• загрузка...
    5

5.3. Дискретные нечеткие процессы. Композиционные нечеткие уравнения, как частный случай дискретных нечетко-интегральных уравнений

загрузка...

В ряде практических задач необходимо рассмотрение дискретных НП. Прежде чем мы будем рассматривать нечетко-интегральное представление дискретных НП целесообразно остановиться на алгебраической структуре множества нечетких временных интервалов.

Временной интервал Т наблюдения НП можно отождествить с множеством неотрицательных действительных чисел R+. При этом произвольный момент времени / 6 Г представляется неотрицательным действительным числом. В случае, когда мы хотим отразить нечеткость момента времени и определенного им интервала времени наблюдения НП целесообразно использование нечетких неотрицательных действительных чисел [12].

Определение 5.4.

Нечеткое неотрицательное действительное число определяется как отображение р :/?+-> [01], удовлетворяющее условиям: р(0) =0, max{p (г) | }=1 , (ограниченность), Vre R+ :p(r) = тах{р (г ) | reR+, г'< г} , (непрерывность слева).

Таким образом, нечеткий момент времени / e.F{JT) мы отождествляем

с нечетким неотрицательным действительным числом. При этом t €iF(T) может быть интерпретировано следующим образом. Функция

р(7) соответствующая        р(г):Г->[01] понимается как степень

нечеткости принадлежности неясного момента времени t четкому интервалу [0,f [. Исходя из этого можно видеть, что функция р(/) есть

неубывающая функция. А если установить однозначное соответствие • между t и [0,/ [, то функция р (г) будет удовлетворять свойствам нечеткой меры заданной на Т. Если теперь использовать однозначность соответствия момента времени t и определенного им интервала [0,7 [ для случая нечеткого момента времени t мы можем определить

нечеткий интервал Г(1)е F{T) фиксированный этим / . Функция Г(г)

отражает степень нечеткости того, что интервал [0,/[ не покрывает нечеткий момент времени t определяемый функцией р (t).

Исходя из этого функция Г(1) может быть определена по функции p{t) момента времени t как ее дополнение. При этом если р{() есть

нечеткая мера удовлетворяющая правилу нормировки по Суджено, то справедливо:

^ггтт^^-           (5Л0)

1 + Лр(0

В том случае, когда р(/) есть мера возможности (функция принадлежности) функция Г(г) может быть восстановлена как:

Г(0= 1 -p{t).    (5.11)

Пусть H(R+) - множество всех неотрицательных действительных чисел. , На H(R+) возможно задание частичного порядка:

Р<<Р <=> Vr G R+:<p(r) < P(r),      (5.12)

г

легко видеть, что     )<| является решеткой. Следовательно

множество всех нечетких моментов времени Н(Т) обладает свойством решетки. Если обозначить G(7) множество всех нечетких интервалов Г(7), то между G(T) и Н(Т) существует изоморфизм, а следовательно ^Е3(7) также как и Н(Т) обладает свойством решетки.

На H(R+) может быть определена естественная алгебраическая операция задаваемая соотношением:

{р ©4?}(r)= тах{р(р)л (p(s)\p,s е + р = г}- (5.13)

Тогда (H(R+),<, ©) образует частично упорядоченную

коммутативную полугруппу. Аналогично (5.13) на множестве G(7) возможно задание алгебраической операции © и тогда G(7), будет наделена структурой частично упорядоченной коммутативной полугруппы. При этом справедливо:

Г} < Г2 Vf (Е Т: Г^/) < Г2(0.

{Г, ФГ2}(0 = тах{Г,Оз) дs,peT,s+p= t}.

Определим в G(T) возрастающую последовательность нечетких интервалов {Г|(/)|/=1,1} определяемую рекуррентно:

Г<0 = Ги(0 © ДГ(/),   (5.16)

При этом АГ(г) можно трактовать как нечеткую дискрету по времени, а Г[(г) последовательность нечетких дискретных интервалов времени через которые наблюдается НП.

В соответствии со структурой множества {Г|(г)|/=1,1} мы можем определить нечеткий дискретный процесс (НДП), как частный случай непрерывного НП, определенного уравнением (5.6).

Пусть непрерывный НП, описывающий динамику НДС, представлен нечетко-интегральным уравнением (5.6). Тогда НДП относительно последовательности моментов времени I будет описываться дискретным нечетко-интегральным уравнением вида:

M,,(C0) = h,(C0,C0)og(MXC0)).     (5-17)

где g(jUf(0))) - расширенная нечеткая мера, a h\(w, со) -

нечеткое отношение на пространстве состояний Q в i - й дискретный момент времени, отражающее динамические характеристики НП. Доказательство.

Пусть в i - й дискретный момент времени НП наблюдался в течении Pi(t) нечеткого временного интервала. При этом в конце fi(t) НП имел

состояние     Q —* [01]. В (/+1)-й момент времени интервал

-наблюдения НП будет определяться функцией Г;+1(/) задаваемой в |-виде:

ri(t) = rM(t)eAir(t),

! где Л;Г(1) - есть нечеткий временной интервал определяющий дискретность наблюдения НП в /- й момент времени. Таким образом, г на A,r(t) состояние [i;(о) можно расценивать как начальное условие уравнения (5.6). Тогда справедливо:

^г1+1(о(<°) = ^ fw) ^ ° ° *<W«>))-

Согласно свойств расширенной нечеткой меры и теоремы Суджено- Фубини можем записать:

1+1     J

Внутренний интеграл можно расценивать как интегральный оператор преобразования состояния НДС на нечетком интервале А|Г(0, то есть:

th'icoMt)°§1/д.Г(,)(ю)) = hXco.co): QxQ->[01]-

т          '

Тогда выражение для состояния |il+j(o)) принимает вид:

JU (60)= I h(CO,CD)og(.)= I /?(60,60)o|l(a>)og(.) = Й-(Ю)          Иг(юП

= f к;(со,со) о j ц(со) оg(.) = I ЛД<о,<о) о g(n, (со)).

п          п          п

Что и требовалось доказать.

Следует отметить, что если за нечеткий интервал r;(t) интегральный оператор преобразования системы был h\{co, о), а за Гг+1(1) : hx+](ca,a))= /?|(Щ6)) для всех /е/, то ДНП будет стационарным. В этом случае ДНП будет описываться стационарным дискретным нечетко-интегральным уравнением:

Hi+l(CO) = ! h(C0,0})og(fl.(C0)) ■   (5-18)

n

Полученное дискретное нечетко-интегральное уравнение описывающее ДНП включает в себя, как частный случай, известное нечеткое max-min композиционное уравнение, нашедшее широкое распространение в решении практических задач управления нечеткими системами [17]. Напомним, что нечеткое max-min композиционное уравнение имеет вид:

jui+ Лео') = max ттШсо, со'), Оц. (со)}. (5 л 9)

cwefl

где И(СО,СО'): Пхй™>[01] - стационарное нечеткое отношение реализующее оператор преобразование состояние НДС.

Теорема 5.3.

Нечеткое max-min композиционное уравнение (5.19) является частным случаем дискретного нечетко-интегрального уравнения (5.18), если Q. - множество равновозможных состояний НДС, т.е. Vfi>eQ,g(<y)= 1.

Доказательство.

Рассмотрим более подробно расширенную нечеткую меру в уравнении (5.30) для А с Q:

А

Так как согласно условия теоремы g(-) есть мера возможности такая, что У О) е Q, = 1, то данное выражение можно представить в виде:

11и,(о)) о g() = sup{a a g(Ma ПА)} = supja а шах g(co)\

л          о<011 c^oijl ««л/.гм  J

где Ма ={б)\11,(со)> а £ [01]}- Тогда, если Ма()А*0> то g(ManA) = 1 и следовательно:

Отсюда исходный интеграл можно представить в виде:

A+i(fi>) = /      (.) = шах{штЛ(бо,боО Amaxju^6o)k

П         '           £cQ Ue£         <ae£   J

где min h(CQG)') определяет a - уровень нечеткого множества h(cofof)

toeE 4 У

при фиксированном ofe Q. Следует отметить, что для вложенной последовательности множеств E\<qE2 е...с   V/ ^cQ функция

min Л(С0, СО7) ПРИ фиксированном ш'еП является не возрастающей,

е>е£

то есть если: с: Е} с: Q, то:

min й(со, со') > min h(co9 со') •

Следовательно, максимум по £ с: Q в выражении для |ii+i(&>) достигается при рассмотрении всех одноточечных подмножеств Е/={щ}. Отсюда получаем:

Яы(ю') = птах^! min/^co') а шах д. (со) I=maxj/jto. 9of) л д(со-)}'

I ojeEj  CDEEJ           I С0,еП1 J      J J

Полученное выражение есть ничто иное, как min-max композиционное уравнение (5.19) определяющее динамику дискретной НДС. Что и требовалось доказать.

Таким образом, из доказательства теоремы 5.3. следует, что полученное нечетко-интегральное уравнение (5.30) для ДНП охватывает известное и широко используемое min-max .композиционное уравнение как частный случай для распределения нечеткой меры возможности на пространстве состояний НДС. Этот факт позволяет использовать дискретное нечетко-интегральное уравнение (5.18), моделирующие более широкий спектр неопределенностей НП от возможности до необходимости появления того или иного состояния НДС. При этом использование g^-мер позволяет учитывать различные семантические модальности неопределенности в НДС. Исходя из этого следует, что использование уравнений типа (5.17) является более гибким инструментом моделирования НДС в аналитических задачах, чем широко применяемые сейчас композиционные уравнения типа (5.19).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я