• загрузка...
    5

2.5. Идентификация и аппроксимация нечетких мер

загрузка...

Дяя решения практических задач и дальнейшего использования в различного рода алгоритмах обработки нечеткой и слабо структурированной информации очень важным является идентификация нечеткой меры. В работе [15] предлагается следующий подход к идентификации нечеткой меры. Предполагается, что эксперимент должен дать оценки степени важности всех подмножеств № пространства X. При этом необходимо иметь субъективные оценки d ffrme, что d : 2х —> [01]. Тогда идентификация нечеткой меры включается в минимизации функционала вида:

(2AV

' |2Х| - Card 2х - мощность множества 2х, a g^ (Е) - вычисляется по естной формуле для нечетких gx - мер для подмножества Е с X. ультатом решения задачи идентификации является значение l к и нечетких плотностей gxj, gx2,... gXf7, п = CardX.

пако, у данного подхода к идентификации нечеткой gx - меры вует ряд недостатков:

1.         Этот подход может быть использован лишь при не большой мощности пространства X, иначе процедура оптимизации функционала (2.47) оказывается весьма сложной.

2.         С практической точки зрения при большом Card X значительно осложняется процедура выявления знаний у эксперта относительно субъективных оценок подмножеств из 2х.

им образом, в реальных задачах использование этого метода авается затруднительным.

■771   Бочарников В.П.

Однако, использование свойств gx - меры позволяет упростить процедуру ее идентификации по ответам экспертов (их субъективным оценкам). Рассмотрим следующий подход к идентификации нечеткой gx - меры.

Разобьем пространство X на три подмножества        / = 13 таким

образом чтобы Aj nAj = 05 щ         Ai ф Аi Ф Jm Обозначим

I

меру подмножества Aj как gj . Эксперту предлагается оценить степень предпочтения At над Ai (где А-г - дополнение к А9 А{- = Х\ А), то есть того, что, например, истинное значение нечеткой величины находится в подмножестве Аь а не At .Тогда из условия нормировки имеем:

& + С23 +      = U      (2.48)

® =а;

с23

где С2з - мера подмножества А2 u Aj, а а- степень предпочтения А} над А2 u А3, L е [0,1]. В данном случае может быть использована обоснованная Т. Саати [2] шкала субъективной оценки предпочтения одного элемента над другим.

Преобразуем (2.48). Из второго уравнения С23 = g| а"1. Представив это выражение в первое уравнение, имеем:

Ag?+g,(l + c0-a = 0.  (2.49)

Данное уравнение определяет зависимость меры множества А/ от Я- параметра и субъективной оценки предпочтения. Используя аналогичные рассуждения для подмножества А2 и определяя

экспертное предпочтение Аг над А2 в виде      = у ,получим

g 2

следующую систему уравнений:

Igf +g2(l + a)-a = 0 Asf +g2O + P)~P = 0   (2.50)

gi = rg2

f^fbi имеем разрешимую систему уравнений относительно gi, g2, X. В результате решения (2.50) получим:

у2р-а

г

Ъ

V

gl =

Г08+1)-Г(«+1) У (Р +1) - (a +1) '

A=

ш2 -abiy2p+a)+b2fj3

гяеа=у2(р+\), b = y(a+l).

(2.51)

Значение меры подмножества A3 легко находится из условия иврмировки:

 

l + яс '

(2.52)

 

 

м образом, в результате обработки трех ответов эксперта тельно парного сравнения указанных выше подмножеств мы м возможность определить их меры.

[ер 2.3.

истинное значение нечетких плотностей меры на пространстве CardХ~ 3 равны gi = 0.3, g2 = 0.2, g3 = 0.04 и параметр нормировки

^ 5.В результате опроса эксперта имеем

1.07 -^-=0,5 ^

G23     Ег

 

— 1.5

шьзуя выражения (2.51) мы получаем значения (Табл. 2.4):

Таблица 2.4. - Значения плотности нечеткой меры.

Параметр

gi

&

ёз

X

Значение

0.3001

0.2033

0,0401

4,998

Таким образом, видим, что для множества X с Card X = 3 использование полученных зависимостей позволяет определить все плотности и Х- параметр нечеткой меры. Преимущество предложенного метода идентификации заключается в возможности построить итерационную процедуру построения нечеткой меры для пространств X с Card Х> 3. Опишем эту процедуру.

Пусть в результате эксперимента получено, согласно приведенному выше, распределение нечеткой меры gx( ) на трех подмножествах At (Рис. 2.4):

|д|/ГЦ=0, 1)4=х9 А,   <2-53>

- g!x(x)

О

В

L

g2x(x)

А\

-ж-

А",

■Ж-

 

 

X

А2! А22 А23 А24 Рисунок 2.4. - Распределение нечеткой меры.

Ступенчатая функция g^(x) - есть первое приближение

распределения плотности нечеткой меры (где (jt) - равномерна на каждом >4,-).

Дальнейшее уточнение функции g\(x) на 2-м шаге осуществляется следующим образом. Эксперту предлагается оценить предпочтение подмножества В cz X над В—Х\В. (Желательно, чтобы V/, В & Ah ^наче информации для уточнения gx(x) не будет). В результате оценки ймеем уравнение:

 

(2.54)

При известном X (из предыдущего шага) с учетом того, что gx(B) е [01] имеем:

gx(B)=~                                              е[01].

(2.55)

В результате полученной от эксперта информации функция gx может быть уточнена следующим образом. На втором шаге получаем следующее множество подмножеств (см. рис. 2.3):

 

(2.56)

Значение функции g() на Аь /= 1,4 определяется из соотношений: g(A f) = g(Al);

 

g(A з) =

gx_(B)Zg±Aj); l + lg(Af)

g(4)~g(4).

l + Xg(A2) '

(2.57)

g(4)=g(4)-

к Таким образом мы имеем возможность уточнить функцию gx(x). Обобщая данную процедуру для 1-го шага будем иметь возможность уточнения функции gx(x), при этом для 1-го шага будем иметь значение gx(Ali) на /+ 2 непересекающихся подмножествах / — 1, / + 2 • Учитывая условия аналогичные (2.56) в пределе будем иметь при 1—>оо непрерывную функцию плотности нечеткой меры g\(x): Х-* [01].

Однако, не является рациональным увеличивать количество q вопросов к эксперту. На 1-м шаге эксперту будет задано вопросов:

q — l+2.          (2.58)

Поэтому, после получения приближения функции распределения плотности нечеткой меры на q подмножествах пространства X целесообразно осуществить аппроксимацию функции плотности gx(x) функцией (L-R)-THna.

Определение 2.9.

Функция, обозначаемая L (или R) является функцией (L-R) типа тогда и только тогда, когда Vxe^=[0,+oc[: Цгх)~Цх)\ Д0) = 1, Д) - монотонно убывает на множестве X.

В качестве таких функций могут выступать функции вида:

Цх) = max^Hx^l); ВД = ехр(-|х'|), р> 1

(2.59)

Для функции распределения g\() меры может быть использована такая ДО функция для которой:

g([0,*]) = l[(«-*)/j3v0], (2.60)

где а - параметр, при котором g([0a]) =1, [} - коэффициент нечеткости.

Таким образом, определив функцию (L-R) типа аппроксимация нечеткой меры может быть представлена в виде следующей процедуры. Пусть в результате экспертной оценки имеем значение нечеткой меры gx(A\) ~ g'на подмножествах пространства^:

[A,\i = Ц + 2Д n А} = 0,u А, = X} (2-61)

Будем полагать, что для любого Л, с X нечеткая мера gxfj сосредоточена в точке X; е А{ с X, такой, что:

Ч-т-т}

фе \Aij - длина интервала Ah Тогда мера подмножества Af через (L-R) функцию может быть представлена в виде:

 

 

-L

b

иП

2р\

1 + AL

<Р-

и.Г

2р_

1

(2.62)

2(а-Х:)

Где (р = ——п = inf X. Используя значения gx(Ai), полученные zp

0т экспертов, задача (L-R) аппроксимация функции распределения ^четкости сводится к оценке параметров а и J3 (L-R) функции по Минимуму функционала качества:

н-

JSSx{B)-gXx{B)f

шх

-^min

g:iB) = l[USXgl + l)~1}

(2.63)

(2.64)

Уаким образом, при минимизации функционала (2.62) мы получаем удовлетворительное представление функции распределения нечеткой ры (L-R) - функцией.

рис. 2.5 приведен обобщенный алгоритм идентификации нечетких на основе предложенного выше подхода. Приведенный алгоритм и[фикации по сравнению с подходом, основанным на методе аги, а также с подходом прямого рейтингования является более вным. Например, в случае рассмотрения дискретного анства X размерности CardX = 6, величины погрешности, удоемкости и сходимости оценок нечеткой меры приведены в табл.

Таблица 2.5 - Оценка эффективности алгоритма

Характеристика

Алгор. Саати

Алгор. А*

Прямое

 

(при cardx = 6)

 

 

рейтинг.

1

Погрешность, %

>1.5

>1.7

«10

2

Трудоемкость, кол .ср.

14

6

6

3

Сходимость, кол.итер.

14

4

6

Начало А*

А

            *          

Определ. прдмножествв {Ai11 i = 1,3; Ai'n Ajl= 0; u Ai1=X;i^j} i

Задание Bl* a-,1'1

определение семейства {AiL}

*

I

Определ. степеней предпочтения а, В, Y

Расчет g(AiL)

 

Точн.

да JT^ <СГ Аппрокс

Решение системы Xgi2+gi(l+a)-a = 0; Xg22+g2(l+P)-P = 0; gl = Ш

4

Определение g3(A3!)

Опред. L-R ф-ции

1=1+\

[ Конец )

Рисунок 2.5 - Алгоритм идентификации нечетких мер.

Синтезированный новый эффективный алгоритм идентификации нечетких g\ - мер является важным с практической точки зрения. Он обеспечивает высокую степень адекватности оценок нечеткой меры, снижает вычислительные затраты и обеспечивает итерационный подход, учет внутренней структуры меры, снижение нагрузки на экспертов (в случае их привлечения). Тем самым данный алгоритм позволяет эффективно осуществлять формализацию нечетких данных при описании аналитических задач поддержки принятия решений.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я