• 5

РАБОТА №15

ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА И КОНФИГУРАЦИИ ПЛАНЕТ

Цель работы. Изучение закономерностей в движении пла­нет и вычисление их конфигураций.

Пособия: Астрономический календарь — постоянная часть или Справоч­ник любителя астрономии; Астрономический календарь-ежегодник; Малый звездный атлас А. А. Михайлова; таблицы логарифмов; таблицы тригонометри­ческих функций; логарифмическая линейка или арифмометр.

Литература: [1], глава IV, § 26—32; [2], глава II, § 34—40, глава III, § 61—64, 66.

Дополнительная: [8], глава I, § 2, 3, глава III, § 3—5, 10, 11; [9], глава первая, § 6, 7, глава вторая, § 7—11; [10], § 2.

Задачи: [3], № 386, 387, 390, 392, 393, 396, 398, 401, 402, 406, 408, 409, 412, 418, 426; [4], № 51—83, 197, 198.

Движение планет вокруг Солнца описывается законами Кеплера. Величина большой полуоси а орбиты планеты является средним рас­стоянием планеты от Солнца. Благодаря незначительным эксцентри­ситетам е и наклонениям i орбит больших планет, можно при решении многих задач полагать эти орбиты круговыми, имеющими радиус а и лежащими практически в одной плоскости — в плоскости эклиптики. Исключением являются орбиты планет Меркурия и Плутона, но и к ним часто применимо это допущение.

Угловая и линейная скорость планеты на орбите периодически изменяются в соответствии со вторым законом Кеплера, и их средние значения могут быть подсчитаны по среднему расстоянию а планеты от Солнца. В самом деле, средняя суточная угловая скорость планеты, называемая средним угловым движением планеты,

где Т — звездный (сидерический) период обращения       планеты вокруг Солнца, выраженный в средних сутках. Очевидно, для Земли

360°    /ох

п0 = -zr- >      (2)

и тогда

л = "о >           (3)

причем в формуле (3) Т и Т0 могут быть выражены либо в сутках, либо в годах, но обязательно в одинаковых единицах времени.

Подставляя в формулу (3) отношение -у , найденное из третьего

закона Кеплера, получим п в функции среднего расстояния а планеты от Солнца.

Сравнивая среднюю линейную скорость движения планеты по ор­бите

2 па

со средней скоростью движения Земли

2ка0

Vn =

и используя третий закон Кеплера, найдем зависимость va от а.

Формулы для п и va значительно упрощаются, если а выразить в а. е. и принять для Земли Г и и0^30 км/сек.

Звездный Т и синодический S периоды обращения планеты связаны между собой уравнением синодического движения, и проще всего вычислять эти периоды в годах, полагая для Земли ее звездйый период обращения равным 1 (один год). В случае необходимости найденные значения S и Т всегда могут быть выражены в сутках. Точно так же, третий закон Кеплера принимает наиболее простой вид при выраже­нии Т в годах и а в а. е.

п

 

Взаимное расположение планет легко устанавливается по их гелио­центрическим эклиптическим сферическим координатам, значения которых на различные дни года публикуются в астрономических ка­лендарях-ежегодниках, в таблице под названием «гелиоцентрические долготы планет». Центром этой системы координат является центр

Солнца (рис. 34), а основным кругом — эклиптика, полюсы которой Я и Я' отстоят от нее на 909. Большие круги, проведенные через по­люсы эклиптики, называются кругами широты, и по ним отчитывает­ся от эклиптики гелиоцентрическая широта которая считается положительной в северном эклиптическом полушарии и отрицательной в южном эклиптическом полушарии небесной сферы. Гелиоцентри­ческая долгота I отсчитывается по эклиптике от точки весеннего рав­ноденствия 7 против часовой стрелки до основания круга широты

светила и имеет значения в ^^   пределах от 0Р до 360°.

^х        Из-за малого наклонения

/                       у X.     орбит больших планет к

/           ^^ч \ плоскости эклиптики (за иск-

/ /Венера                               \ \Mapc лючением орбиты планеты

Плутона) эти планеты всегда находятся вблизи эклиптики, и в первом приближении мо­жно считать их гелиоцентри­ческую широту Ь « 0°, опре­деляя положение планеты относительно Солнца лишь одной ее гелиоцентрической долготой /. В этом случае расположение планет относи­тельно Солнца изображается на чертеже, плоскость кото­рого принимается за плос­кость эклиптики (рис. 35) и на котором одно из направлений принимается за направле­ние на точку весеннего равноденствия Т. Если задан день года, в который гелиоцентрическая долгота Земли /0 имеет определенное значение, то сначала следует отметить на чертеже расположение Земли, а затем уже наносить на этот же чертеж расположения планет либо по их известной гелиоцентрической долготе Z, либо по заданным конфигурациям. Гелиоцентрическая долгота Земли /0 в определенные дни года может быть также найдена по геоцентрической долготе Солнца Х0 в эти же дни, так как если построить подобную систему эклиптических координат с началом в центре Земли, то всегда

Хо=/0+ 180°, (4)

поскольку Солнце и Земля всегда находятся на противоположных концах одного радиуса-вектора (рис. 36). Но геоцентрическая дол­гота К планеты не связана подобной зависимостью со своей гелио­центрической долготой /, что легко усматривается из чертежа (см. рис. 36), и равенство

/ = X + 180°    (5)

действительно лишь для определенных конфигураций планет.

 

Рис. 35

Построив по гелиоцентрическим долготам положения планет от­носительно Солнца, можно измерить транспортиром их геоцентричес­кие долготы X и по разности

ДХ = Х —Х0  (6)

определить условия их видимости с Земли, полагая, что в среднем планета становится видимой при удалении от Солнца на угол около 15°. В действительности же условия видимости планет зависят не только от их удаления ДА, от Солнца, но также от их склонения 6 и от географической широты ср места наблюдения, которая влияет на про­должительность сумерек и на высоту планет над горизонтом.

 

Так как положение Солнца на эклиптике хорошо известно для каждого дня года, то по звездной карте и по значениям ДА, легко ука­зать созвездие, в котором находится планета в тот же день года. Реше­ние этой задачи облегчается тем, что на нижнем обрезе карт Малого звездного атласа А. А. Михайлова красными числами проставлены даты, в которые отмеченные ими круги склонения кульминируют в среднюю полночь. Эти же даты показывают приблизительное положе­ние Земли на своей орбите по наблюдениям с Солнца. Поэтому, опре­делив по карте экваториальные координаты ао ибо точки эклиптики, кульминирующей в среднюю полночь заданной даты, легко найти для этой же даты экваториальные координаты Солнца

aQ«a0+ 12ч

И

8о«-50            (7)

и по ним показать его положение на эклиптике.

По гелиоцентрической долготе планет легко вычислить дни (даты) наступления их различных конфигураций. Пусть в некоторый день года ti гелиоцентрическая долгота верхней планеты есть /ь а гелиоцент­рическая долгота Земли — /01 (рис. 37). Верхняя планета движется медленнее Земли (/2<л0), которая догоняет планету, и в какой-то

 

день года /2 при гелиоцентрической долготе планеты /2 и Земли /02 наступит искомая конфигурация планеты. Тогда

12 = 1г + п (t2 — tx) == + п • At      (8)

и

102 = А>1 + "о (^2 — к) = Z0l + П0 • Д^,  (9)

откуда, обозначив /2 — 1г = А/, /02 — /01 = Д/0           и п0 — п = An, по­лучим

А/= А/о-А/ =   (Ю)

An An х 7

и найдем

*2 = +  (Н)

Легко видеть, что Д/0—Al=L представляет собой угловой путь Земли по орбите, проходимый Землей с относительной угловой ско­ростью Д п=п0—п за промежуток времени At. Поэтому для вычисле­ния Д t можно полагать планету неподвижной и, взяв разность L меж­

ду разностями гелиоцентрической долготы Земли и планеты в моменты времени /2 и /i (или, найдя L по чертежу), сразу определить At. Для вычисления же гелиоцентрической долготы планеты /2 и Земли /02 на дату используются формулы (8) и (9).

Очевидно, те же формулы (8)—(11) служат для вычисления дней наступления конфигураций нижних планет с той лишь разницей, что из-за большей скорости движения нижней планеты по сравнению со скоростью движения Земли в формулы следует подставлять Ап=п—п0 и дугу L, которую проходит нижняя планета от одной конфигурации до другой при условии неподвижной Земли (рис. 38).

 

Все рассмотренные выше задачи следует решать приближенно, округляя значения а до 0,01 а. е., Т и S — до 0,01 года и At — до целых суток.

Пренебрегая незначительным наклонением орбит больших планет и полагая их находящимися на эклиптике, можно по величине угло­вого удаления ДА, планеты от Солнца вычислить ее высоту в опреде­ленный момент времени (рис. 39). Очевидно,

sin h = sin (ДХ + а) • sin х, (12)

где а — угловое расстояние Солнца от истинного горизонта, отсчи­тываемое вдоль эклиптики, ах — угол между эклиптикой и истинным горизонтом в тот же момент времени.

ЗАДАНИЕ

1*. Вывести зависимость средней угловой и линейной скорости планеты от ее среднего расстояния от Солнца, выразив каждую ско­рость через соответствующую скорость Земли.

2*. Вычислить среднюю угловую и линейную скорость, а также сидерический и синодический периоды обращения планеты: 1) Мер­курия; 2) Венеры; 3) Марса; 4) Юпитера; 5) Сятурна; 6) Урана; 7) Неп­туна; 8) Плутона.

3*. По уравнению синодического движения и по общим результа­там пунктов 1 и 2 построить на одном чертеже графики зависимости обоих периодов обращения, средней угловой и линейной скорости планет от их среднего расстояния от Солнца, указав пределы этих величин для больших планет Солнечной системы.

4*. Определить гелиоцентрическую долготу Земли и планет по их конфигурациям, сокращенно обозначенным:

нижнее соединение — н. е.; верхнее соединение — в. е.; наибольшая восточная элонгация — в. э.; наибольшая западная элонгация — з. э.; соединение — е.; противостояние — п.;

западная квадратура — з. к.; восточная квадратура — в. к.

№ ва­рианта

д-

Меркурий

Венера

Марс

Юпитер

1)

21 марта

Н.

с.

3.

э.

в.

к.

с.

 

22 июня

3.

э.

в.

э.

с.

 

п.

2)

23 сентября

В.

с.

в.

э.

п.

 

3. к.

3)

22 декабря

в.

э.

3.

э.

в.

к.

с.

21 марта

3.

э.

н.

с.

с.

 

в. к.

 

22 декабря

в.

с.

в.

э.

3.

к.

п.

4)

23 сентября

в.

э.

Н.

с.

3.

к.

с.

 

22 июня

3.

э.

в.

э.

с.

 

п.

5)

22 декабря

н.

с.

в.

э.

с.

 

3. к.

 

21 марта

3.

э.

в.

с.

в.

к.

п.

6)

22 июня

в.

с.

Н.

с.

3.

к.

с.

23 сентября

в.

э.

3.

э.

с.

 

п.

7)

21 марта

Н.

с.

в.

с.

в.

к.

3. к.

 

22 июня

3.

э.

в.

э.

п.

 

с.

8)

23 сентября

в.

э.

в.

с.

3.

к.

п.

22 декабря

3.

э.

в.

э.

п.

 

с.

5.         По известной дате указанной ниже конфигурации, взятой из Астрономического календаря-ежегодника, вычислить дату очередной такой же конфигурации планеты: 1) Меркурия (наибольшая западная элонгация); 2) Венеры (наибольшая восточная элонгация); 3) Марса (соединение); 4) Юпитера (противостояние); 5) Сатурна (соединение); 6) Урана (противостояние); 7) Нептуна (соединение).

6.         Указать для тех же дат конфигурацию Земли по наблюдениям с той же планеты.

7.         По значениям гелиоцентрической долготы определить видимость двух планет в заданный день года, указать созвездия, в которых на­ходятся планеты, и вычислить ближайшие даты наступления их конфигураций:

№ ва­рианта

Заданный день

Планеты

Конфигурация

1)

1 января

Меркурий

Верхнее соединение

 

 

Юпитер

Противостояние

2)

10 февраля

Венера

Нижнее соединение

Марс

Соединение

3)

2 марта

Меркурий

Наибольшая восточная элонгация

Марс

Противостояние

4)

11 апреля

Венера

Верхнее соединение

Юпитер

Соединение

5)

1 мая

Меркурий

Наибольшая западная элонгация

 

Юпитер

Противостояние

6)

10 июня

Венера

Наибольшая восточная элонгация

 

Марс

Соединение

7)

20 июля

Меркурий

Нижнее соединение

 

Марс

Противостояние

8)

9 августа

Венера

Наибольшая западная элонгация

Юпитер

Соединение

8. Для вычисленных в пункте 7 дат определить:

а)         гелиоцентрическую долготу Земли и тех же планет;

б)         геоцентрическую долготу тех же планет и Солнца.

9*. По известной дате определенной конфигурации планеты вы­числить ближайший день наступления другой ее конфигурации:

№ ва­рианта

Планет ы

Дата

Конфигурация

Вычислить дату наступления

и

Меркурий

21

февраля

Нижнее соединение

Наибольшей западной элонгации

 

Венера

10

апреля

Нижнее соединение

Наибольшей восточной элонгации

2)

Меркурий

5

января

Верхнее соединение

Наибольшей восточной элонгации

 

Венера

22

июня

Верхнее соединение

Наибольшей западной элонгации

3)

Меркурий

6

февраля

Наибольшая восточ­ная элонгация

Нижнего соединения

 

Венера

20

июня

Наибольшая запад­ная элонгация

Верхнего соединения

4)

Меркурий

1

июня

Наибольшая восточ­ная элонгация

Наибольшей западной элонгации

 

Венера

20

июня

Наибольшая запад­ная элонгация

Нижнего соединения

5)

Меркурий

20

марта

Наибольшая запад­ная элонгация

Наибольшей восточной элонгации

 

Венера

29

января

Наибольшая восточ­ная элонгация

Нижнего соединения

6)

Меркурий

1

мая

Верхнее соединение

Наибольшей западной элонгации

 

Венера

20

июня

Наибольшая запад­ная элонгация

Наибольшей восточной элонгации

7)

Меркурий

8 сентября

Наибольшая восточ­

Верхнего соединения

 

 

 

 

ная элонгация

 

 

Венера

10

апреля

Нижнее соединение

Наибольшей западной элонгации

8)

Меркурий

19

июля

Наибольшая запад­ная элонгация

Наибольшей восточной элонгации

 

Венера

29

января

Наибольшая восточ­ная элонгация

Нижнего соединения

10. Вычислить синодический период обращения малой планеты: 1) Андромахи, а=482,76-106 км; 2) Фотографики, а=331,51 • 106 км\ 3) Урании, а=353,95-106 км\ 4) Глазенапии, а=327,77-106 км;

5)         Полигимнии, а=429,65-106 км; 6) Эскулапии, а=474,23-106 км; 7) Психеи, а=436,83-106 км; 8) Галатеи, а=415,89.106 км.

11*. По синодическому периоду обращения, выраженному в годах, вычислить звездный период обращения и величину большой полуоси орбиты малой планеты: 1) Владилены, 5 = 1,398; 2) России, 5 = 1,324; 3) Лидии, 5 = 1,284; 4) Москвы, 5 = 1,328, 5) Бредихины, 5 = 1,215;

6)         Пул ковы, 5 = 1,218; 7) Белопольскии, 5 = 1,191; 8) Крымеи, 5 = 1,276.

12.       Пренебрегая наклонением орбиты Венеры, вычислить ее наи­большую возможную высоту в момент захода Солнца в: 1) Иркут­ске; 2) Ташкенте; 3) Краснодаре; 4) Москве; 5) Одессе; 6) Тбилиси;

7)         Киеве; 8) Запорожье.

13.       Указать время года, в которое Венера может иметь вычислен­ную высоту.

Отчет о работе № 15

Дата выполнения работы:

1.         Вывод зависимостей:

2.         Планета а —

г—       1

Уа=     v0=      Т =       -j- =

а~\Га=            1 — Т =          5 =

п =       va =     Т — 1 =          5 =

Планета

а

Т

S

 

 

 

 

 

 

 

 

График прилагается: Пределы: а =

Т =       п =

S=       va=

4. Дата

Планета

АХ

А/

1

Земля

 

 

 

5. Планета Конфигурация

Чертеж прилагается

Дата ti = S = Дата t2 =

6.         Земля            Дата   Конфигурация

7.         Формулы:

Планета

Л

h

AX

Созвездие

»

An

Al

L

At

tz

Конфигурация

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чертеж прилагается.

8. Дата t2 =   Xq —

Небесное тело

Л

n-At

h

AX2

X2

Земля Планета

 

 

 

 

 

9.

Планета

 

Конфигурация

AXj

A/i

Конфигурация

! AX2

A/2

L

n

Aaz

А/

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Малая планета

lga= Г-1

31g a --=        S =

т =

a3 =

И. Малая планета S = 5— 1 = Т =

lg т =

21g Т = lga =

12 и 13. Чертеж прилагается.

Город ср =

£ =       у, =

Венера АХ = Солнце с = АХ + а = Время года

/сж — а.е.

Формулы

7*2 .

а :

90° — <р = sin х = sin(AX -f- <т) = sin h = h :

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я