• 5

6. ПРЕДЕЛЫ КОСМИЧЕСКОГО ВРЕМЕНИ

Теперь мы должны рассмотреть важное возможное

ограничение понятия космического времени, о котором

ранее не подозревали и предвестником которого было

любопытное свойство модели мира де Ситтера, обнару-

женное им при первом ее исследовании в 1917 году.

Де Ситтер так выбрал систему координат, что эта

модель оказалась статической, а ее метрика —заданной

соотношением (11), а именно

sin

в котором через R мы обозначим У(3/Л). Отметим, что

для часов, например для внутриатомной колебательной

системы, покоящейся в некоторой точке (г, 8, <р по-

стоянны)

c(s2 = (l—г2//?8) Лâ. (25)

Поскольку ds представляет собственное время, а

dt —соответствующий временной интервал относительно

А (наблюдатель находится в начале координат т = 0),

мы видим, что кажущаяся длительность относительно

этого наблюдателя временного интервала между лю-

быми двумя неодновременными событиями, разделен-

ными расстоянием г —R, должна быть неопределенной.

Следовательно, в опыте наблюдателя А имеется гори-

зонт, на котором течение времени как бы останавли-

вается так же, как во время чаепития Полоумного Хет-

тера на часах всегда шесть часов. Этот горизонт (по

аналогии со скольжением Солнца по âгоризонту в тече-

ние полярного дня) времени, однако, является лишь ка-

жущимся явлением, как радуга, а поток времени, ощу-

щаемый любым наблюдателем на этом горизонте, бу-

дет тем же, что и для наблюдателя А. Но время, необ-

ходимое для света или, наконец, для любого электромаг-

нитного сигнала, для прохождения от этого наблюда-

теля до А, будет бесконечным, поскольку интеграл

как это можно получить из приравнивания ds = 0, рас-

ходится.

В первоначальную форму метрики космическое вре-

мя не входило, но сейчас мы прекрасно понимаем, что

самая подходящая метрика для вселенной де Ситтера,

скорее, задается выражением (14), чем выражением

(11), так что эта модель мира может в лучшем случае

рассматриваться как предельная форма расширяющейся

вселенной. Та же самая метрика (14) характеризует и

однородные модели мира в устойчивом состоянии, кото-

рые зависят от непрерывного творения вещества. В эти

модели' входят понятия космического времени, но

в них также используется представление о кажущемся

горизонте времени при описании вселенной любым

наблюдателем, связанным с фундаментальной ча-

стицей.

Хотя это любопытное свойство времени во вселенной

де Ситтера было известно уже много лет, интерес к нему

возрос после 1948 года, когда впервые была высказана

мысль о возможности непустой вселенной с метрикой де

Ситтера. Спор о свойствах временного горизонта в такой

1 Модель Бонди —Голда не связана с общей теорией относи-

тельности, а модель Хойла выводится из полевых уравнений этой

теории, к которым добавлен новый член, связанный с постоянной

скоростью творения вещества.

системе ' обнаружил удивительную бедность аргумен-

тации среди теоретиков-космологов по вопросу об опре-

делении этого понятия. По моему предложению, мой

ученик У. Риндлер2 подробно рассмотрел этот вопрос;

он не ограничился в своем исследовании моделями мира

с пространством-временем де Ситтера, а рассмотрел все

модели, основанные на метрике Робертсона — Уокера (16).

Полностью эта метрика может быть записана в виде

где t обозначает космическое время, г —сопутствующую

радиальную координату, 6 и <р —углы, измеренные в лю-

бой фундаментальной частице г = О, R (t)—коэффи-

циент расширения, k —показатель кривизны 0, 1 или —,

а с —локальная скорость света. Фундаментальные ча-

стицы заданы постоянными значениями (г, 8, <р), а г

может принимать все значения, за исключением случая

k = —1, когда мы предполагаем, что г < 2, и случая

k = 1 (случая замкнутой вселенной с конечным про-

странственным сечением при / = const), когда каждая

частица на линии зрения соответствует бесконечному

множеству значений г.

Удобно ввести вспомогательную переменную

как иную сопутствующую радиальную координату. Соб-

ственное расстояние в момент космического времени t\

между началом пространственных координат и фунда-

ментальной частицей, имеющей координату г = г\, за-

дается выражением

так что уравнение движения этой частицы может быть

записано в виде

Уравнение движения фотона, излученного по направле-

нию к Л в момент времени t\ этой фундаментальной ча-

стицей, задается выражением

I t |

°^)-/Ä- (28)

<i J

Следует делать различие между двумя понятиями

мирового горизонта:

(1) горизонт событий, который для заданного фун-

даментального наблюдателя А представляет собой ги-

перповерхность в пространстве-времени, разделяющую

все события на (а) те, которые наблюдались, наблю-

даются или будут наблюдаться ' А, и на (б) те, которые

не доступны наблюдению А;

(2) горизонт частиц, который для данного фунда-

ментального наблюдателя А и космического времени t0 является поверхностью в пространстве моментов време-

ни t á= t0, разделяющей все фундаментальные частицы

'на (а) те, которые уже наблюдались А в момент вре-

мени to, и на (б) те, которые уже не могут наблюдаться

к этому моменту времени.

Примером первого типа является случай вселенной

де Ситтера, а последним —случай вселенной Эйнштей-

на—де Ситтера. Некоторые модели мира, например

модель Леметра, имеют горизонты обоих типов, а неко-

торые, например модель Милна, не имеют ни одного

горизонта. С целью облегчить создание наглядного

представления об этих двух типах горизонтов мы мо-

жем изобразить вселенную в виде расширяющегося

шарика2 .

Фундаментальные частицы можно изобразить в виде

больших пятен, равномерно нанесенных на материал

шарика. Фотоны можно изобразить в виде маленьких

точек, движущихся по поверхности шарика по большим

кругам с постоянной скоростью относительно материала

шарика. Горизонт событий будет существовать для А

и аналогично для всех других фундаментальных

1 Под áнаблюдениемâ мы везде понимаем áнаблюдение с по-

мощью идеального прибора неограниченной чувствительностиâ.

2 Эта аналогия подразумевает замкнутость вселенной, но для

открытой вселенной можно построить аналогичное представление.

Строго говоря, следует рассматривать только поверхность шарика.

наблюдателей в тех моделях, скорость расширения кото-

рых есть и остается достаточно большой для некоторых

малых точек, движущихся к А, но никогда Л недостигаю-

щих. Как образно выразился Эддингтон, свет в этом

случае áподобен бегуну на расширяющейся дорожке,

причем финиш удаляется от него быстрее, чем он может

бежатьâ '. С другой стороны, горизонт частиц будет су-

ществовать для А, если, например, шар расширяется из

начального состояния, близкого к точке, а начальная

скорость маленьких точек изменяется так, что любая

данная точка из них может достичь Л за конечный ин-

тервал времени. Ни одна из них не достигнет-Л, если

скорость расширения не станет меньше начального зна-

чения их скорости, а некоторые никогда не достигнут

А, если скорость расширения после первоначального

уменьшения начнет опять достаточно быстро повы-

шаться. Это имеет место в модели, обладающей гори-

зонтами обоих типов, например во вселенной Леметра,

которая сначала резко взрывается, а затем медленно

проходит через состояние неустойчивого равновесия

(вселенная Эйнштейна), а затем расширяется со все

возрастающей скоростью.

Необходимым и достаточным условием существова-

ния в данной модели мира горизонта событий является

сходимость интеграла

со

dt

R (t) '

так как в любой данный момент t0 космического вре-

мени фотон, излученный по направлению к Л фунда-

ментальной частицей

со

/

с dt

( те-

достигает А(1 = 0), лишь если t имеет бесконечное зна-

чение, что ясно вытекает из соотношения (28). Фотоны,

излученные в момент t0 из фундаментальных частиц,

соответствующих значениям а > о0, никогда не смогут

достичь Л, поскольку / никогда не будет равно нулю,

а фотоны, излученные из фундаментальных частиц

с о<ао, достигнут Л через конечный отрезок времени.

Горизонт событий, когда он существует, является дви*

жущимся фронтом сферической световой волны ', при^

чем его собственное расстояние от Л в момент времени

t задается выражением

-R(t)f

с dt

(29)

События, расположенные вне этого горизонта, на-

всегда недоступны для наблюдения А.

Из соотношения (28) следует, что фотоны, излучен-

ные в момент времени t из данной частицы P, r которой

равно rlt достигнут А в момент времени h, заданный

уравнением

Если для заданного г\ и некоторого t = ta уравнение

(30) имеет решение для t, то мы увидим, что для одного

и того же ri и для любого t > t0 оно всегда имеет неко-

торое решение для t\. Таким образом, в любой момент

времени, более поздний, чем t0, из P в А придет сигнал.

При стремлении t к бесконечности t\ будет стремиться

к предельному значению, являющемуся собственным

временем, в которое P пересекает горизонт А. Хотя,

строго говоря, никакая частица не может скрыться от

наблюдения, ее история, зафиксированная Л, стано-

вится все более и более удаленной, причем событие, со-

стоящее в пересечении ею горизонта, наблюдается А

только в его бесконечном будущем. Следовательно, это

событие в P и все последующие события в P никогда не

будут наблюдаться2 Л.

1 За исключением случая метрики де Ситтера.

2 Все фундаментальные частицы, отличные от А, находящиеся

в некоторый момент времени внутри горизонта событий наблюда-

теля А (если этот горизонт существует), должны в конечном счете

пройти в своих собственных историях вне его. Тем не менее, с точ-

ки зрения А, если фундаментальная частица однажды явилась ви-

димой, то она навсегда останется видимой при условии, что А имеет

прибор неограниченной чувствительности.

Уже установлено, что метрика де Ситтера удовле-

творяет условию существования горизонта событий, по-

скольку в этом случае

Горизонт событий находится на постоянном расстоянии

са от А. Семейство моделей мира с коэффициентами

расширения, пропорциональными tn, включает как част-

ные случаи вселенную Дирака (п = Уз), вселенную

Эйнштейна —де Ситтера (п = 2/з), вселенную Милна

(п = 1) и расширяющуюся вселенную с постоянным

ускорением (п = 2). Условие существования горизонта

событий для членов этого семейства имеет вид п > 1,

а когда оно выполняется, то этот горизонт расширяется

с постоянной скоростью.

Необходимым и достаточным условием существова-

ния в данной модели мира горизонта частиц является

сходимость '

dt

или в тех случаях, когда определение R (t) простирается

до отрицательного бесконечного значения t при сходи-

мости соответствующего интеграла, имеющего в каче-

стве нижнего предела —оо. Так как из уравнения (28)

следует, что в любой данный момент времени t0 все

фундаментальные частицы, для которых

<о

с dt

еще не наблюдались А, а все другие наблюдались. Сле-

довательно, поверхность (являющаяся сферой в про-

странстве / = ^о), заданная, скажем,

г cat

= J ТЛИ = (31)

1 Нижний предел интеграла относится к тем моделям с сингу-

лярностью (творением), имеющей место в течение конечного про-

межутка времени, которые считаются существующими в нулевой

момент времени.

разделяет все фундаментальные частицы на те, которые

могут наблюдаться А в момент времени t = t0 или до

него, и на те, которые не могут наблюдаться в этих

условиях. Собственное расстояние этого горизонта от А

дается выражением

(32)

нижний предел которого следует заменить на —оо, если

модель определена для отрицательного бесконечного

значения /.

Поскольку R (t) положительна и конечна, то как

следствие этого

t

является возрастающей функцией t. Следовательно, из

(31) мы делаем вывод о том, что с течением времени

все больше и больше частиц становится видимым Л.

Если ф(^) сходится при стремлении / к бесконечности,

все фундаментальные частицы, для которых

•/*

с dt

(О1

полностью находятся вне наблюдательных возможно-

стей А, модель имеет как горизонт событий, так и го-

ризонт частиц. Как и в предыдущем случае, однажды

увиденная фундаментальная частица всегда продолжает

оставаться видимой.

Из всех моделей с коэффициентом расширения, про-

порциональным tn, лишь те, у которых п < I, обладают

горизонтом частиц, в частности он имеется во вселенной

Дирака и вселенной де Ситтера. Об этом классе расши-

ряющихся вселенных мы можем поэтому сказать, что

вселенные с возрастающей скоростью расширения

(п>1) обладают горизонтами событий, а вселенные

с убывающей скоростью расширения (п < 1) обладают

горизонтами частиц. Равномерно расширяющиеся мо-

дели (п = 1) не имеют ни того, ни другого горизонта.

При формулировке определений горизонта предпола-

галось, что наблюдатель А остается привязанным к

конкретной фундаментальной частице, так что для него

самого космическое время существует. Если мы ослабим

это ограничение и наблюдатель сможет перемещаться

по вселенной с локальной скоростью, меньшей с, то

класс наблюдаемых им событий увеличится. Тем не ме-

нее если модель обладает и горизонтом событий, и го-

ризонтом частиц, как определялось ранее, то все равно

будут существовать события, абсолютно недоступные

для наблюдателя А, как бы он ни двигался. Более того,

если бы модель обладала горизонтом событий для А до

того, как он начал двигаться, то он никогда не смог бы

двигаться так, чтобы при этом быть в состоянии наблю-

дать каждое событие во вселенной. Его горизонт вре-

мени изменится, но он никогда не сможет быть полно-

стью устранен.

Таким образом, утверждение Локка, цитировавшееся

в начале настоящей главы, о том, что каждая часть

пространства находится в каждой части длительности,

а каждая часть длительности находится в каждой части

протяженности, не может более приниматься без ого-

ворок. Так как, хотя относительность времени является

лишь локальным явлением, мы должны считаться с воз-

можностью таких событий во вселенной, сведения о ко-

торых никогда, даже в принципе, не могут быть доне-

сены до данного наблюдателя, как бы долго он ни жил,

и поэтому оно никогда не сможет стать частью его вре-

менных переживаний.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я