• 5

2.10.3. Процентные ставки и методы их начисления

Ссудозаемные операции, составляющие основу коммерческих вычислений, имеют давнюю историю.

Именно в этих операциях и проявляется прежде всего необходимость учета временной ценности денег.

Несмотря на то что в основе расчетов при анализе эффективности ссудозаемных операций заложены

простейшие на первый взгляд схемы начисления процентов, эти расчеты многообразны ввиду

вариабельности условий финансовых контрактов в отношении частоты и способов начисления, а также

вариантов предоставления и погашения ссуд.

Понятие простого и сложного процента

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде

процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени.

Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год, наиболее

распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки,

подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды.

Известны две основные схемы дискретного начисления:

-схема простых процентов;

-схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть

исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая доходность - r (в долях единицы). Считается, что

инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно

увеличивается на величину Р ∙ r. Таким образом, размер инвестированного капитала (Rn) через n лет

будет равен:

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход

исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также

и ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае происходит

капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляются проценты, все время

возрастает. Следовательно, размер инвестированного капитала будет равен:

Как же соотносятся величины Rn и Fn? Это чрезвычайно важно знать при проведении финансовых

операций. Все зависит от величины п. Сравним множители наращения по простым и сложным

процентам, т.е. сравним (1 + п ∙ r) и (1 + r)п. Очевидно, что при п = 1 эти множители совпадают и равны

(1 + r). Можно показать, что при любом r справедливы неравенства (1 + n r) > (1 + r)n, если 0 < n < 1 и

(1 + п ∙ r) < (1 + r)n , если n > 1. Итак:

-Rn > Fn при 0 < n < 1;

-Rn < Fn при n >1.

Графически взаимосвязь Fn и Rn можно представить следующим образом (рис. 2.5):

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

-более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года

(проценты начисляются однократно в конце периода);

-более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год

(проценты начисляются ежегодно);

-обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном

начислении процентов.

В случае краткосрочных ссуд со сроком погашения до одного года в качестве показателя и берется

величина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем

периоде (год). Длина различных временных интервалов в расчетах может округляться: месяц - 30 дней;

квартал - 90 дней; полугодие - 180 дней; год - 360 (или 365, 366) дней.

Пример 2.15. Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 1 тыс. руб. при размещении ее в банке на

условиях начисления простых и сложных процентов, если: а) годовая ставка 20%; б) периоды наращения: 90

дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет. Полагать, что в году 360 дней.

Результаты расчетов имеют следующий вид:

(тыс. руб.)

Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок в 90 дней (менее одного года), то

наращенная сумма составит: при использовании схемы простых процентов - 1,05 тыс. руб.; при использовании

схемы сложных процентов - 1,0466 тыс. руб. Следовательно, более выгодна первая схема (разница - 3,4 руб.).

Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меняется диаметрально: более выгодна

становится схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами. Так, при

ставке в 20% годовых удвоение исходной суммы происходит следующим темпом: при использовании схемы

простых процентов - за 5 лет, а при использовании схемы сложных процентов - менее чем за четыре года.

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично,

поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении

простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или

использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

В практике деятельности хозяйствующих субъектов часто встречаются финансовые контракты,

предусматривающие не единичные выплаты в начале и в конце срока действия контракта, а ряды

последовательных выплат. Самым наглядным примером такого денежного потока является кредит,

получаемый одномоментно или поэтапно с обязательством погашать его в течение нескольких

последовательных периодов заранее оговоренными частями, равными или неравными. Расчеты

финансовых характеристик таких денежных потоков аналогичны рассмотренным, с той лишь разницей,

что каждая из выплат рассматривается как отдельная и независимая от других. Наращенная или

дисконтированная стоимость каждой выплаты определяется по указанным выше формулам, а их

приведенные к одному моменту стоимости суммируются.

Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях,

поэтому для удобства расчетов часто пользуются специальными финансовыми таблицами, в которых

я мультиплицирующих множителей вида (1 + r)n, Ошибка! и некоторых других.

Подробно об использовании финансовых таблиц можно узнать в специальной литературе, например,

[Ковалев, Уланов, 1999].

Области применения схемы простых процентов

На практике многие финансовые операции выполняются в рамках одного года, при этом могут

использоваться различные схемы и методы начисления процентов. В частности, большое

распространение имеют краткосрочные ссуды, т.е. ссуды, предоставляемые на срок до одного года с

однократным начислением процентов. Как отмечалось выше, в этом случае для кредитора, диктующего

чаще всего условия финансового контракта, более выгодна схема простых процентов, при этом в

расчетах используют промежуточную процентную ставку, которая равна доле годовой ставки,

пропорциональной доле временного интервала в году.

где r - годовая процентная ставка в долях единицы;

t - продолжительность финансовой операции в днях;

Т - количество дней в году;

f - относительная длина периода до погашения ссуды.

Для наглядности формулу (2.10.4) можно записать следующим образом:

т.е. дробь r/Т представляет собой дневную ставку, а произведение t r/T - ставку за t дней.

Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды

считать за один день. В зависимости от того, чему берется равной продолжительность года (квартала,

месяца), размер промежуточной процентной ставки может быть различным. Возможны два варианта:

-точный процент, определяемый исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от

89 до 92), в месяце (от 28 до 31 );

-обыкновенный процент, определяемый исходя из приближенного числа дней в году, квартале и

месяце (соответственно 360, 90, 30).

При определении продолжительности периода, на который выдана ссуда, также возможны два

варианта:

-принимается в расчет точное число дней ссуды (расчет ведется по дням);

-принимается в расчет приблизительное число дней ссуды (исходя из продолжительности месяца в

30 дней).

Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются специальными таблицами (одна

для обычного года, вторая - для високосного), в которых все дни в году последовательно

пронумерованы. Продолжительность финансовой операции определяется вычитанием номера первого

дня из номера последнего дня.

В том случае, когда в расчетах используется точный процент, берется и точная величина

продолжительности финансовой операции; при использовании обыкновенного процента может

применяться как точное, так и приближенное число дней ссуды. Таким образом, расчет может

выполняться одним из трех способов:

-обыкновенный процент с точным числом дней (применяется в Бельгии, Франции);

-обыкновенный процент с приближенным числом дней (Германия, Дания, Швеция);

-точный процент с точным числом дней (Великобритания, США).

В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа зависит от значительности суммы,

фигурирующей в процессе финансовой операции. Но и так ясно, что использование обыкновенных

процентов с точным числом дней ссуды, как правило, дает больший результат, чем применение

обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.

Пример 2.16. Предоставлена ссуда в размере 7 тыс. руб. 10 февраля с погашением 10 июня под 20% годовых

(год невисокосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению (F).

Величина уплачиваемых за пользование ссудой процентов зависит от числа дней, которое берется в расчет.

Точное число дней финансовой операции равно 120. Приближенное число дней ссуды равно: 18 дн. февраля + 90

дн. (по 30 дн. трех месяцев: март, апрель, май) + 10 дн. июня = 118 дн. Возможные варианты возврата долга:

1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды:

F = 7 (1 + 120 : 365 0,2) = 7,460 тыс. руб.

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней:

F = 7 ( 1 + 120 : 360 0,2) = 7,467 тыс. руб.

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней:

F = 7 (1 + 118 : 360 0,2) = 7,459 тыс. руб.

Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера, для оценки которой

используются рассмотренные формулы, является операция по учету векселей банком. В этом случае

пользуются дисконтной ставкой. Одна из причин состоит в том, что векселя могут оформляться по-

разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению, т.е. с величиной FV.

Схема действий в этом случае может быть следующей. Владелец векселя на сумму FV предъявляет его

банку, который соглашается учесть его, т.е. купить, удерживая в свою пользу часть вексельной суммы,

которая нередко также называется дисконтом. В этом случае банк предлагает владельцу сумму (PV),

исчисляемую исходя из объявленной банком ставки дисконтирования (d). Очевидно, что чем выше

значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Расчет

предоставляемой банком суммы ведется по формуле, являющейся следствием формулы (2.10.2):

где f - относительная длина периода до погашения ссуды (отметим, что операция имеет смысл, когда

число в скобках неотрицательно).

Пример 2.17. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения

28.09.1997 г. Вексель предъявлен 13.09.1997 г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых.

Определить сумму, которую векселедержатель получит от банка..

Величина этой суммы рассчитывается по формуле (2.10.5) и составит:

PV = 50 (1 – 15 : 360 0,3) = 49,375 тыс. руб.

Разность между FV (номинальной величиной векселя) и PV (дисконтированной величиной векселя)

представляет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу. В данном

примере она составила 625 руб.

Можно выполнить и более глубокий факторный анализ. Дело в том, что доход банка при учете

векселей складывается из двух частей - процентов по векселю, причитающихся за время, оставшееся до

момента погашения векселя, и собственно комиссионных за предоставленную услугу. Как уже

упоминалось выше, теоретическая дисконтная ставка меньше процентной. Однако на практике,

устанавливая дисконтную ставку, банк, как правило, повышает ее в зависимости от условий, на которых

выдан вексель, риска, связанного с его погашением, комиссионных, которые банк считает

целесообразным получить за оказанную услугу, и т.п. Поскольку величина процентов по векселю за

период с момента учета до момента погашения предопределена, банк может варьировать лишь размером

комиссионных путем изменения учетной ставки. Прежде чем рассмотреть простейший пример, изложим

логику факторного анализа дохода банка в этом случае.

Введем следующие обозначения:

PV - стоимость векселя в момент его оформления;

P1 - теоретическая стоимость векселя в момент учета;

P2 - предлагаемая банком сумма в обмен на вексель;

FV - стоимость векселя к погашению;

Δ0 - общий доход банка от операции.

Из формул (2.10.4) и (2.10.5) видно, что функции PV = f(t) и FV = g(t) являются линейными

относительно t, т.е. процессы перехода PV FV и FV → РV, а также структура факторного разложения

при учете векселей могут быть представлены графически следующим образом (рис. 2.6).

Скорость наращения стоимости векселя, т.е. крутизна наклона прямой РVFV, зависит от уровня

процентной ставки r, согласованной между векселедателем и векселедержателем. По мере приближения

срока погашения векселя его теоретическая стоимость постоянно возрастает на сумму причитающихся

за истекший период процентов, таким образом, в момент учета векселя она составит величину Р1,

которую можно рассчитать по формуле (2.10.4). Таким образом, учитывая вексель в банке, его владелец

теоретически мог бы рассчитывать на сумму Р1, а факт ее получения означал бы, что с момента учета

векселя кредитором векселедателя фактически становится банк. Вряд ли такое положение устраивает

менеджеров банка, поскольку неочевидно, что заложенная в векселе доходность в размере ставки r будет

привлекательна для банка. Именно поэтому предлагаемая банком сумма Р2, которая рассчитывается по

формуле (2.10.5) исходя из стоимости векселя к погашению и предлагаемой банком дисконтной ставки,

в принципе, не связанной со ставкой r, в подавляющем большинстве случаев меньше теоретической

стоимости векселя. Разность Δс = P1 – P2 представляет собой сумму комиссионных, получаемых банком

за услугу, оказываемую векселедержателю. С позиции последнего эта сумма представляет собой

затраты, т.е. плату за возможность более быстрого получения наличных. Помимо комиссионных банк

получает также проценты за период с момента учета до момента погашения векселя, сумма которых

рассчитывается по формуле: Δp = FV – Р1. Таким образом, общий доход банка от операции составит: Δ0

= Δp + Δc = FV - Р2. Отметим, что реальные потери векселедержателя составляют величину Δс = P1 - Р2, а

не сумму (FV - Р2), как это кажется на первый взгляд. Дело в том, что с момента учета векселя

кредитором становится банк, поэтому ему и "передаются" проценты за оставшийся период.

Пример 2.18. Предприятие продало товар на условиях потребительского кредита с оформлением

простого векселя: номинальная стоимость 150 тыс. руб., срок векселя - 60 дней, ставка процента за

предоставленный кредит - 15% годовых. Через 45 дней с момента оформления векселя предприятие

решило учесть вексель в банке; предложенная банком дисконтная ставка составляет: а) 20%; б) 25%.

Рассчитать суммы, получаемые предприятием и банком, если используются обыкновенные проценты с

точным числом дней.

Будущая стоимость векселя к моменту его погашения составит:

FV = 150 (l + 60 : 360 0,15) =153,75 тыс. руб.

Срочная стоимость векселя в момент учета его банком составит:

P1 = 150 (1 + 45 : 360 0,15) =152,813 тыс. руб.

Предлагаемая банком сумма рассчитывается по формуле (2.10.5):

а) P2 = 153,75 (1 - 15 : 360 0,2) = 152,469 тыс. руб.;

б) Р2 = 153,75 (1 - 15 : 360 0,25) = 152,148 тыс. руб.

Таким образом, банк получает от операции проценты по векселю за оставшиеся 15 дней в размере

937 руб. (153,75 - 152,81?), величина которых не зависит от уровня дисконтной ставки, и комиссионные

за оказанную услугу в размере:

в случае а): 344 руб. (152,813 - 152,469);

в случае 6): 665 руб. (152,813 - 152,148).

Дисконтирование, осуществляемое по формуле (2.10.5), называется банковским дисконтированием в

отличие от математического дисконтирования, являющегося процессом, обратным наращению

первоначального капитала. При математическом дисконтировании решается задача нахождения такой

величины капитала Р, которая через п лет при наращении по простым процентам по ставке r будет равна

Rn. Решая (2.10.3) относительно Р, получим:

где п необязательно целое число лет.

Пример 2.19. Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан

заплатить 2,14 тыс. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14% годовых и начисляются

обыкновенные проценты с приближенным числом дней?

Обозначая Rn = 2,14, п = 180/360 = 0,5, r = 0,14 и используя математическое дисконтирование, получим:

P = 2,14 / (1 + 0,5 0,14) = 2 тыс. руб.

Внутригодовые процентные начисления

В практике финансовых операций нередко оговаривается не только величина годового процента, но и

количество периодов начисления процентов. В этом случае расчет ведется по формуле сложных

процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки, по

формуле:

где r - объявленная годовая ставка;

т - количество начислений в году;

п - количество лет.

Пример 2.20. Вложены деньги в банк в сумме 5 тыс. руб. на два года с полугодовым начислением процентов

под 20% годовых. В этом случае начисление процентов производится четыре раза по ставке 10% (20% : 2), а схема

возрастания капитала будет иметь вид:

Если пользоваться формулой (2.10.6), то т = 2, n = 2, следовательно:

Fn = 5 (1 + 20% : 100% : 2)4 = 7,3205 тыс. руб.

Пример 2.21. В условиях предыдущего примера проанализировать, изменится ли величина капитала к концу

двухлетнего периода, если проценты будут начисляться ежеквартально.

В этом случае начисление будет производиться восемь раз по ставке 5% (20% : 4), а сумма к концу двухлетнего

периода составит:

Таким образом, можно сделать несколько простых практических выводов:

-при начислении процентов: 12% годовых неэквивалентно 1% в месяц (эта ошибка очень

распространена среди начинающих бизнесменов);

-чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

Заметим, что для простых процентов такие выводы недействительны. Одно из характерных свойств

наращения по простым процентам заключается в том, что наращенная сумма не изменяется с

увеличением частоты начислений простых процентов. Например, наращение простыми процентами

ежегодно по ставке 10% годовых дает тот же результат, что и ежеквартальное наращение простыми

процентами по ставке 2,5% за квартал. При наращении по сложным процентам ежеквартальное

начисление приносит больший результат, чем ежегодное.

Начисление процентов за дробное число лет

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся

от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

-по схеме сложных процентов:

-по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема

простых процентов - для дробной части года):

где w - целое число лет;

f - дробная часть года.

Поскольку f < 1, то (1 + f r) > (1 + r)f, следовательно, наращенная сумма будет больше при

использовании смешанной схемы. Можно показать, что при малых r наибольшая величина разности

между (2.10.7) и (2.10.8) достигается при f 0,5.

Пример 2.22. Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях

ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

По формуле (2.10.7): Fn = 10 (1 + 0,3)2+0,5 = 19,269 тыс. руб.

По формуле (2.10.8): Fn = 10 (1 + 0,3)2 (1 + 0,3 0,5)= 19,435 тыс. руб.

Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.

Встречаются финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по

внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна

целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

а) схема сложных процентов:

б) смешанная схема:

где w - целое число подпериодов в n годах;

f - дробная часть подпериода ;

m - количество начислений в году;

r - годовая ставка.

Обращаем внимание читателя на то, что в приведенных алгоритмах показатели w и f имеют разный

смысл. Так, в формуле (2.10.9) w означает целое число лет в и годах, а f - дробную часть года и поэтому

n = w + f. Однако в формуле (2.10.10) w означает целое число подпериодов в п годах, а f - дробную часть

подпериода и поэтому n = (w + f)/m. Иными словами, при пользовании этими формулами нужно отдавать

себе отчет в том, о каком базисном периоде идет речь.

Пример 2.23. Банк предоставил ссуду в размере 120 тыс. руб. на 27 месяцев (т.е. 9 кварталов, или 2,25 года)

под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов.

Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления

процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

а) Годовое начисление процентов

В этом случае продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т.е. года.

Поэтому возможно применение любой из схем, описываемых формулами (2.10.7) и (2.10.8) и значениями

соответствующих параметров: n = 2,25; w = 2; f = 0,25; r = 0,16.

-При реализации схемы сложных процентов:

-При реализации смешанной схемы:

б) Полугодовое начисление процентов

В этом случае мы имеем место с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым

подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов.

Следовательно, нужно воспользоваться формулами (2.10.9) и (2.10.10), когда параметры формул имеют

следующие значения: т = 2; w = 4; f = m ∙ п - w = 2 2,25 - 4 = 0,5; r = 0,16.

-При реализации схемы сложных процентов:

-При реализации смешанной схемы:

в) Квартальное начисление процентов

В этом случае т = 2; w = 9; f = 0, т.е. продолжительность ссуды равна целому числу подпериодов. Поэтому

формулы (2.10.9) и (2.10.10) дают один и тот же результат:

Fn = 120 ( 1 + 0,04)9 = 170,8 тыс. руб.

Здесь фактически пользуемся обычной формулой наращения сложными процентами (2.10.3), в которой n = 9, а

r = 0,16/4 = 0,04.

Непрерывное начисление процентов

Все рассмотренные ранее начисляемые проценты называются дискретными, поскольку их

начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени (год, квартал, месяц, день, даже

час). Уменьшая этот промежуток (период начисления) и увеличивая частоту начисления процентов, в

пределе можно перейти к так называемым непрерывным процентам.

Уже отмечалось, что в зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы

осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма

увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении

годового интервала. Из формулы (2.10.6) следует:

так как согласно второму замечательному пределу m

lim

(l + 1/m)m = e, где трансцендентное число е

2,718281 называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического

анализа.

Чтобы отличить непрерывную ставку от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение

непрерывной ставки - δ и называют ее силой роста. Таким образом, формула для нахождения

наращенной суммы за п лет при непрерывном начислении процентов принимает вид:

где еσ∙n является множителем наращения, причем этой формулой пользуются и в тех случаях, когда п не

является целым числом.

Пример 2.24. Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начисления процентов за один год,

если исходная сумма Р = 1000 руб. и r = 10%.

Результаты, полученные для некоторых вариантов, приведем в табл. 2.9. В ее предпоследнем столбце

вычислены разности между наращениями с данным числом начисления процентов и базисным, а в последнем

столбце указаны разности между наращенными суммами двух соседних строчек.

Таблица 2.9

Рост наращенной суммы при различной частоте начисления процентов

Как и следовало ожидать, приведенные расчеты подтверждают наличие прямой зависимости между частотой

начисления процентов и накопленной суммой; последний столбец таблицы показывает, что с увеличением

частоты начисления темп прироста накопленной суммы уменьшается.

Эффективная годовая процентная ставка

Различными видами финансовых контрактов могут предусматриваться различные схемы начисления

процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно

годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может

быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ

эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы

универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая

процентная ставка re, обеспечивающая переход от Р к Fn при заданных значениях этих показателей и

однократном начислении процентов.

Общая постановка задачи может быть сформулирована следующим образом. Заданы исходная сумма

Р, годовая процентная ставка (номинальная) r, число начислений сложных процентов т. Этому набору

исходных величин в рамках одного года соответствует вполне определенное значение наращенной

величины F1. Требуется найти такую годовую ставку rе, которая обеспечила бы точно такое же

наращение, как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т.е. т = 1. Иными

словами, схемы {Р, F1, r, т > 1} и {Р, F1, re, m = 1} должны быть равносильными.

Из формулы (2.10.6) следует, что в рамках одного года:

Из определения эффективной годовой процентной ставки следует, что:

отсюда:

Из формулы (2.10.12) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых

начислений, причем с ростом m она увеличивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно

найти соответствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при m = 1. Именно

ставка rе является критерием эффективности финансовой сделки и может быть использована для

пространственно-временных сопоставлений.

Пример 2.25. Предприниматель может получить ссуду: а) либо на условиях ежемесячного начисления

процентов из расчета 26% годовых, б) либо на условиях полугодового начисления процентов из расчета 27%

годовых. Какой вариант более предпочтителен?

Относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды могут быть определены с помощью

расчета эффективной годовой процентной ставки - чем она выше, тем больше уровень расходов. По формуле

(2.10.12):

Таким образом, вариант б) является более предпочтительным для предпринимателя. Необходимо отметить, что

принятие решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель -

эффективная ставка, а она, как следует из формулы (2.10.12), зависит лишь от номинальной ставки и количества

начислений.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычайно важно для аналитика финансовой

службы предприятия. Дело в том, что принятие решения о привлечении средств, например, банковской

ссуды на тех или иных условиях, делается чаще всего исходя из приемлемости предлагаемой

процентной ставки, которая в этом случае характеризует относительные расходы заемщика. В

рекламных проспектах непроизвольно или умышленно внимание на природе ставки обычно не

акцентируется, хотя в подавляющем числе случаев речь идет о номинальной ставке, которая может

весьма существенно отличаться от эффективной ставки. Рассмотрим простейший пример.

Пример 2.26. Рассчитать эффективную годовую процентную ставку при различной частоте начисления

процентов, если номинальная ставка равна 10%. По формуле (2.10.12):

Различие между двумя ставками может быть гораздо более разительным при заключении некоторых

специальных кредитных договоров, например, при оформлении кредита на условиях добавленного

процента.

Сущность этого и подобных договоров подробно рассмотрена в [Ковалев, 1999, с. 652-654].

Математически можно показать, что при m > 1 справедливо неравенство rе > r, которое, очевидно,

следует и из финансовых соображений.

В финансовых соглашениях не имеет значения, какую из ставок указыватьэффективную или

номинальную, поскольку использование как одной, так и другой дает одну и ту же (с любой точностью

приближения) наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку и,

следовательно, формулу (2.10.6). В европейских странах, как правило, вначале определяют

эффективную ставку rе и затем пользуются формулой Fn = Р ∙ (1 + rе )n.

Из формулы (2.10.12) следует, в частности, соотношение для определения номинальной ставки, если

в контракте указаны эффективная годовая процентная ставка rе и число начислений сложных процентов

m:

Пример 2.27. Определить номинальную ставку, если эффективная ставка равна 18% и сложные проценты

начисляются ежемесячно. Поскольку re = 0,18 и m = 12, то:

Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по ставке 18% годовых дает тот же результат, что и

ежемесячное начисление сложных процентов по ставке 16,67%.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я