венеры; 4) Земли; 5) Марса; 6) Юпитера; 7) Сатурна; 8) Урана.
12. По общим результатам пунктов 1, 2, 3 и 11 сформулировать вывод о причинах различия периодов и скорости обращения искус
ственных спутников при одинаковой их высоте над поверхностью различных небесных тел.
13. Вычислить период обращения и большую полуось орбиты искусственного спутника, обращающегося со средней скоростью в 3 км/сек вокруг:
1) Юпитера; 2) Земли; 3) Марса; 4) Венеры; 5) Меркурия; 6) Урана; 7) Сатурна; 8) Нептуна.
14*. Вычислить скорость запуска, пределы высоты и пределы орбитальной скорости корабля-спутника, обращающегося с периодом в 4Ч по эллиптической орбите с эксцентриситетом 0,150 вокруг:
1) Луны; 2) Меркурия; 3) Венеры; 4) Земли; 5) Марса; 6) Юпитера; 7) Сатурна; 8) Урана.
15*. Из анализа общих результатов пунктов 13 и 14 сформулировать вывод о причинах различных условий запуска искусственных спутников на орбиты со сходными параметрами вокруг естественных небесных тел.
16. По параметрам орбиты искусственного небесного тела, указанного в пункте 10, вычислить массу Земли в кг.
17*. Определить массу Луны в массах Земли и в кг по параметрам орбиты искусственного спутника Луны:
1) первый спутник, Луна-10 (3 апреля 1966 г.): Я = 350 кму hQ =1017 км у Т=2Ч58М15С;
2) первый спутник, Луна-10 (сведения на 3 мая 1966 г.): hq=361 км, Hq =1007 км, Т=2Ч58М16С;
3) второй спутник, Луна-11 (28 августа 1966 г.): h =160 км, /iq=1200 км, Т=2Ч57М39С;
4) третий спутник Луна-12 (25 октября 1966 г.): h = 100 км, Hq =1740 км, Т=Зч25м00с;
5) космический аппарат Луна-16 (17 сентября 1970 г.): hg=hQ= 110 км, Т=Г58М36С;
6) космический аппарат Луна-16 (19 сентября 1970 г.): h = 15 км, /iQ =106 км, Т= Г51м12с.
18. Вычислить минимальную геоцентрическую скорость движения космического аппарата, направленного к Луне, и скорость его падения на лунную поверхность, принимая скорость запуска с Земли равной 11,3 км!сек.
19*. Вычислить большую полуось и эксцентриситет простейшей орбиты, а также продолжительность полета космического аппарата от Земли до: 1) Марса; 2) Венеры; 3) Юпитера; 4) Меркурия; 5) Сатурна; 6) Урана; 7) Нептуна; 8) Плутона.
20*. Вычислить для этого же космического аппарата начальную скорость его запуска с Земли и условную скорость в афелии.
21*. Определить геоцентрические конфигурации, в которых должна находиться планета в день старта космического аппарата с Земли и в день его сближения с той же планетой.
22*. По общим результатам пунктов 19—21 сформулировать выводы о зависимости подходящих конфигураций планет и эксцентриситета простейшей орбиты космического аппарата от геоцентрического расстояния планет.
Отчет о работе № 19
Дата выполнения работы:
|
Небесное тело |
м |
R |
М R |
i/a r R |
wa |
wn |
|
Земля Солнце Луна Планета |
|
|
|
|
|
|
2. Тело
М =
R = wa = Формулы
|
г |
v~r |
va |
vn |
|
|
|
|
|
3. Вывод:
4. R =
у а =
У а —
Т =
а —
5. Вывод:
Чертеж прилагается.
6. Т = а =
Г2 = Я = у,
h =
При использовании логарифмов:
Формулы
Г = igT =
2
— lgr =
3 ё
lg 331,2 = lga =
а :
я:
/г =
lg 360 = lg Т=
lg со =
lg 631,1
4va =
Va =
9.
Спутник T Земля T0 Разность AT
Вывод: R =
2 R =
hq = hq =
2 a :
a =
У~а =
а У a = T =
Я =
a —
Условия
t>H = У о =
10. Спутник
Т : Т2 --
Ут*= <2 : hq : Я = <7:
11. Небесное тело
R =
h =,
12. Вывод:
13. Небесное тело.
М = Я =
14. Небесное тело М = R —
2 а = <7 —
Q =
Я =
=
Т2 — МТ2 =
3
Спутник
е = Т =
а =
1-е =
Я _ а
е = У~а =
я
м =
а
М ^
Г =
м
а
Спутник
- -/ж-
Я R
hn ■■
1 + е = Q =
Д =
=
Г =
м
а
/¥
_0_ 9
У-
1 + g
<7
15. Вывод:
16. Искусственное небесное тело
Земля УИ ==
а = а3 =
ТТ2 =
у 2
17. Искусственный спутник Луны
а = а3
а3 =
2/?= Г =
2а = Г2 —
Л3 =
j-2
Луна Я =
М = (в массах Земли) М = кг
18.
Земля Луна
Космический аппарат
Ri =
м1 = f =
Pi = 2 fMx =
R2 =
г о — Р 2 = 2//VI2 =
R1
Pi £
Pi
2/Mi(7r-T-| =
Pi
R2 1
Р2
Р2
R2 Ра/
0К :
19 и 20. Земля, а0 = Космический аппарат
д =
Q =
2я =
У а =
Г =
t :
t :
J_
а
е =
Планета
Vh =
v® =
V/, =
ах =
Уп =
"1 =
Vн =
Чертеж прилагается
21. Земля t =
Планета
=
«1 = «1
22. Выводы:
а0
(запуск)
nit l-k cos ее (/—/0)
а0
cos ее (/—/0) :
fli
ctg (/ - /0) CtgA^l :
(сближение)
qp «1
)sec =
cosec [lr—loy_
ctg (/'-0 =
ctg M2 =
ДХ2 =