• 5

От Ньютона до Эйнштейна: математические модели пространства и принцип относительности

Итак, как неоднократно отмечалось (см., например, § 1.1), еще в период

формирования физики как теоретической науки между ней и геометрией

начинают складываться отношения связи. Например, Ньютон обращает

внимание на тот факт, что в реальной практике исследования эмпириче-

ски фиксируется взаимосвязь геометрических представлений и физиче-

ских законов:

геометрия основывается на механической практике и есть не что

иное, как та часть общей механики, в которой излагается и доказыва-

ется искусство точного измерения [Ньютон, 1936. С. 37].

Очевидность, кажущаяся ясность и однозначность концепции Ньютона

вместе с основными законами движения и невероятной прикладной ус-

пешностью классической механики обеспечили длительное господство

механицизма не только в области физики, но и более широко, в интеллек-

туальной культуре человечества. Ранее также отмечалось, что в рамках

первоначальной формы выражения физического пространства евклидо-

вой геометрией вопрос об объективном содержании геометрии фактиче-

ски не ставился. Отношение геометрии как концептуальной системы к

реальному пространству в рамках ньютоновской механики рассматрива-

лось как однозначное воспроизведение геометрической структуры реаль-

ного пространства при достижении определенного, не вызывающего ни у

кого сомнения, уровня абстрагирования от реальных вещей. Таким обра-

зом, опытные факты, которые указывали на справедливость физических

законов, в данном случае законов ньютоновской механики, одновременно

_являлись и эмпирическим базисом евклидовой геометрии.

Поскольку мы говорим о том, что принцип относительности реализу-

ется не только в классической механике, но и, например, в рамках СТО, в

виде наличия инвариантов (в первую очередь речь идет об инвариантно-

сти пространственно-временого интервала), то предметом философско-

методологического анализа принципа относительности может являться

содержание теоретических оснований, позволяющих «прийти» к инвари-

анту и симметричному описанию природы на основе представления о

сохранении законов физики.

Предварительные замечания: соотношение физики и геометрии

До сих пор одно из наиболее широко распространенных мнений состоит в

том, что евклидова геометрия рассматривалась как фон, на котором соз-

давалась классическая механика. Представляется, однако, что связь клас-

сической механики и именно евклидовой геометрии более тесная. Зада-

ние физической геометрии в значительной степени предопределяет саму

классическую механику. Одна из задач данного дополненияпрояснить

тесную взаимосвязь между физикой и геометрией, выделяя определенные

физические следствия заданной геометрии и оценивая их влияние на са-

му теорию. Например, очевидные на первый взгляд свойства пространст-

ва евклидовой геометрииоднородность и изотропностьна самом деле

наравне с физическими постулатами могут считаться одними из фунда-

ментальных аксиом классической механики. В частности, анализ основ-

ного понятия механикиИСОможет указывать на пределы примени-

мости классической механики (а также СТО и ОТО), свидетельствуя об

ограничении (сужении) понятия «принцип относительности» [Розенталь,

1990].

Эмпирические данные свидетельствуют о том, что окружающее нас

физическое пространство достаточно хорошо представляется евклидовой

геометрией. Вообще говоря, это факт нетривиальный. Пространство ха-

рактеризует взаиморасположение точек системы, причем это взаимо-

расположение может характеризоваться не только состоянием самой

системы (расположением точек, составляющих ее элементов), но и

свойствами самого пространства. Это один из наиболее важных посту-

латов нашего представления о пространстве. Например_, расстояние меж-

ду двумя точками всегда определяется структурой пространства, оно не-

однозначно, однозначность определения расстояния задается пространст-

вом, точнее, его метрическими свойствами (см. § 1.4). Постулируя опре-

деление физического пространства, мы определяем однозначно понятие

расстояния. Поскольку в механической системе взаиморасположение то-

чек изменяется во времени, то можно утверждать, что пространство (как

и время) есть мера изменения (эволюции) системы. Таким образом, мы

уже можем указать на одну очевидную взаимосвязь физической и геомет-

рической составляющих моделиэволюционный характер пространства

(и времени), который в идеале должен находить отражение и в физике, и

в геометрии. Традиционно принято считать, что описание эволюции сис-

темыэто удел физической составляющей, однако это не совсем верно.

Что значит эволюция механической системы и почему так важно обра-

тить на нее внимание?

Приведем ряд предварительных замечаний. В течение почти двух с

половиной тысяч лет полагалось, что физическое пространство точно

описывается геометрией Евклида, что обусловлено рядом причин начи-

ная от ее необычной стройности, законченности и лаконичности до опре-

деленной психологической очевидности и успешного практического

применения. Евклидова геометрия, полагавшаяся верхом математической

премудрости, со временем канонизировалась в сознании многих поколе-

ний и считалась единственно возможной и абсолютно законченной и не-

изменной. Однако еще в древности было очевидно следующее: доказать,

что физическая геометрия евклидова, невозможно, поскольку, в частно-

сти, в процессе измерения всегда имеются эмпирические погрешности.

Один из крупнейших ученых начала ХХ в. А. Пуанкаре утверждал, что

вообще невозможно определить физическую геометрию, поскольку в ка-

ждом опыте нам дано «сочетание» физики и геометрии (см. § 1.1). Экспе-

риментально наблюдается лишь совокупность геометрических представ-

лений и физических законов, на что указывал еще Ньютон. Говорим ли

мы об измерениях длины окружности или суммы углов треугольника, мы

всегда явно или неявно постулируем некоторые физические законы.

Таким образом, проверка евклидовости пространства всегда является

косвенной проверкой, однако имеются достаточно хорошие основания

утверждать, что, по крайней мере, окружающее нас макропространство

евклидово. С позиции философии описанные выше трудности определе-

ния физической геометрии не важны, мы легко можем перевести разговор

в плоскость соотнесения теоретической и эмпирической составляющих

модели. Поскольку их нельзя проверить независимо, мы говорим о том,

что имеем дело с теоретическим объектом, содержание которого нельзя

свести к терминам наблюдения (см., например, [Головко, 2005б]). Одна-

ко, поскольку общая цель пособия – «пролить свет» на объективность

содержания, в частности физической геометрии, то мы полагаем, что ана-

лиз эволюции механической системы каким-либо образом позволит нам

сделать однозначный вывод.

Прежде чем перейти к выводам относительно эволюции механической

системы, следует сделать два замечания.

Замечание 1. Согласимся с тем, что окружающее нас макропростран-

ство евклидово. Однако мы знаем, что пространство СТО не является

евклидовым, поэтому нам необходимо показать возможность общего

подхода к описанию как евклидовых, так и неевклидовых пространств (по

крайней мере, для того, чтобы было основание для их сравнения). Основ-

ная заслуга в создании общей теории неевклидовых пространств принад-

лежит Георгу Риману (1826–1866). Его подход основан на постулирова-

нии инвариантных (неизменных) количественных характеристик про-

странств. Существование инвариантов предполагает наличие преобразо-

ваний, которые данные характеристики оставляют инвариантными.

Евклидово пространство обладает двумя примечательными свойства-

ми: оно изотропно и однородно, т. е. свойства пространства не зависят от

направления наблюдения и местоположения точки отсчета, которую

можно отождествить, например, с началом координат. Именно допуще-

ние того, что пространство изотропно и однородно, выражает факт, что

физические наблюдения дают один и тот же результат независимо от то-

го, в какой точке пространства мы проводим эксперимент. Математиче-

ски это выражается в инвариантности скалярного произведения двух век-

торов, в частности, нормы вектора от вращения и трансляции системы

координат. Введем необходимые обозначения. Здесь и далее, не нарушая

общности, будем рассматривать (когда это возможно) случай двумерной

евклидовой плоскости.

Пусть a(x, y) – вектор с началом в начале координат, тогда его норма

есть сумма квадратов координат:

a (a,a) a2 x2 y2 . (1)

Произведем трансляцию начала координат. Это означает, что коорди-

наты концов вектора изменятся на постоянные величины, а следователь-

но, при таком преобразовании его компоненты останутся инвариантными

(неизменными). Поэтому и норма вектора останется неизменной. При

вращении системы координат на угол a, отсчитываемый от оси абсцисс,

координаты изменяются следующим образом:

cos sin ,

sin cos .

x x y

y x y

a a

a a





(2)

Легко убедиться, что преобразование (2) оставляет инвариантным норму

вектора (1):

(a)2 (x)2 (y)2 a2 . (3)

Для бесконечно малых векторов, взятых в окрестности начала координат,

(3) записывается в виде

(da)2 (dx)2 (dy)2 (da)2. (4)

Изотропия и однородность пространства, отраженные в соотношениях

(3) и (4), однозначно определяют пространство Евклида. Отметим, что в

силу этих особенностей структуры пространства выбор начала отсчета

времени t не будет играть решающей роли и не будет влиять на резуль-

тат, например, наблюдений. Иначе говоря, кроме инвариантности относи-

тельно трансляции и вращения пространства необходимо потребовать

инвариантность относительно трансляции времени, т. е. инвариантность

относительно замены:

tt a, (5)

где a const.

Зададимся вопросом, являются ли условия однородности и изотропно-

сти необходимыми и достаточными для доказательства евклидовости

пространства. Нет, они необходимы, но не достаточны. Существует класс

пространств (так называемые пространства постоянной кривизны), кото-

рые характеризуются изотропией и однородностью, но являются неевк-

лидовыми. Простейший примердвумерная сфера. Очевидно, что ее по-

верхность в каждой точке однородна и изотропна, однако она явно отли-

чается от евклидова пространстваплоскости. Возникает вопрос: как же

количественно характеризовать отличие поверхности от евклидовости?

Изучением этого вопроса занимается риманова геометрия. Кратко оста-

новимся на ее основных представлениях. Для любой достаточно гладкой

поверхности вводится интервал

ds2 g dx dx , mn n

m (6)

где m,n 1, 2,..., n ; n – размерность пространства; наличие одинаковых

индексов означает суммирование по ним; 1 (,..., ) n g g x x mn mn – компо-

ненты метрического тензора. В частности, для двумерного евклидова

пространства (4) метрика характеризуется следующими значениями ком-

понент: g11 g22 1, g12 g21 0 .

Для более полного понимания дальнейших рассуждений необходимо

понимать различие между метрическими свойствами пространства в

целом и пространства в бесконечно малом: бесконечно малый объем есть

следствие операции выделения из пространства бесконечно малого эле-

мента. Дело в том, что любой очень малый элемент гладкой поверхности

можно с хорошей точностью представить евклидовым пространством.

Напомним школьный пример: аналитическую функцию y f (x) в ма-

лом интервале вблизи точки 0 0 (x , y ) можно аппроксимировать линейной

функцией 0 0 0 y y f (x )(x x ) . Аналогичную аппроксимацию можно

привести для неевклидовых пространств; в близкой окрестности любой

точки неевклидово пространство почти евклидово, однако это свойство

утрачивается при переходе к большим масштабам. Иначе говоря, для не-

евклидова пространства соответствующим выбором координат можно

добиться того, чтобы интервал выражался аналогом метрики (4):

2 2

1

,

n

i

i

ds dx

(7)

однако нельзя получить аналог (3) для любых конечных интервалов. Если

выражение для ds2 может быть во всем пространстве (а не только ло-

кально) приведено к виду (7), то пространство евклидово. Инвариант-

ность интервала в форме (7) относительно вращений и трансляций декар-

товых систем координат однозначно определяет евклидовость простран-

ства, в частности его однородность и изотропность. (Пример двумерной

сферы, заданной в полярных координатах, изложен, например, в работе

И. Л. Розенталя [Розенталь, 1990. С. 15].)

Замечание 2. Это замечание касается собственно предположения о

связи динамики изменения (эволюции) механической системы с геомет-

рией. Так как в определение евклидова пространства не входит время или

какие-либо кинематические величины, содержащие время (скорость, ус-

корение), то необходимо сделать какое-либо предположение, связываю-

щее динамику и геометрию. Таким предположением является постулат о

существовании класса избранных (выделенных) системинерциальных

систем отсчета. По определению, существует по крайней мере одна

ИСОсистема координат, относительно которой пространство изотроп-

но и однородно. Это допущение тривиально, оно отражает евклидовость

пространства. Нетривиальным динамическим допущением является

предположение о существовании класса ИСО: все системы отсчета,

движущиеся с постоянной скоростью V относительно единственной,

постулированной ИСО, также являются ИСО. Нетривиальность, в част-

ности, заключается в следующем: движение ИСО относительно первона-

чальной системы отсчета выделяет определенное направление, совпа-

дающее с вектором V , тем не менее для новых ИСО свойства изотропии

и однородности сохраняются.

С учетом двух указанных замечаний (однородность и изотропность

пространства, а также наличие класса ИСО) можно прийти к механике

Ньютона, которая является теоретическим воплощением того, о чем го-

ворил Галилей.

Принцип относительности в классической механике Ньютона

Галилей говорит о равномерно движущемся корабле, а Ньютон фактиче-

ски допускает, что все динамические характеристики системы определя-

ются свойствами евклидовости пространства. Допущение изотропности и

однородности физического концептуального пространства является од-

ним из самых сильных допущений, постулированных Ньютоном. Таким

образом, очевидно, что уравнения движения (сами физические явления)

не должны зависеть от скорости движения системы отсчета (изотропия) и

от положения начала координат (однородность). Допущение существова-

ния ИСО в сочетании с исключительными свойствами пространства Евк-

лида приводит непосредственно к ньютоновским уравнениям движения

[Розенталь, 1990].

Предположение об эквивалентности всех ИСО есть не что иное как

принцип относительности Галилея. Равномерное движение ИСО со ско-

ростью V эквивалентно равномерному движению пробного тела со ско-

ростью p n V , таким образом мы приходим к первому закону Ньюто-

на, закону инерции, т. е. фактически к необходимости постулирования

инвариантности описания нашей системы относительно преобразований

Галилея:

,

x x t.

n n



V

V

(8)

Отметим, что вывод динамических уравнений, базирующихся исклю-

чительно на постулировании физической геометрии, невозможен [Розен-

таль, 1990. С. 21]. Нужен некоторый дополнительный физический прин-

цип. Таким принципом является постулат о существовании класса экви-

валентных ИСО, фактически это принцип относительности Галилеяут-

верждение об «одинаковости» законов физики в различных «хороших»

системах отсчета. Эквивалентность, о которой сказано выше, распростра-

няется лишь на системы отсчета, движущиеся равномерно относительно

друг друга. Такой постулат не следует из геометрии, он является следст-

вием опытных данных, в частности рассуждений Галилея.

Выясним, чем еще пришлось «пожертвовать» Ньютону, для того что-

бы включить в свою стройную систему классической механики необхо-

димое ему (галилеевское по духу) утверждение о сохранении законов фи-

зики во всех ИСО. Говоря об изменении интерпретации принципа отно-

сительности, при переходе от представления Галилея к механике Ньюто-

на, мы остановимся на следующих моментах.

Представляется вполне естественным, что инвариантность физических

законов оставляет инвариантными и некоторые физические величины.

Развивая далее наши рассуждения, естественно принять допущение, что

инвариантность свойств физического пространства в различных инерци-

альных системах отсчета может оставлять инвариантными и некоторые

физические величины, а также законы, которые их связывают. Отметим,

что окончательно связь физики и геометрии закрепляется в том факте, что

основные два закона классической механики (второй и третий законы

Ньютона) инвариантны при переходе от одной инерциальной системы

отсчета к другой. Математически тот факт, что законы физики одина-

ковы во всех инерциальных системах отсчета, в рамках евклидова про-

странства выражается в инвариантности законов классической меха-

ники относительно преобразований Галилея. Действительно, вращение и

трансляция системы координат оставляют инвариантной форму второго

закона Ньютона:

2

2 ( ,) .

d x

F x t

dt

(9)

Мы утверждаем, что закон (9) инвариантен при переходе от одной ИСО к

другой, т. е. он инвариантен относительно преобразований Галилея (8).

Отметим, что эта инвариантность несколько уже утверждения, что зако-

ны физики одинаковы во всех инерциальных системах координат. Дело в

том, что преобразование (8) включает постулат, согласно которому время

t протекает во всех ИСО одинаково. Ниже при переходе к СТО мы пока-

жем, что это допущение ограничено, отражает границу области примени-

мости классической механики.

Третий закон Ньютона также является следствием симметрии про-

странства Евклида. Более того, можно показать, что фундаментальные

законы сохранения энергии, импульса и момента импульса есть следствия

основных свойств симметрии времени (трансляция) и пространства Евк-

лида (изотропия и однородность) [Розенталь, 1990. С. 30]. В 1919 г.

Эми Нетер доказала следующую теорему: если уравнения движения ин-

вариантны относительно некоторого общего преобразования, то ему обя-

зательно должен соответствовать закон сохранения. Связь между физиче-

ской и геометрической составляющими в рамках модели структуры про-

странства классической механики чрезвычайно глубока: указанные выше

законы сохранения есть частные следствия теоремы Нетер. Более того,

описанная геометрическая модель удовлетворяет общей идее Г. Вейля,

согласно которой задать физическую геометрию значит задать многооб-

разие, инвариант и группу преобразований, переводящих его в себя.

Итак, уже первая реализация принципа относительности, в том виде, в

каком он был предложен Галилеем, в рамках механики Ньютона накла-

дывает существенные ограничения на сам принцип. В первую очередь,

речь идет о постулировании симметрий пространства и времени на уров-

не геометрии, а также о предположении равноправности ИСО на физиче-

ском уровне модели. Резюмируя сказанное выше, мы приходим к выводу,

что математически выраженная симметрия свойств трехмерного евклидо-

ва пространства (изотропия, однородность) и допущение о существова-

нии класса инерциальных систем отсчета полностью отражают сущность

математической модели ньютоновского концептуального физического

пространства.

Перейдем к анализу принципа относительности в рамках СТО. Факти-

чески мы хотим показать, что принцип относительности является неотъ-

емлемой частью развития физики на протяжении уже без малого четы-

рехсот лет, однако накладываемые, в первую очередь, физические огра-

ничения каждый раз приводят к видоизменению этого принципа, что на-

ходит отражение в самих теориях. Суть принципа относительности оста-

ется прежней, однако содержание изменяется за счет введения различных

геометрических и физических ограничений.

Принцип относительности в специальной теории относительности

Специальная теория относительности базируется на следующих двух

принципах:

1. Законы, по которым изменяются состояния физических систем,

не зависят от того, к какой из двух координатных систем, движущихся

относительно друг друга равномерно и прямолинейно, эти изменения

состояния относятся.

2. Каждый луч света, движущийся в «покоящейся» системе коор-

динат с определенной скоростью V , независимо от того, испускается

ли этот луч света покоящимся или движущимся телом [Эйнштейн,

2000. С. 11–12].

Фактически Альберт Эйнштейн утверждал следующее. Во-первых, все

уравнения, выражающие физические законы, имеют одинаковую форму

во всех ИСО (принцип относительности, который обобщает на все законы

природы инвариантность законов механики, как это было у Ньютона).

Во-вторых, скорость света в пустоте является максимальной скоростью

передачи информации и не зависит от скорости движения ИСО. Однако

СТО можно построить не только исходя из этих соображений, но и бази-

руясь на математическом обобщении пространства Евклида, предложен-

ном в 1908 г. Герхардом Минковским [Розенталь, 1990]. Последний спо-

соб предпочтительней, так как здесь более четко прослеживаются огра-

ничения, которые СТО накладывает на интерпретацию принципа относи-

тельности. Основное достоинство пространства Минковскогогеометри-

зация и наглядная преемственность в механике. Переход от механики

Ньютона к СТО соответствует в геометрическом плане обобщению евк-

лидова пространства. Анализируя его, мы рассчитываем обнаружить из-

менение в интерпретации принципа относительности в том виде, в каком

он используется в рамках механики Ньютона.

Пространство Минковского неевклидово, поэтому по аналогии с (6)

запишем интервал или метрику, определяющую пространство Минков-

ского:

ds2 (cdt)2 dx2 dy2 dz2 (10)

или для конечных интервалов

s2 (ct)2 x2 y2 z2 . (11)

Отметим, что в метрику (10) пространственные и временная коорди-

наты входят с разным знаком и это различие принципиально неустрани-

мо, что значительно существеннее, чем, например, изменение размерно-

сти евклидова пространства. Пространство Евклида всегда выражается

положительной метрикой ds2 0 , пространство Минковского может ха-

рактеризоваться метрикой обоих знаков ds2 0 (в зависимости от

 (cdt)2 ). Такая метрика, например, кардинально меняет наши представле-

ния о будущем и прошлом: если интервал положителен, то между двумя

событиями возможна причинная связь, если отрицателен, то нет. Факти-

чески вся плоскость (t, x) разбивается на конусы абсолютного будущего

и абсолютного прошлого для каждой точки, что является причиной, во-

первых, конечности скорости света, а во-вторых, инвариантности интер-

вала (10). Мы говорим, что метрика в форме (10) «объединяет» простран-

ство и время, которые в рамках СТО образуют единый пространственно-

временной континуум событий. Как отмечалось выше, именно в силу

этого сама СТО есть физическая теория пространства и времени. Заме-

тим, что если в (10) и (11) скорость c, то эти формулы теряют

смысл. Это означает «распад» 4-мерного псевдоевклидова пространства

на 3-мерное пространство Евклида и одномерное время, что фактически

возвращает нас в рамки механики Ньютона.

Мы уже отмечали, что для метрики (1), (4) в рамках механики Ньюто-

на существуют преобразования (8) (преобразования Галилея), относи-

тельно которых метрика инвариантна. Аналогично можно получить пре-

образования, обобщающие наши представления о трансляциях и поворо-

тах начала координат, сохраняющие метрику (10), (11). Это «преобразо-

вания Лоренца», которые были независимо получены Х. А. Лоренцом

(1904 г.), А. Пуанкаре (1900 г.), а еще раньше В. Фойхтом (1887 г.). При-

ведем их в каноническом виде (предполагается, что другие координаты

не изменяются; сам вывод можно найти, например, в работе [Головко,

Симанов, Сторожук, 2003]):

2

2 2 2 2

/

, '

1 / 1 /

x t t x c .

x t

c c





V V

V V

(12)

Эти преобразования имеют смысл при V c , при V c они «превра-

щаются» в преобразования Галилея.

Отметим, что преобразования Лоренца включают допущение о суще-

ствовании систем отсчета, движущихся равномерно относительно друг

друга и обладающих «несколько ограниченной» эквивалентностью. В

данном случае «ограниченность» связана с предположением о неэквива-

лентности «масштабов» пространственных и временных координат. В

качестве примера рассмотрим отрезок 1 2 x x x . Нетрудно видеть, что

связь между длиной отрезка в «покоящейся» и «движущейся» координат-

ных системах имеет следующий вид:

xx 1V 2 / c2 . (13)

Аналогично для интервала времени t получим

tt / 1V 2 / c2 . (14)

Естественно, для малых скоростей эквивалентность систем отсчета вос-

станавливается полностью. Поэтому системы отсчета, движущиеся рав-

номерно относительно собственной системы отсчета, можно называть

инерциальными. Именно в этом смысле мы говорим, что уравнения дви-

жения сохраняются в различных ИСО. Отметим, что для собственной

системы отсчета пространство сохраняет свойства геометрии Евклида

(однородность и изотропность).

Как и в случае механики Ньютона, о которой мы говорим, что ее пол-

ностью определяет принцип относительности с совокупностью свойств

пространства Евклида, можно утверждать, что совокупность свойств про-

странства Минковского «вместе» с принципом относительности полно-

стью определяют механику СТО. Однако в последнем случае мы фикси-

руем, что принцип относительности в очередной раз подвергся ограниче-

нию: под «хорошими» системами отсчета мы теперь понимаем «ограни-

ченно» эквивалентные ИСО.

Зададимся вопросом, существуют ли другие математические про-

странства (кроме пространств Евклида и Минковского), в которых урав-

нения движения аналогичны, например, уравнениям Ньютона или реля-

тивистской механики. Предположим, мы хотим построить еще одно

обобщение механики, а приведенный выше анализ показывает, что «хо-

роший» путь обобщенияэто, например, сохранение изотропности и од-

нородности пространства, но в совокупности с «другими» физическими

постулатами. Такие пространства существуют, это пространства с посто-

янной кривизной (простейший примердвумерная сфера). В таких про-

странствах все точки равноправны, т. е. условия изотропности и однород-

ности выполняются, следовательно, в них можно определить ИСО. По-

стулируя принцип относительности для класса ИСО (как это сделал Нью-

тон) либо добавив постулат об инвариантности скорости света (как это

сделал Эйнштейн), можно вывести соответствующие уравнения движе-

ния, которые будут аналогичны законам механики. Именно так и посту-

пил А. Эйнштейн, переходя к общей теории относительности.

Принцип относительности в общей теории относительности

Сам Эйнштейн переход от СТО к ОТО описывает следующим образом:

Специальная теория относительности основана на идее, что опре-

деленные системы координат (инерциальные системы) являются рав-

ноправными для формулировки законов природы; к таким системам

координат принадлежат те, в которых выполняются закон инерции и

закон постоянства скорости света в пустоте. Но являются ли эти сис-

темы координат на самом деле выделенными в природе, или же эта

привилегированность возникает вследствие несовершенного понима-

ния законов природы? Конечно, закон Галилея на первый взгляд выде-

ляет инерциальные системы из всех других движущихся систем коор-

динат. Но закон инерции обладает недостатком, который обесценивает

этот аргумент.

Теперь представим себе часть пространства, свободную от дейст-

вия сил в смысле классической механики, иными словами, достаточно

удаленную от тяготеющих масс. Тогда в соответствии с механикой

существует инерциальная система K , относительно которой масса М,

предоставленная самой себе в рассматриваемой части пространства,

движется прямолинейно и равномерно. Если теперь ввести систему

координат K, равномерно ускоренную относительно системы K , то

по отношению к системе Kмасса М, предоставленная самой себе,

будет двигаться не по прямой, а по параболе, подобно тому, как дви-

жется масса вблизи поверхности Земли под действием силы тяжести.

Можно ли отсюда заключить, что система K(абсолютно) ускоре-

на? Это заключение было бы неправомерным. Систему Kможно с

таким же правом считать «покоящейся», предполагая лишь, что в сис-

теме Kсуществует однородное гравитационное поле, являющееся

причиной ускоренного движения тел относительно K.

Против такого утверждения можно было бы возразить, что не ука-

заны массы, порождающие это гравитационное поле. Однако их мож-

но считать бесконечно удаленными, не вступая в противоречие с осно-

вами механики Ньютона. Кроме того, мы не знаем, с какой точностью

соответствует действительности закон тяготения Ньютона.

Одно обстоятельство говорит в пользу нашего утверждения. Отно-

сительно системы Kвсе массы, независимо от их конкретных физи-

ческих и химических свойств, падают с одинаковым ускорением. Опыт

показывает, что это справедливо и для гравитационного поля, причем

с необычайной точностью. Примечательный факт, что мы знаем грави-

тационное поле как состояние пространства, в котором поведение тел

такое же, как и в системе K, делает совершенно естественной гипо-

тезу о том, что в системе Kсуществует гравитационное поле, по су-

ществу тождественное полям тяготения, порождаемым массами в со-

ответствии с законом Ньютона.

При этом способе рассмотрения не существует никакого реального

разделения на инерцию и гравитацию, поскольку ответ на вопрос о

том, находится ли тело в определенный момент исключительно под

действием инерции или под комбинированным воздействием инерции

и гравитации, зависит от системы координат, т. е. от способа рассмот-

рения (здесь приведен «динамический аналог», отражающий суть

принципа эквивалентности инертной и гравитационной масс Эйн-

штейна. – Н. Г.).

Итак, общеизвестные физические факты приводят нас к общему

принципу относительности, т. е. к утверждению, что законы природы

следует формулировать так, чтобы они выполнялись относительно

произвольно движущихся систем координат.

Из сказанного выше непосредственно видно, что общий принцип

относительности приводит к теории гравитационного поля. Именно,

исходя из инерциальной системы K , в которой гравитационное поле

отсутствует, и вводя движущуюся произвольным образом относитель-

но K систему координат K, так что в системе Kсуществует точно

известное гравитационное поле, мы можем определять общие свойства

гравитационных полей по общим свойствам тех гравитационных по-

лей, которые получаются при переходе к системе K.

В то же время неверно обратное утверждение, что всякое гравита-

ционное поле соответствующим выбором системы координат можно

исключить, т. е. получить пространство, свободное от тяготения. На-

пример, гравитационное поле Земли нельзя исключить никаким выбо-

ром системы координат. Для конечной области это возможно только в

случае гравитационных полей весьма специфического вида. Но для

бесконечно малой области координаты всегда можно выбрать таким

образом, что гравитационное поле будет отсутствовать в ней (кур-

сив наш. – Н. Г.). Тогда можно считать, что в такой бесконечно малой

области выполняется специальная теория относительности. Тем самым

общая теория относительности связывается со специальной теорией

относительности, и результаты последней переносятся на первую

[Эйнштейн, 2000. С. 78–80].

Чрезвычайно важной для нас здесь является фиксация необходимости

анализа «чрезвычайно малой области» пространства. В контексте приве-

денных выше рассуждений Эйнштейн фактически предлагает перейти от

«работы» с ИСО к «работе» с локально-инерциальными системами отсче-

та. В частности, он подчеркивает, что «в силу универсальности ускорения

в гравитационном полев системе отсчета, движущейся с ускорением,

тело, на которое не действуют силы, будет покоиться или двигаться с по-

стоянной скоростью», т. е. такая система отсчета будет эквивалентна

инерциальной системе. Отметим, что это рассуждение справедливо толь-

ко для случая постоянного гравитационного поля, однако на практике оно

справедливо, поскольку условием реализации является малость размеров

тела по сравнению с неоднородностями гравитационного поля. Поэтому

«свободнопадающую» систему называют локально-инерциальной, на

практике подобная система реализуется, например, в космическом кораб-

ле после выхода на орбиту вокруг Земли. Отметим, что локально-

инерциальная система отсчета будет сохранять свойства однородности и

изотропности пространства, т. е. для нее можно сформулировать свой

принцип относительностиэто и есть обобщенный принцип относитель-

ности Эйнштейна.

Выше мы пришли к выводу, что принцип относительности и допуще-

ние о существовании инерциальных систем отсчета приводят к геометрии

Минковского, которая определяет уравнения СТО. Эйнштейн, по-

видимому по аналогии, сделал фундаментальное допущение: принцип

относительности и существование локально-инерциальных систем отсче-

та приводят к новой геометрии, которая и определяет уравнения гравита-

ции. Естественно, в отсутствие гравитации пространственно-временной

континуум должен представляться геометрией Минковского. Метрика

Минковского задается формулой (10). Рассмотрим ее трансформацию при

переходе к другой системе, движущейсяпадающей») вдоль оси x с по-

стоянным ускорением a относительно первой. Во второй системе отсче-

та с точностью до бесконечно малых второго порядка

dx2 dx1 at1dt1, (15)

так как согласно известной формуле, полученной еще Галилеем,

2

2 1 1x x at / 2 и 2 1 t t . Подставляя (15) в выражение для интервала,

получим

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1 1 1 1 (ds ) (ds ) (c a t )(dt ) (dx ) 2at dx dt . (16)

Это выражение соответствует определению интервала в геометрии Рима-

на (6), т. е. можно предположить, что для описания процессов в системах

отсчета, движущихся с постоянным ускорением, соответствующим дви-

жению тел в постоянном поле, следует использовать геометрию Римана,

частным случаем которой является геометрия Минковского.

Известно, что в механике Ньютона в отсутствие сил тела в ИСО дви-

жутся по прямой, отрезки которой являются кратчайшими расстояниями

между их границами. Поскольку гравитация эквивалентна трансформа-

ции пространства Минковского в пространство Римана (это основная

идея Эйнштейна), естественно допустить, что движение тела происходит

по геодезическимэкстремальным _линиям (аналогам прямых). Таким

образом, основная идея ОТО заключается в следующем: материя (грави-

тирующее тело) искривляет пространство Минковского, а пробные тела

движутся по геодезическим линиям искривленного пространства Римана.

Фактически переход к римановой геометрии не изменяет смысл теории

относительности, на смену ИСО приходит локально-инерциальная систе-

ма отсчета. Дополнительным подтверждением этой идеи служит тот факт,

что сами уравнения ОТО были «сконструированы» исходя из общих со-

ображений, основными из которых были следующие предположения:

1) для слабых и постоянных гравитационных полей уравнения должны

переходить в закон всемирного тяготения Ньютона; 2) уравнения должны

включать энергетические характеристики гравитирующих тел.

В итоге, поскольку понятие локально-инерциальной системы отсчета

имеет смысл только в том случае, если размеры тела существенно меньше

размеров неоднородности поля (тем самым сохраняются свойства изо-

тропности и однородности пространства), переход к римановой геомет-

рии можно сравнить с описанным выше различием между метрическими

свойствами пространства в целом и пространства в бесконечно малом.

Принцип относительности, который постулирует эквивалентность ИСО,

под влиянием физических требований модели (принцип эквивалентности

инертной и гравитационной массы) трансформировался в принцип экви-

валентности локально-инерциальных систем отсчета, а для того чтобы

ключевые геометрические свойства однородности и изотропности не бы-

ли нарушены, мы рассматриваем их «в малом», предполагая, что поле

слабое и постоянное. Переход к локально-инерциальным системам отсче-

та сохраняет саму идею относительности, искривленное пространство «в

целом» не дает такой возможности.

Таким образом, говоря об эволюции принципа относительности (а

фактически о сохранении представления об ИСО), каждый раз при фор-

мировании новой теории мы имеем «пару»: принцип относительности,

практически в том виде, в каком его предложил Галилей, плюс необхо-

димость сохранения евклидовости пространства (ИСО) и некоторое фи-

зическое условие, которое и приводит к новой интерпретации самого по-

нятия относительности. В механике Ньютона таким условием является

эквивалентность класса ИСО, в СТОмаксимальность скорости света и

как следствие «ограниченная» эквивалентность ИСО, в ОТОпринцип

эквивалентности и как следствие эквивалентность локально-

инерциальных систем отсчета. Возвращаясь к основной задаче данного

дополнения, отметим следующее: на наш взгляд, нам действительно уда-

лось показать, что принцип относительности работает не только как

удобный способ представления и поиска объективных инвариантов для

данной модели структуры пространства-времени, но и как регулятив,

контролирующий область применения самой модели.

Можно сделать вывод, что на протяжении всей истории физики суть

принципа относительности остается практически неизменной, но его со-

держание различно в зависимости от конкретной теории. В конце концов,

мы даже можем прийти к заключению, что принцип относительности

может играть определенное методологическое значение при построении

новых теорий, например, заставляя нас искать новые инварианты, преоб-

разования или представления, которые будут сохранять условия анализа

явлений неизменными. В частности, в контексте гл. 2 данное обстоятель-

ство может означать то, что принцип относительности является одним из

наиболее сильных аргументов в пользу реализма, а также в пользу ответа

на вопрос о возможности объективного знания о реальности: говоря об

относительности законов физики, мы, по крайней мере, можем легко ре-

конструировать ту часть физического описания, которая относится к объ-

ективным характеристикам реальности.

В последнее время подчеркивается необходимость создания расши-

ренной специальной теории относительности (РСТО) [Корухов, Шары-

пов, 2005, 2006], основная роль в построении которой отводится планков-

ским величинам (см. гл. 3). С позиции философско-методологического

анализа развития научных представлений о пространстве и времени пред-

ставляется целесообразным сделать ряд замечаний о роли принципа от-

носительности в построении этой фундаментальной теории.

Принцип относительности

и расширенная специальная теория относительности

Итак, опираясь на проведенный анализ, мы принимаем, что принцип от-

носительности _– это фундаментальный принцип, «восстановление» (со-

хранение) которого заставило в свое время ввести в соответствующие

теории (в соответствии с допускаемыми физическими ограничениями,

каждое из которых по-своему ограничивало интерпретацию принципа

относительности) следующие требования: эквивалентность ИСО (меха-

ника Ньютона), «ограниченных» ИСО (СТО) и локально-инерциальных

систем отсчета (ОТО). Предполагается, что эвристический потенциал

принципа относительности (в его методологическом значении [Головко,

2002; Симанов, 2001]) при анализе подходов к созданию РСТО способен

«подсказать» нам «направление действий».

Предположим, мы принимаем принцип относительности в его перво-

начальном виде, продиктованном еще Галилеем: во всех «хороших» сис-

темах отсчета все физические процессы (развитие СТО показало возмож-

ность распространения принципа относительности и на немеханические

законы) описываются одинаковым образом, в частности, мы можем ска-

зать, что законы, описывающие их, сохраняются или имеют одинаковый

вид, являются инвариантными или симметричными. Тогда _основной во-

прос для будущей РСТО состоит в том, чтобы подобрать необходимую

«пару», т. е. некое физическое требование (принцип), которое заставит

нас дать новую интерпретацию принципу относительности, а уже сам

принцип относительности заставит нас подобрать соответствующий вид

ограничения (будет ли он связан с ИСО и каким образом, пока непонят-

но). Формально мы уже сейчас должны задуматься над тем, на что долж-

но быть «похоже» «адаптированное» понятие ИСО в РСТО.

Напомним, что пространство РСТОэто пространство релятивистско-

го эфира, являющегося асимптотическим пределом для вещественно-

полевого уровня реальности, описываемого ОТО и РКМ (см. гл. 3). Един-

ственное объективное свойство (см. § 4.4) пространства РСТО (по край-

ней мере, очевидное на современном этапе исследований), которое «дос-

тупно» вещественному наблюдателю, – это релятивистский инвариант-

ный покой этой среды относительно любого инерциального наблюдателя:

любая система отсчета, которую вещественный наблюдатель свяжет с

эфиром, всегда будет сопутствующей. Данное свойство выражено в ки-

нематическом свойстве релятивистского эфира Vmax 0 . Таким образом,

единственное препятствие для новой физической интерпретации принци-

па относительности в рамках РСТОадекватная трактовка свойства «ин-

вариантного покоя». В свое время Эйнштейн предложил очень продук-

тивный принцип решения подобных проблем, он впервые выдвинул важ-

ный методологический прием, который затем распространился на всю

физику: он придумал мысленный эксперимент (выше, говоря об ОТО, мы

уже приводили один мысленный эксперимент – «лифт» Эйнштейна).

Суть мысленного эксперимента состоит в том, чтобы представить, как

можно измерить то или иное свойство, например время или эквивалент-

ность масс, и предложить операциональный подход к решению пробле-

мы. Фактически именно Эйнштейн закрепил операционалистскую мето-

дологию в физике. История развития физики ХХ в. показала всю мощь

этого приема. Например, вся интерпретация квантовой механики Бора

это оперционализм в чистом виде.

Для того чтобы предложить мысленный эксперимент, который, по

крайней мере, операционально проинтерпретирует понятие «инвариант-

ный покой», необходимо привести ряд предварительных замечаний, свя-

занных с самой постановкой задачи «обнаружения» инвариантного покоя

в контексте принципа относительности. Во-первых, мы должны предпо-

ложить, что требования принципа относительности отражают определен-

ную симметрию законов физики, предположить, что свойство сохране-

ния (относительности, инвариантности) законов физикиэто симметрия,

которая в общем случае «нарушена» и для «восстановления» которой не-

обходимо прибегать к дополнительным физическим соображениям. Фак-

тически в данном дополнении мы использовали именно такую интерпре-

тацию принципа относительности. Отметим, что это предположение не-

тривиально, поскольку мы привыкли к обратному, к тому, что принцип

относительности лишь фиксирует то, что законы физики сохраняются.

Раскрывая содержание этой симметрии, мы надеемся прийти к объясне-

нию причин относительности законов физики, что особенно важно в кон-

тексте построения РСТО. Во-вторых, мы должны поставить вопрос отно-

сительно эмпирического статуса такой симметрии в рамках РСТО. От-

метим, что, например, в рамках СТО или ОТО последний вопрос был ус-

пешно разрешен благодаря введению представления об эквивалентности

соответствующих классов ИСО.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я