• загрузка...
    5

3.6, Интегрирование В - измеримых функций по нечеткозначной нечеткой мере

загрузка...

В пункте 2.4. нами было рассмотрено определение нечеткой меры принимающей нечеткие значения в единичном интервале для пространства (Х,В). Пусть h(x): X—>[01], в- измеримая функция. Рассмотрим возможность применения конструкции нечеткого интеграла для интегрирования таких функций.

Ранее отмечалось, что при фиксированном \/х € X мы имеем нечеткую меру на единичном интервале L=[01]. Обозначим ее G(-|jc) , G(-|x): 2l —>[01], т.е. это нечеткая мера на единичном интервале L. Для фиксированного уровня ае L соответствует интервал [0,a]c L. Тогда для Vx € X имеем: G([0a|x) е [01].

Если для \/х £ X зафиксировать степень уверенности г е [01], тогда для \/х G X будем иметь значение (х(х) е [01] для которого выполняется условие:

G([0a(x)|x) = re[01].   (3.44)

Функция а(х) для которой выполняется условие (3.44) определяет распределение плотности нечеткой меры на X для фиксированного уровня ге [01] уверенности. При этом значение плотности меры удовлетворяют соотношению:

gr(x) = а(х) = argmax{G([0,a] jc) < г}. (3-45>

а а

Для непрерывного пространства X=R нечеткая мера множества АсХ при фиксированном уровне уверенности г е [01] может быть определена как:

8r(A) =

К

exp

K\s'(x)dx

(3-46)

V A

\ интеграл по А понимается в смысле интеграла Лебега, а - есть X- 1^раметр нечеткой меры, отражающей семантику индуцированной *г*еткой меры наXпри фиксированной степени re [01].

Таким образом дая V АсХ нечеткая мера типа 2 будет порождать функцию F-распределения на L со значениями в единичном интервале. фис.3.6).

 

х          А         X

Рисунок 3.6 - F-распределение порождаемое нечеткой мера типа 2.

начим это F-распределения как F\ (•). При этом выполняется щее. Переобозначим функцию gr(A) (3.46) при ксированном А в функцию:

gr(>4) = />i4(r):[01]->[01].

г           а

 

 

Тогда функция FA ([Odf]) является обратной функцией к функции у а (г), т.е. выполняется:

Р/2([0а]) = (Р)МГ'.    (3.47)

где (-) - обратная функция к Рл (г). Исходя из сказанного определим значение нечеткого интеграла от функции h(x) по нечеткой мере типа 2 в виде:

 

sup ((«Agr(#a)

сн=[01]

(3.48)

= {r\cc = gr{Ha),Ha= {*!/*(*) > a}} = f£(x) ([0a]).

Т.е. нечеткий интеграл от В - измеримой функции h(x) есть F - распределение на интервале L со значениями г в единичном интервале (re [01] ). Таким образом:

FL) (М)=г = ! Кх) о g] о,

(3.49)

где a = gr(Ha),Ha ={« X\h(x)>a};

Введенная ранее функция F - распределения F\) соответствует отображению:

F2(): [01]->[01]

(3.50)

и а

и г

Тогда обратная ей функция [^(-)]1 будет соответствовать отображению:

[F2()Tl: [01]->[01]

(3.51)

и г

U

а

В пункте 2.4. мы отметили, что если задана функция [01] —> [—1»+<х=>[, где X - есть параметр нормировки и г

KJ

Я

нечеткой меры, то существует отображение <р при котором gjy() = sempy(X) для фиксированного события WcX. Тогда интересным является следующий результат:

^mh{x)[fw{Ft{x)([0,a]))] = [F£(x)([0,а])]"' =a. (3.52)

To есть обратная функция от функции F - распределения на L, Полученная при интегрировании В - измеримой функции h(x) (нечеткого события h(x)) по нечеткозначной нечеткой мере g2( ) определяет семантический спектр нечеткого события h(x) при Известной функции fw ():[01] ™> [Ц+°°[ ■

В заключение отметим, что рассмотренные в данной главе вопросы, связанные с понятием нечеткого интеграла и основами нечетко- интегрального исчисления, позволяют увидеть основные механизмы нечетких данных представленных с помощью формализма ечетких мер. Обоснованные свойства нечетких интегралов, позволяют [корректно обрабатывать нечеткие данные при моделировании сальных задач принятия решений в условиях неопределенности.

Особо следует отметить предложенный в главе нечеткий интеграл по сширенной нечеткой мере, который является аналогом интеграла 1ебега-Стилтьеса. Полученный результат раскрывает возможности по оделированию дискретных и непрерывных процессов акционирования реальных объектов в задачах принятия решения в повиях объективной и субъективной неопределенности.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я