• 5

3.1. Определение нечеткого интеграла

Для исчисления нечетких величин представленных нечеткими мерами и множествами на пространстве с нечеткой мерой могут быть использованы нечеткие интегралы, которые задаются согласно следующего определения.

Определение 3.1

Нечеткий интеграл (НИ) от функции h(x) : X —» [01], измеримой на пространстве (X, В) с нечеткой мерой g: 2х —> [01] на множестве А с X по нечеткой мере g( ) определяется выражением:

/ h(x) о g(.) = sup {а Л g(AпНа)1     (3.1)

л          «€[01]

где На =         > С^}, /-нечеткий интеграл.

В литературе [15, 17] нечеткий интеграл называется также нечетким ожидаемым значением (fuzzy expected value FEV). Кроме определения нечеткого интеграла (3.1) может быть использовано следующее выражение, определяющее нечеткий интеграл.

I Теорема 3.1:

Пусть (X В) измеримое пространство с заданной на нем нечеткой мерой g(-) и пусть h(x) - В-измеримая функция. Нечеткий интеграл от функции h(x) на множестве А с X по нечеткой мере g( ) определяется выражением:

(3-2)

Доказательство.

Рассмотрим нечеткий интеграл на A ci X. Согласно (3.1) имеем За е [01],/ h(x) о g() -ал g(A П #а.) = Для выражения (3.2)

рассмотрим 2 случая:

1.         Если Е =э Н,**, то имеем а* > inf Ь(х)и

g(AnE)>g(AnHa*).

Тогда справедливо: р > jnf /г(х) л П £);

2.         Если Е с Но*, то имеем а < inf Их) и g(A n Е) < g(A n Ha*).

Тогда справедливо: p < jnf/j(jt) л^АглЕ)-

XG E

Отсюда видно, что  sup[inf Fr

Следовательно выражение (3.2) справедливо.

Можно показать, что понятие НИ сходно с понятием интеграла ^Лебега. Для этого рассмотрим разбиение множества X на Непересекающиеся подмножества Ej следующим образом:

rX = \J Ei9      Uj = hn,           Представим

/=i 1

функцию h(x) в виде ступенчатой функции: h(x)=^CC.f (jc) где

pi е [01], EjG В, /е,(х) g {01} - характеристическая функция множества $4» Пусть на пространстве (X, В) задана мера Лебега /(•)- Интеграл Лебега от функции h(x) по множеству АсХ определяется выражением:

к

г

J h(x)dl = X п Е,). a,<aM,i=l,n- (3-3)

А         •=>

спользовавшись разбиением множества X на подмножества Е\ якция h(x) может быть переопределена в другом виде. Пусть

множество Fi определяется как F. — Et\jEM U-.-U^,, и Of. < CCM • Тогда функция h(x) может быть представлена как:

h(x) = max^in (ось fFi(x)), i

где fFi(x) - характеристическая функция множества F„ определенного выше. Тогда нечеткий интеграл по аналогии с интегралом Лебега может быть определен в виде:

/ И{х) о g = maxmin(a/5g(^n/v)) -     (3.4)

Л         /=1,и

Сравнивая (3.3) и (3.4) можно обнаружить сходство между данными интегралами (операции сложения и умножения замены для интеграла (3.3) на операции max и min соответственно для НИ).

В случае интегрирования по вероятностной мере оба интеграла Лебегов и нечеткий могут быть сравнены.

Теорема 3.2:

Пусть (X, Д Р) - вероятностное пространство, a h(x): X—>[01] есть В - измеримая функция, то справедливо ограничивающее неравенство:

-{bipj <            (3.5)

где inf h - inf h{x\ sup Л = sup h(x) ■

X*x      xeX

Доказательство.

Пусть значение нечеткого интеграла будет:

! hop = М е [01] = М лР(Нм)>

X

гДе Нм = {л;|й(л:)> Л/}; Рассмотрим интеграл Лебега от функции h(x):

\hdP=]hdP + jhdP'

X         //„         А-\/Ум

Для нечеткого интеграла определим семейство функций (jt)} Для юлгорых выполняется условие V//-(jc) | h(x)°P = М * Определим

мажоранту и миноранту этого семейства функций. Мажорирующая фикция семейства |/г.(л:)} определяется выражением:

Г sup/?,xe Нк

1 М9хени

Минорирующей функцией будет:

М, хенм

h*(x)

 

Mh, х&Нм

 

"Подставим значения мажоранты и миноранты в интеграл Лебега. Для функции h (х) будем иметь:

jhdP = J hdP+ J hdP< J sup hdP+ J MdP =

x          //„         a'\hn    hhi       x\hu

= sup h ■ P(HM) + M(l - P(HM)) = sup/7 -M+M(l-M).

Дня функции h.(x) имеем:

jhdP= J hdP+ J hdP> J MdP+ J inf hdP=

x          hm       x\hm    hm       х\ни

= M- P(HM)+inf Л ■ (1 - P(HM)) = M2 + inf h■ (1 - M).

Таким образом справедливо:

M2 +inf h(\ -M)<jhdP< M{ 1 - M)+sup/z- M

X

Тогда разность интеграла Лебега и НИ будет ограничена неравенствами:

== Л/2+inf Л(1 -- Л/) - М< J MP—I ho Р< A/(l - Л/) -f sup hM~ M~F2

Найдем максимальный диапазон неравенств по М Для этого найдем экстремумы функцией Fb i= 1,2 по значению НИ М:

dF       dF

—L = 2A/-inf /г—1; ^- = -2M+sup/r dM       dM

Откуда максимальный диапазон неравенств определяется при

~ 1 + inf /г дая нижнего ограничения и при М = —SUT)h дая 2 2 верхнего ограничения. Тогда подставим значения М в функций F„ / = 1,2:

. ^ A+infAV . Y 1 + infti\ 1+infA

J +lnfT 2 J 2 =

max

M

2

1 - 2inf /z+(inf /г)2 _ A-inf/г V

4          I 2 J

_ sup Л _ sup /г + (sup hf sup h (sup hX

2 ) 2 2~\ 2 J

Следовательно справедливо: v2

 

Что и требовалось доказать.

Следствие 3.1

Если (Xt В, Р) - вероятностное пространство, h(x): X —> [01] В-измеримая функция то:

(3.6)

Доказательство следствия тривиально, так как VxeX, h(x) е [01] и подстановка предельных значений единичного интервала в неравенство (3.5) дает величину по модулю равную 0.25. В противном случае функции F;, i=l,2 не превосходят по модулю 0.25.

Определение нечеткого множества, фиксирующего степень принадлежности элемента х е X подмножеству A G F(X), где FQQ - множество всех нечетких подмножеств X, может быть представлено с использованием нечеткого интеграла следующим образом.

IJycTb необходимо оценить степень принадлежности .элемента х е X 1 Множеству ЕсХ. Очевидно, что для пустого множества эта степень принадлежности равна 0, а для х е F, где Е с F равна единице, то есть | степень принадлежности для х е F будет больше, чем для хе Е, если :EcF.

v:

Если степень принадлежности х0 е Е равна g(x0>E), а вместо Е имеем нечетное множество jj. е F(X), тогда:

g(x,A)=lцл(х)оg(x ) = цА(х )  (3.7)

1          X

I, '

Ё^то говорит, что степень нечеткости суждения "х0 е А " равна степени • принадлежности х0 нечеткому подмножеству /ЛА. Таким образом, мы еще раз видим, что понятие степени нечеткости в теории нечетких мер Нвочает в себя понятие степени принадлежности теории нечетких множеств.

[чески нечеткий интеграл можно представить согласно рис.3.1.

 

При этом НИ представлен в следующем виде:

/ Кх) ° gO = sup {/i(a) A F2(a)}>

W        »е[0|]

где F\a)-a\

F2(a) - g[H2 ГМ)=g({*l Kx) ^ сс}Г\А)=|ехр|я           j -1|,

где f(x) - распределение плотности нечеткой меры.

Рассмотрим пример вычисления нечеткого интеграла для даскретного множествах

Пример 3.1.

Пусть задано пятиэлементное множество X = {xt},i = 1,5 на котором

заданы функция принадлежности нечеткого множества h(x) и распределение плотности нечеткой меры g (■) (табл. 3.1).

Таблица 3.1 - Исходные данные.

i

1

2

3

4

5

h(x)

0,1

0,3

0.7

0,6

0.2

&

0.143

0,4

0,261

0,350

0,131

Согласно условия нормировки параметр А нечеткой меры равен: X = -0.51. Тогда значение S НИ принимает значение:

£ = sup [а л

(3.8)

ае[01]

AU®« )

Согласно приведенных формул значение НИ будет: S = 0.5645.

Для непрерывного пространства X - R вычисление нечеткого интеграла может быть упрощено и сведено к нахождению значения на монограмме (или в таблице). Если h(x) есть отображение функции принадлежит, то справедливо, что:

Va„ а, <а2,а; е[01],/ = 172 => з ,{x\h(x)>а,} = F^

В этом случае согласно [12] справедливо следующее. Если f(x) - : плотность нечеткой меры, значение НИ от h(x) по нечеткой мере равно значению сс g [01] для которого справедливо:

 

(3.9)

где

 

ft

J f(x)dx

f

Правая часть (3.9) зависит только от значений Я и а и может быть Получена заранее в числовом виде в форме таблицы или графика. ^Левая же часть (3.9) представляет собой отношение области Определяемой уровневым множеством На ко всей области определения функции плотности нечеткой меры f(x),

г

^Использование (3.9), таким образом, может облегчить организацию вычисления нечеткого интеграла.

I*

 

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я