• 5

§ 1.5. Метрические и топологические свойства

Проведенный выше анализ основных проблем философско-

методологических исследований научных представлений о пространстве

и времени свидетельствует о том, что наряду с крушением представлений

об абсолютном пространстве и времени в науке XX в. возник вопрос о

том, насколько многообразными могут быть свойства времени и про-

странства. Иными словами, развитие естествознания привело к возникно-

вению проблемы соотношения изучаемого математикой разнообразия

свойств концептуальных пространств и возможного разнообразия про-

странственно-временных свойств, соответствующих различным условиям

и уровням изучения явлений. Например, в рамках диалектического мате-

риализма принцип неисчерпаемости материи имеет определенное отно-

шение к предположению о многообразии свойств пространства и време-

ни. Хотя свойства пространства и времени по степени общности анало-

гичны лишь наиболее фундаментальным свойствам, взаимосвязям и за-

кономерностям, из принципа неисчерпаемости материи следует, что даже

последние не должны абсолютизироваться. В свою очередь, общефило-

софские принципы требуют конкретизации и развития с учетом данных

современной физики, космологии и геометрии.

Одной из наиболее обсуждаемых проблем является проблема метри-

ческих и топологических свойств пространства и времени. Метрические

свойстваэто свойства, связанные с характеристиками заданной в про-

странстве метрики (кривизна, конечность и бесконечносгь, изотропность,

однородность), т. е. по большому счету связанные с определением поня-

тия «расстояние» в данной модели пространства-времени. Топологические

свойства «менее очевидны», они, например, описывают связность, сим-

метрию и мерность пространства, непрерывность, одномерность и необ-

ратимость времени. Разведение этих свойств может быть чрезвычайно

полезно в контексте анализа содержания физической и математической

(геометрической) концептуальных моделей пространства и времени. На-

пример, можно сказать, что, по существу, теория относительностиэто

теория метрических свойств пространственно-временного континуума,

которые зависят от физических условий, проявляя определенное много-

образие (см. дополнение А).

Более подробно, с философской точки зрения, метрические и тополо-

гические свойства пространства и времени рассматриваются в гл. 2, здесь

же приведем лишь ряд важных «установочных» замечаний и остановимся

на ключевых моментах. Например, до сих пор остается неясным, какие

именно физические явления определяют топологические свойства про-

странства и времени, т. е. их «качественный» аспект. Топологические

свойства связаны со свойствами порядка, промежуточности элементов и

сохраняются при изменении метрических свойств (не нарушающих не-

прерывности). Неясно также, существует ли взаимосвязь метрических и

топологических свойств реального пространства и времени и чем она оп-

ределяется в материальном мире. Согласно современным представлениям

топологические свойства более фундаментальны. Именно они связаны с

причинностью, в силу этого применение концептуальных пространств с

неадекватной топологией на уровне физического рассмотрения может

приводить к каузальным аномалиям. В связи с этим возникает важная

методологическая проблема: возможно ли многообразие топологических

свойств пространства-времени и что это означало бы с точки зрения есте-

ственно-научной интерпретации? Могут ли такие пространства быть не

независимыми, связанными в духе принципа соответствия и т. п.?

На общефилософском уровне (с учетом всей совокупности данных

конкретных наук) более предпочтителен вывод о возможности многооб-

разия не только метрических, но и топологических свойств пространства-

времени. Представление о том, что все явления в мире «разыгрываются»

на едином «пространственно-временном» фоне, который служит услови-

ем их существования, не выдерживает критики, так как абсолютизирует

воззрения на пространство и время, приобретенные на основе ограничен-

ного опыта. В то же время известная общность топологических свойств

пространства-времени макромира, их инвариантность по отношению к

макрообъектам и макроявлениям может быть объяснена тем, что эти

свойства обусловлены более фундаментальным уровнем реальности

микромиром. В этом случае топологические свойства пространства и

времени по отношению к макромиру являлись бы «условием» существо-

вания и в то же время могли бы рассматриваться как характеристики

формы бытия объектов микромира. Тем самым, например, для фиксиро-

ванного уровня реальности решалась бы проблема противопоставления

концепций реляционности и субстанциальности пространства и времени.

Подобная точка зрения в методологическом отношении означает, что,

например, при изучении явлений микромира следует пытаться использо-

вать концептуальные пространства с комплексом специфических метри-

ческих и топологических свойств [Шарыпов, 2000]. Причем следует

стремиться к теоретическому обоснованию топологических свойств мак-

ропространства _и времени исходя из закономерностей других, более фун-

даментальных уровней материи. Кроме того, можно сделать вывод, что

геометрия и ее приложения в области создания новых концептуальных

моделей пространства-времени имеют важное значение для развития фи-

зики и других наук.

Эйнштейном было выдвинуто существенное положение, что в опыте

нет отдельно геометрии и отдельно физики, что проверке опытом подле-

жит только сумма: геометрия и физические законы. Эта идея высказыва-

лась и ранее. Ее обоснование связано с открытием множественности гео-

метрий. Еще Г. Риман в 1854 г. указывал на связь выбора аксиом геомет-

рии с объективными физическими закономерностями. Первый успех гео-

метрического подхода в физике связан с работой Г. Минковского 1908 г.,

в которой он ввел представление о четырехмерном мире событий [Мин-

ковский, 1935]. Все следствия специальной теории относительности ока-

зываются теоремами этого многообразия: соответствующий фундамен-

тальный раздел физики «сводится к геометрии». В истории науки извест-

на попытка У. Клиффорда в 1870 г. разработать программу «пространст-

венной теории материи». Он идентифицировал частицы с областями про-

странства, в которых пространство искривлено сильнее, чем в окрестно-

сти. После создания специальной теории относительности и работ Мин-

ковского для Эйнштейна появилась возможность развития подобных

«геометрических» идей в физике, что и привело к созданию общей тео-

рии относительности. В этом описании природы геометрия описывает не

просто искривленное пространство, а искривленное динамическое про-

странство (см. дополнение А).

С создания общей теории относительности началась эпоха использо-

вания геометрических методов и представлений в физике, которая про-

должается по сей день. Во всем многообразии геометрических идей,

вторгающихся в физику, можно выделить два основных направления,

одно из которых связано с непрерывными (архимедовыми) геометриями,

другоес прерывными (неархимедовыми) геометриями. Первое направ-

ление предполагает многообразие метрических свойств пространства при

сохранении топологических, второе предполагает многообразие в том

числе и топологических свойств. К первому направлению относится и

сама общая теория относительности, в которой составляющие фундамен-

тального метрического тензора являются потенциалами поля тяготения, а

теория гравитационного поля интерпретируется как теория структуры

риманова пространства (т. е. геометрия).

В начале 60-х гг. американский физик-теоретик Дж. Уилер, обобщив

идеи Клиффорда и Эйнштейна, попытался создать всеобъемлющую фи-

зическую теорию, основанную лишь на геометрии пустого искривленного

пространства-времени. Эта программа носит название «геометродинами-

ки». Уилер построил геометрическую модель объекта, «заменяющего

массу», – геона. Геоны основываются на решении уравнений общей тео-

рии относительности, могут иметь различную величину и представляют

собой область сильно искривленного пространства-времени. Эта область

может стабильно существовать, перемещаться и взаимодействовать с

другими подобными областями, т. е. вести себя как частица вещества.

Стабильность геона обеспечивается собственным гравитационным при-

тяжением. Принципиально иной подход связан с предложенным в 1921 г.

малоизвестным польским физиком Т. Калуцей вариантом пятимерной

теории пространства-времени, интерпретирующим гравитацию и элек-

тромагнетизм. Пространство в этой теории четырехмерно, а возникающие

новые геометрические величины отождествляются с электромагнитными

потенциалами. Результаты Калуцы были обобщены в 1926 г. О. Клейном,

который получил уравнения движения заряженной частицы в гравитаци-

онном и электромагнитном поле.

Теория КалуцыКлейна была отвергнута физиками после открытия

новых квантовых (слабых и сильных) взаимодействий; это свидетельст-

вовало о том, что данная теория отнюдь не выполнила задачу геометри-

зации современной физики. Однако по мере углубления понимания при-

роды этих новых взаимодействий вновь получало развитие стремление к

их объединению за счет изменения представлений о свойствах простран-

ства-времени. Теория Великого Объединения (электромагнитных, силь-

ных и слабых взаимодействий) описывает все три различных квантовых

взаимодействия с использованием идеи существования определенных

абстрактных симметрий силовых полей, что косвенно указывает на про-

явление некоторой скрытой геометрии. Абстрактные симметрии калиб-

ровочных полей приобретают конкретность в форме геометрических

симметрий, связанных с дополнительными измерениями пространства.

Таким образом, современный вариант теории КалуцыКлейна постули-

рует 11-мерное пространство-время. Семь дополнительных пространст-

венных измерений компактифицированы в семи-сферу. Каждая точка

макропространства заменяется семимерным гипершаром. 11-мерный ва-

риант теории является наиболее простым, однако это отнюдь не единст-

венно возможное решение (см. дополнение Б). Многомерные теории в

явном виде ставят проблему объяснения факта трехмерности макропро-

странства. Возникает ряд важных вопросов: в чем причина спонтанной

компактификации дополнительных измерений, возможно ли иное соот-

ношение числа компактифицированных и «развернутых» измерений и др.

Итак, учет симметрии уравнений силовых полей приводит к их воз-

можной интерпретации на языке геометрии при условии изменения на-

ших представлений об одном из топологических свойств пространства

размерности. Кроме того, известны гипотезы, затрагивающие и другие

топологические свойства пространства. Уилером была предложена гео-

метрическая интерпретация электрического заряда. Точечный заряд клас-

сической электродинамики, в котором сходятся силовые линии электри-

ческого поля, заменяется микроскопическим «входом в туннель», кото-

рый через другое измерение выходит в другой области трехмерного про-

странства, что соответствует положению противоположного электриче-

ского заряда. Электрические силовые линии (в чисто геометрическом ас-

пекте) проходят через «ручку» многосвязного пространства. В этой тео-

рии топологические свойства макропространства, очевидно, обобщаются

иначе, чем в 11-мерном варианте Теории Великого Объединения.

Все указанные выше варианты геометрии концептуального простран-

ства-времени отличаются теми или иными топологическими свойствами

друг от друга и от макропространства-времени. Отметим, что разработка

этих вариантов стала, по существу, возможной и получила обоснование

после опубликования в 1899 г. работы Д. Гильберта «Основания геомет-

рии» [Гильберт, 1923]. По Гильберту, аксиомы геометрии Евклида делят-

ся на пять групп: связи, порядка, конгруэнтности, параллельности и не-

прерывности. Группа аксиом непрерывности состоит из двух аксиом: ак-

сиомы непрерывности Архимеда (если даны два отрезка, то всегда суще-

ствует кратное меньшего отрезка, которое больше большего отрезка) и

аксиомы полноты (множество, в котором выполняется вся система акси-

ом, полно; к нему нельзя добавить новые элементы, чтобы сохранилось

выполнение всех аксиом). Впоследствии было строго доказано, что пер-

вая аксиома дает возможность сопоставить каждому отрезку некоторое

число, характеризующее длину этого отрезка, а вторая позволяет для лю-

бого числа установить существование отрезка, длина которого измеряется

этим числом. Тем самым устанавливается изоморфное соответствие меж-

ду полем вещественных чисел и точками пространства. Главная заслуга

Гильберта заключается в доказательстве возможности построения гео-

метрии во всем существенном без использования аксиомы непрерывно-

сти. Геометрию, в аксиоматике которой отсутствуют аксиомы непрерыв-

ности, называют неархимедовой. Гильберт построил неархимедову сис-

тему чисел, т. е. систему, в которой все аксиомы выполняются, а аксиома

Архимеда (следовательно, и аксиома полноты) не имеет места; иными

словами, он расширил континуум, так что архимедов континуум является

только частным случаем неархимедова. Этой неархимедовой системе чи-

сел сопоставляется неархимедово пространство и соответственно неар-

химедова геометрия [Шарыпов, 1998, 2000].

В § 2.3 мы еще раз вернемся к проблеме соотношения метрических и

топологических свойств пространства-времени, хотя обсуждение будет

иметь уже скорее философский характер, чем конкретно-научный. За-

вершить данную главу мы бы хотели кратким экскурсом в одну из наибо-

лее интересных топологических проблемпроблему числа измерений

пространства-времени.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я