• 5

Лекция 4 ВИТГЕНШТЕЙНОВСКАЯ ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

После завершения работы над «Логико-философским трактатом» Витгенштейн почти на десять лет прерывает занятия философией. Возвращение к философии произошло в самом конце 20-х годов. Существует предание, что это случилось после того, как в 1928 г. он услышал лекцию Л.Э.Я.Брауэра, голландского математика, основоположника математического интуиционизма. В 1929 г. Витгенштейн вернулся в Кэм-бридж и в последующие годы напряженно размышлял над вопросами работы языка и оснований математики. Ничего из написанного им за это время при жизни не публиковалось. Его взгляды непрерывно развивались и углублялись, так и не обретя настолько законченную форму, чтобы он был удовлетворен и опубликовал свои мысли.

В дальнейшем, при упоминании конкретных работ Витгенштейна, надо помнить, что фактически он таких книг не писал. Они составлены его душеприказчиками, которые выбирают и систематизируют заметки и фрагменты из его обширного рукописного наследия. (За исключением «Философских исследований», которые в основном были скомпонованы им самим.) Другим видом источников являются издания лекций, читавшихся Витгенштейном. Они готовятся на основе сопоставления записей этих лекций, сделанных в свое время различными слушателями.

Возникает сложный вопрос о понимании этих текстов, лишенных структуры и систематичности. И трудность здесь не только в том, что рукописи Витгенштейна остались незавершенными. Эта трудность связана со спецификой разрабатываемого им подхода. Витгенштейн убежден, что философские проблемы по большей части бессмысленны и требуют логического прояснения мыслей (того человека, которого мучают такие проблемы). Каким образом можно прояснить мысли другого человека? Есть метод, называемый сократическим: метод задавания вопросов. Тексты Витгенштейна очень близки этому методу. Они в значительной степени состоят из вопросов. Поэтому трудно передавать содержание того, что говорит Витгенштейн, не огрубляя и не догматизируя его позицию. Любая попытка излагать его взгляды последовательно и систематично, двигаясь от общего к частному и приводя подтверждающую аргументацию, приводит к тому, что его идеи начинают выглядеть весьма догматично. Слишком значительна дистанция между разного рода заметками, вопросами, примерами и последовательным академическим изложением.

Но почему же наследие Витгенштейна имеет такой вид? В том ли дело, что он не успел придать своим рукописям принятую форму? Думаю, что нет. Дело в том, что они направлены на разрушение каких то философских концепций. Для этого Витгенштейн выдвигает вопросы, показывает опровергающие примеры и т.д. Образуют ли они сами какую-то концепцию? Считает ли Витгенштейн, что он знает нечто важное о сущности языка или математики? Это непростой вопрос, о котором спорят и еще долго будут спорить интерпретаторы. Однако нельзя забывать, что сам Витгенштейн неоднократно подчеркивал, что он не строит никакой теории.

Прежде чем перейти к более подробному освещению рассуждений Витгенштейна, я чувствую необходимость обосновать введение темы философии математики в настоящем, довольно кратком пособии. Зачем она нужна, если философией математики занимается лишь малая часть людей, интересующихся философией?

Она нужна прежде всего для понимания Витгенштейна. Философия Витгенштейна — это, в первую очередь, метод, подход. Последний же можно показать только на конкретном материале, иначе раскрыть его невозможно.

Есть и еще одно основание для обращения к такому специальному предмету, как философия математики. Это значение математики для философии. В самом деле, отличительную особенность математики составляет непреложность ее выводов. Невозможно представить себе, чтобы нарушались ее теоремы, например, чтобы однажды обнаружилось, будто 2 х2 не равно 4 или кубическое уравнение не имеет трех корней. Будучи уникальным примером достоверного, неопровержимого, априорного, и при этом широко применяемого в практике познания, математика издавна была для философии и классическим образцом возможностей человеческого разума, и источником неразрешимых проблем, связанных с объяснением ее природы.

В лекции 1 уже говорилось о кризисе оснований, поразившем математику на рубеже XIX-XX вв. Он был связан с открытием парадоксов теории множеств. Естественно было считать, что парадоксы так или иначе связаны со свободным обращением с актуальной бесконечностью, допускавшимся в теории множеств. Допущение актуальной бесконечности — это рассмотрение бесконечных совокупностей как ставших, завершенных, так сказать «присутствующих.целиком и полностью», подобно конечным совокупностям. Сложность и парадоксальность актуальной бесконечности была продемонстрирована еще парадоксами Зенона. Реакцией на кризис явилось формирование различных направлений в основаниях математики [см. подробнее 24; 29]. Важнейшими из них были логицизм, формализм, интуиционизм и конструктивизм. Логицизм, о котором уже говорилось в связи с Г.Фреге и Б.Расселом, стремился свести всю математику к логике и тем самым поставить ее на твердое, незыблемое основание логических истин. Формализм выдвинул программу формализации всей математики, чтобы затем, рассматривая математические теории как обозримые системы символов, в которых по строго определенным правилам из одних цепочек символов выводятся другие, доказать, что не может быть выведена такая цепочка символов, которая при содержательной интерпретации была бы противоречием. Подобное доказательство означало бы доказательство непротиворечивости формализованных математических теорий и давало бы гарантию, что здесь не может появиться никаких парадоксов. Интуиционизм, а позднее конструктивизм выступали с программой реформирования существующей математики, предполагающей изгнание неконструктивных элементов, в первую очередь — актуальной бесконечности.

С тех пор и практически до настоящего времени философия математики оказалась сведенной к обсуждению этих основных программ в исследованиях по основаниям. Появилось утверждение, что на современном уровне развития науки философские проблемы математики -это проблемы оснований. Любой человек, заинтересовавшийся философией математики и обратившийся к литературе по этой теме, в первую очередь встретится именно с такими представлениями.

Выражая свое отношение к идее подведения под здание математики какого-то особой прочности фундамента, он писал: «Математические проблемы того, что называют основаниями математики, составляют для нас ее основание не в большей степени, чем нарисованная скала — основание нарисованной башни» [41, с.171].

Витгенштейновскую реакцию на драматические коллизии, связанные с обнаружением парадоксов в основаниях, можно передать примерно такими словами: а что, собственно» случилось? Эта установка Витгенштейна уникальна: я не могла бы привести других примеров. В первый момент она может вызвать замешательство перед лицом такой массы свидетельств серьезности и важности факта обнаружения парадоксов в теории множеств. Ну, а в следующий момент позиция Витгенштейна побуждает задуматься над тем, что же, в действительности, случилось? Действительно ли обнаружение парадоксов в теории множеств Г. Кантора есть кризис в основаниях математики как таковой? Ведь несмотря на парадоксы, весь организм математики, занимающий столь значительное место в науке и культуре, не переставал функционировать. Математика продолжала развиваться, а- ее результаты по-прежнему имели широчайшее применение в науке и практике, и доверие к ним никоим образом не было подорвано. Почему же появилось представление о кризисе и сложилось то, что можно назвать «кризисным сознанием»? Объяснение, я думаю, состоит в том, что парадоксы поставили под удар не саму математику, а определенные представления о том, какой она должна быть: некую стихийную и повсеместно распространенную философию математики. Она распространена настолько широко, что уже отождествилась с самой математикой. Ее разделяют и математики, и философы, и те, кто выступает против вмешательства философии в дела науки, и те, кто считает такое вмешательство необходимым.

Рассуждения Витгенштейна можно понять как деятельность по прояснению мыслей носителя такой философии. Примерами и наводящими вопросами он хочет лишить данное воззрение его кажущейся очевидности и убедительности. Занимаясь философией математики, как объясняет сам Витгенштейн, он привлекает внимание к фактам, известным всем (кто только знает математику в школьном объеме), но обычно упускаемым из виду. Их не всегда учитывают вследствие присущего всем нам пиетета перед математикой, ибо речь идет о самых простых и известных фактах, которые кажутся слишком мелкими и незначительными, чтобы вспоминать о них в связи с такими важными проблемами, как основания математики [см. 39]. Будучи философом, говорит Витгенштейн, он может рассуждать о математике потому, что собирается анализировать только те затруднения, которые вытекают из слов повседневного языка, таких как «доказательство», «число», «последовательность», «порядок» и т.п. Такие затруднения можно продемонстрировать на примерах из элементарной математики. Но именно они наиболее навязчивы, и от них труднее всего избавиться.

Но пора, наконец, сказать, каковы же отличительные признаки той стихийной философии математики, которую я хочу представить как главный объект витгенштейновских атак. Согласно ей, математика есть подлинное познание. Она открывает истины. Ее теоремы — это истинные утверждения. Но если это истины, то к чему они относятся; если это познание, то познание чего? Математических объектов и их отношений. То есть здесь присутствует допущение, что математические объекты (типа чисел, множеств, функций, пространств и пр.) существуют независимо от познающих их людей — математиков, задачей которых является верное описание своих объектов.

Когда человек наблюдает за реальными физическими предметами, они воздействуют на его органы чувств, в результате чего у него формируются представления об этих предметах. Точно так же, признав особую математическую реальность — универсум математических объектов, — приходится признать у математиков наличие особой познавательной способности, благодаря которой они постигают эту реальность. Например, И. Кант признавал особую познавательную способность, служащую для восприятия математических объектов. Он учил об априорном созерцании объектов арифметики и геометрии. Стихийная философия математики, контуры которой я пытаюсь набросать, признает, что ученые-математики с помощью какой-то внечувственной познавательной способности типа интуиции (или, быть может, логики) могут наблюдать свойства математических объектов. Так, известный математик Дж. Харди сравнивал математика с наблюдателем, который рас-матривает горный хребет и описывает то, что видит. Если он не может разглядеть чего-то из-за расстояния или тумана, то прибегает к помоги приборов. Для математика роль приборов в подобных случаях играют доказательства. В случае же, когда математический факт мож-1 усмотреть непосредственно, никакого доказательства не требуется. 5 таком контексте парадоксы начинают восприниматься как свидетельства того, что в некоторых случаях — например, когда речь идет о бесконечных совокупностях — математическая познавательная способность «плохо различает» и может ошибаться. Отсюда у математиков возникало чувство страха и неуверенности. Скептические сомнения подрывали веру в обоснованность любых результатов, (коль скоро ненадежна та познавательная способность, которой наделил математиков господь бог).

Витгенштейн пытается устранить подобные скептические сомнения, проанализировав их мотивы и показав их безосновательность. Скептические сомнения тесно связаны с комплексом представлений, которые мы только что описали как стихийную философию математики. С помощью разнообразных примеров и сократических вопросов Витгенштейн наводит на мысль, что скептицизм относительно оснований математики вытекает из такой философии математики, которая слишком доверяется ложным аналогиям, например, аналогиям:

—  между математикой и эмпирической наукой; »      - между доказательством и экспериментом;

—  между конечными и бесконечными совокупностями.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я