• 5

1.7. Физические основы моделирования геофильтрационных процессов

Моделирование является неотъемлемым элементом исследования любого относительно сложного физическо­го процесса. Объясняется это тем, что полное аналитиче­ское описание такого процесса с соблюдением всех его особенностей оказывается задачей весьма трудной или вообще невыполнимой. На модели же часто удается пол­учить характеристику процесса относительно просто, проконтролировав в то же время точность получаемых результатов. Более того, сейчас моделирование все шире используется и для исследования процессов, сама физи­

* В этой модели, таким образом, находит конечное выражение исходная информация о всех основных факторах, рассмотренных ранее.

ческая сущность которых становится ясной лишь в ре­зультате моделирования.

Под моделированием в широком значении этого слова понимается описание какого-то явления через его образ, эквивалентный исходному явлению (прототипу) в неко­тором смысле. Предполагается, что изучая образ, можно получить тем самым характеристику исследуемого явле­ния — по крайней мере в рамках принятых представлений об эквивалентности. Эффективность моделирования бу­дет, конечно, решающим образом зависеть от того, на­сколько глубоки и обоснованы упомянутые представле­ния. В этом плане, согласно теории подобия, основным условием, допускающим такой пересчет от одного про­цесса к другому, является равенство всех возможных вза­имно независимых безразмерных комбинаций их харак­теристик; эти комбинации получили название критериев подобия. Основное место в теории подобия занимает л - теорема («пи-теорема»), утверждающая, что максималь­ное число таких комбинаций для процесса, описываемого п размерными величинами, равно п-к, где к — число независимых размерностей (массы, длины, времени и т.п.), участвующих в описании процесса. Так, если в фи­зической системе единиц размерности физических вели­чин могут быть выражены через единицы массы М, длины L и времени Т, то к < 3.

ПРИМЕР [34}. Найти структуру безразмерного критерия, отве­чающего критической скорости и перехода от ламинарного течения жидкости в круглой трубе к турбулентному. Согласно изложенному в разделе 1.1, на характер течения влияют: 1) радиус трубы R, име­ющий размерност^ длины [L]; 2) плотность жидкости р, имеющая размерность [M/L ]; 3) вязкость жидкости, которая отражается ко­эффициентом имеющим размерность [М/ (LT) ]. Следовательно,

u=f(R,p,n).     (1.72)

Так как число характеристик изучаемого процесса равно четы­рем (R,p, [А, и), а число независимыхразмерностей — трем (М, L, Т), то согласно л — теореме возможна лишь одна независимая безраз­мерная комбинация, вытекающая из представления зависимости (1.72) в виде

и=с-ЯарР'цУ            (1.72a)

где с, <2, Д у— некоторые безразмерные константы.

Показатели <2, /3, унайдем из условия одинаковых размерностей

правой и левой частей этого уравнения:

 

(1.73)

откуда у = 1, /3=—1,/*-—1, и зависимость (1.72а) принимает вид:

U ° p R'           (1.74)

Отсюда получаем искомую безразмерную комбинацию -^т--,

г

или

ц          «Sep»            (1.75)

введенную нами ранее (см. раздел 1.6) как число Рейнольдса.

Полученный результат следует понимать и в том смысле, что два различных течения в круглой трубе подобны по режиму движения,

если для них равны безразмерные комбинации:     у.—— =

г* 1

%>2'и2'*2 „ * 2-u-pR ~ =     й          —. Поэтому комбинацию jf—■ = Ке можно рассмат-

ривать как критерий подобия (в частности, допускающий моделиро­вание одного течения другим).

В рамках данного выше определения подобие может устанавливаться:

|~1] применительно к одному и тому же физическому процессу, изучаемому, однако, при различных геометрических характеристиках прототипа и модели (физическое подобие);

[2 | применительно к процессам различной физиче- скои природы, но описываемых аналогичными физико- математическими закономерностями, выражающими об­щие принципы сохранения массы, энергии, количества движения и т.п. В первом случае говорят о физическом, а во втором — об аналоговом моделировании, которое мо­жет считаться разновидностью математического моде­

лирования; к последнему относится и численное модели­рование — исследование дифференциальных уравнений процесса на ЭВМ (в этом последнем варианте моделиро­вание сводится, в конечном счете, к решению систем ал­гебраических уравнений без каких-либо физических па­раллелей с изучаемым процессом).

Простейшим примером физической модели в дина­мике подземных вод является фильтрационный лоток, заполненный тем же фильтрующим материалом, что и изучаемый водоносный комплекс, и характеризующийся теми же геометрическими пропорциями. На такой модели успешно изучались некоторые сложные проблемы дина­мики подземных вод, связанные, в частности, с перемеще­нием границы раздела вод разного состава. Напомним, что и сам закон Дарси был получен, по сути дела, на базе физической модели. Очевидным преимуществом модели­рования в фильтрационном лотке является физическая наглядность, «осязаемость» модели. Кроме того, пред­ставляется, что на такой модели проще всего соблюсти критерии подобия (хотя бы потому, что моделирование ведется в физической среде, идентичной водоносному пласту); оказывается, однако, что часто это совсем не так.

Одним из факторов, определяющих недостатки моде­лирования в фильтрационном лотке, является сильное искажающее влияние капиллярных эффектов. Так, учи­тывая вертикальный масштаб лотка, высота капиллярного поднятия в модели оказывается непропорционально большой в сравнении с природными условиями. Это ме­няет характер напряженного состояния пород в лотке и завышает расход потока в пределах капиллярной каймы. Другой важнейший момент — трудности контроля за од­нородностью модельного грунта или соблюдения иден­тичности в сложении исходного и модельного материала. Наконец, в лотках практически невозможно воспроизво­дить сложные геометрические очертания границ модели­руемого пласта, контактов зон фильтрационной неодно­родности и т.п.

По этой причине физические модели применяются в динамике подземных вод довольно ограниченно: чаще

всего их используют на ранних стадиях изучения того или иного процесса — для уяснения качественных физиче­ских представлений о нем и для количественного обосно­вания исходных гипотетических представлений.

Гораздо более широкое распространение получило аналоговое моделирование [6, 7, 14], для чего использо­вались гидравлическая аналогия (подобие фильтрации и движения жидкости в тонких капиллярных трубках), вяз- кожидкостная аналогия (подобие фильтрации и течения вязкой жидкости в тонкой щели) и др. Однако в реальной практике в подавляющем большинстве случаев исполь­зовалось электрическое аналоговое моделирование*, обес­печивающее технически наиболее совершенные модели (доступные, простые и безотказные в работе, позволяю­щие гибко участь различные осложняющие факторы, практически не реагирующие на изменение внешних - температурных и других условий, обеспечивающие высо­кую точность конечного результата).

Электрическое моделирование базируется на подобии фильтрационного потока и электрического поля. Так, сплошные модели из электропроводящей бумаги или растворов электролитов, основанные на электрогидроди­намической аналогии (ЭГДА), широко применялись не­сколько десятилетий. Аналогия в данном случае наиболее ясно выявляется из основных законов движения: закона Дарси

Q = к-ш—г- —для подземных вод /л Пс\ I         (1./0)

и закона Ома

I = С -а)„ — — для электрического тока,

Л 1м   (1.77)

где I и A U — соответственно, сила тока и разность элек трических потенциалов; С — удельная проводимость материала модель

а)м      — площадь поперечного сечения модели, со

Основы его были заложены Н.Н.Павловским.

ответствующая аналогичной площади пото­ка со (считаем их пока неизменными); 1М        — длина элемента модели, отвечающая длине

элемента потока /.

Введем масштабы расхода (aQ = , проницаемости

(ак = ^, напоров (ан = и геометрический масштаб

fat = j- - уГш/мЛ . Заменим теперь в законе Дарси филь-

\ м       '

трационные характеристики на аналогичные характери­стики электрического поля с масштабными коэффициен­тами:

1 «е с °V lM ■

Таким образом, если

aQ >    (1.78)

то (1.76) идентично (1.77), что и выявляет подобие про­цессов, причем (1.78) —необходимый критерий подобия. Из него следует, что три из четырех масштабных коэффи­циентов можно назначать произвольно, исходя из техни­ческих соображений.

Итак, при моделировании следует строить модель ге­ометрически подобной области фильтрации и задавать

удельные сопротивления модели р = ^ обратно пропор­циональными коэффициентам фильтрации.

Масштаб напоров удобно выбрать, исходя из равенст­ва

м А 07*           (1.79)

где А#шах = Яшах - Нтт — максимальная разница напо­ров, которой соответствует

максимальная разница потен­циалов (напряжение) на моде ли Д t/„.

 

(1.80)

то точке на модели в потенциалом U будет отвечать вели­чина Я = #min + Д Я напора,

где

Таким образом, после составления модели на границы с заданными напорами подаются потенциалы согласно формуле (1.80), а на границы с заданными расходами подается сила тока — согласно масштабному коэффици­енту aQ (см. формулу (1.78)). После этого замеряют по­тенциалы в отдельных точках области и пересчитывают их в напоры по формуле (1.81).

Однако описанные здесь в общих чертах сплошные электрические модели позволяют исследовать лишь огра­ниченный круг задач динамики подземных вод. Объясня­ется это тем, что подобие уравнений движения (в нашем случае закона Дарси и закона Ома) является лишь необ­ходимым, но не достаточным условием аналогии, лежа­щей в основе электромоделирования фильтрационных процессов. Для полной аналогии должна отмечаться эк­вивалентность и других важнейших физических законо­мерностей, отраженных в уравнениях неразрывности и состояния (см. раздел 2.2). В конечном счете, необходи­мым и достаточным условием искомой нами аналогии между двумя процессами является математическая экви­валентность результирующих дифференциальных урав­нений этих процессов и краевых условий (математиче­ский изоморфизм). В этом смысле более гибкими и эф­фективными являются электромодели с дискретным представлением пространства, реализуемые на сетках электрических сопротивлений (см. раздел 3.5).

ЛЯ = (Ятах-Яш!п уи.

(1.81)

В заключение несколько слов по поводу сопоставле­ния двух видов математического моделирования — ана­логового и численного, реализуемого на ЭВМ. В настоя­щее время грань между ними существенно стерлась; на­пример, мы увидим далее, что отдельные разновидности электрических моделей далеко отошли от физической аналогии с фильтрационным процессом и превратились, по сути дела, в специализированные вычислительные ус­тройства. Различия между аналоговыми и численными моделями заключаются скорее всего в том, что первые измеряют некоторые физические величины (напряжение, сопротивление и пр.), а вторые — непосредственно вы­числяют. В этом плане, важным преимуществом аналого­вых моделей является их физическая наглядность, позво­ляющая исполнителю относительно просто взаимодейст­вовать с моделью, контролировать процесс моделирова­ния и вносить в него коррективы по ходу моделирования. В целом, однако, наиболее мощным и перспективным методом исследования задач динамики подземных вод является численное моделирование на ЭВМ.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я