• 5

2. ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ И ВРЕМЯ

Мы уже видели, что в своей формулировке специаль*

ной теории относительности Минковский записал с?52так,

что его размерность была равна квадрату длины. Если,

наоборот, мы запишем его dt2—(dxz + dy2 + dzz)/c2, то

ds будет иметь размерность времени. Когда ds2 положи-

телен, так что

мы можем записать левую часть этого неравенства как

V2, где V обозначает равномерную и прямолинейную

относительную скорость, с точки зрения первоначаль-

ного наблюдателя (которого мы связываем с инерциаль-

ной системой отсчета), который в момент времени t

находится в точке (х, у, г), a в момент времени t + dt

находится в точке (х + dx, у + dy, z + dz). Следова-

тельно,

ds = dtV(l V*/c2). (5)

Поскольку ds —инвариант, он должен представлять со-

бою интервал времени, который должен быть зареги-

стрирован инерциальными часами, движущимися сточки

зрения первого наблюдателя из (х, у, z), где они были

в момент времени t в (х + dx, у +dy, z + dz), где они

оказались в момент времени t + dt. Таким образом,

когда его квадрат положителен, то физический смысл

ds будет состоять в том, что оно представляет собствен-

ное время, релятивистский заменитель абсолютного вре-

мени ньютоновской физики.

Это истолкование диаграммы пространства-времени

Минковского дает ясное наглядное представление о си-

туации, приводящей к парадоксу часов Эйнштейна, рас-

смотренному в предыдущей главе. На рис. 9 линия 1

обозначает мировую линию (с точки зрения А) часов,

движущихся вместе с Л из события Е0 (когда В рас-

стается с Л) в событие E i (когда В возвращается к Л).

Линии 2 и 3 обозначают две возможные мировые линии

(с точки зрения" Л) часов, движущихся вместе с В.

Вдоль линии 2 относительная скорость В всегда яв-

ляется равномерной и прямолинейной, но она меняется

скачком в событии Е\, а вдоль линии 3 она изменяется

t-ось А

Рис. 9.

непрерывно. .В силу соотношения (5) мировая линия 1

является линией максимальной áдлиныâ, соединяющей

ЕО и EI, то есть собственное время между Е0 и £, яв-

ляется наибольшим вдоль этой линии. Если линию 2

разделить на большое число малых отрезков, каждый

из которых имеет одну и ту же проекцию Ы на оси t

наблюдателя Л, то ясно, что áдлинаâ каждого из этих

сегментов вдоль линии 2 должна быть меньше Ы и, сле-

довательно, их сумма должна быть меньше собственного

времени от £0 до EJ для наблюдателя Л. Как заметил

Минковский, элемент собственного времени ds не яв-

ляется полным дифференциалом, а зависит от мировой

линии, вдоль которой он отсчитывается. В случае не-

прерывной кривой линии, например линии 3, сравнение

с линией 1 часто основывается на áнедоказуемом допу-

щенииâ Эйнштейна о том, что скорость движущихся ча-

сов в любой момент времени зависит только от относи-

тельной скорости в этот момент времени и не зависит от

их ускорения. Тем не менее это допущение (которое,

как мы видели выше, ни в коей мере *не является оче-

видно истинным) является побочной проблемой при

рассмотрении парадокса часов. Главный результат уже

получается, если В следует по линии 2, и вообще соб-

ственное время, истекшее между Е0 и Е\, должно зави-

сеть от конкретной мировой линии, по которой происхо-

дит движение. В данном случае противоречие с

принципом относительности отсутствует, поскольку,

вообще говоря, между двумя событиями можно прове-

сти лишь одну линию (инерциальную линию). Времен-

ное запаздывание часов наблюдателя В по сравнению

с часами наблюдателя А при встрече их в Е1 обусло-

влено тем, что эти двое часов двигались по мировым

линиям различных типов,

В общей теории относительности основной инвариант

ds взят как метрический элемент или элемент áрасстоя-

нияâ пространства-времени и задан квадратичной диф-

ференциальной формой' gijdxldxi, которая локально

сводится при соответствующем выборе пространствен-

ных и временных координат к инварианту специальной

теории относительности в форме Минковского. Посколь-

ку, согласно принципу эквивалентности Эйнштейна, мы

можем устранить локальное действие тяготения путем

соответствующего выбора ускоренно движущейся си-

стемы отсчета, и Эйнштейн постулировал, что если

можно пренебречь тяготением, то общая теория относи-

тельности сводится к специальной теории относительно-

сти. Следовательно, в случае положительного ds2

в общей теории относительности ds обозначает соб-

ственное время, связанное с парой точек-моментов (х1)

и (х* + dx1} в обобщенных координатах, то есть времен-

ной интервал, регистрируемый инерциальными часами

при движении от одной точки-момента к другой.

Например, рассмотрим метрику Шварцшильда, опи-

сывающую пространство-время при наличии тяготеющей

1 Согласно введенному Эйнштейном условию, проводится сум-

мирование по индексам (', / = 1, 2, 3, 4.

частицы в начале пространственной системы координат,

а именно

с2/-

_ .

cs l

(6)

где G —постоянная тяготения, с —скорость света (на

больших расстояниях от начала координат), m —масса

частицы, а (г, 6, Ф) —полярные координаты. Пусть А

и В обозначают две точки, фиксированные в простран-

стве (не в пространстве-времени). Рассмотрим световой

сигнал, который выходит из А во время tA и приводит

в В во время tB. Поскольку поле статично, световой

сигнал, который выходит из Л в момент времени tA + Ы,

придет в В в момент времени tB + Ы. Интервал соб-

ственного времени между отправлением этих сигналов

из А равен bsA =8rf |Л —2О/га/е2гл, а интервал собствен-

ного времени между приемом этих сигналов в В равен

bsBty\ —2Отс2гА, где ГА, гв обозначают расстоя-

ния от А и В до начала координат. Пусть из А сигнал

излучается с частотой VA, а в В принимается с частотой

VB. Тогда \A$SA vB8Sß, поскольку число сигналов, вы-

шедших из А, равно числу сигналов, принятых в В.

Следовательно, если В находится значительно дальше

от начала координат, чем А, стандартная спектральная

линия (то есть определенная линия, связанная с кон-

кретным переходом между энергетическими уровнями,

в Л) по сравнению с соответствующей линией в В будет

казаться более красной, причем относительное измене-

ние частоты приблизительно равно

Gm

c'r. (7)

Этот вывод известной формулы Эйнштейна для грави-

тационного красного смещения (в поле тяготеющей

áчастицыâ) принадлежит Маккри'. Между прочим, из

(6) можно получить коэффициент замедления времени

для скорости V в поля тяготения массы m равным

( l—2Gm/cV— 1 W. Н. МсСгеа, áProc. Roy. Irish. Acad.â, A, 57, 1956, 173.

Хотя специальная теория относительности Эйнштей-

на возникла как новая теория времени, она оказала

глубокое воздействие на теорию пространственных из-

мерений, в частности на классическое понятие неизмен-

ной линейки. Это понятие теряет свою простоту, и мы

поэтому считаем, что по настоящей и по другим причи-

нам измерение пространства должно быть основано на

измерениях времени. С другой стороны, общая теория

относительности в том виде, в каком ее разработал

Эйнштейн, была главным образом квазипространствен-

ной теорией (основанной на Римановой геометрии),

в которой время играло вспомогательную роль. Мы уже

защищали отличную точку зрения, по крайней мере

в случае положительных ds2, но наиболее убедительный

аргумент в пользу трактовки времени как фундамен-

тальной категории в обеих теориях относительности

связан с некоторыми неизбежными ограничениями точ-

ности измерения пространственно-временных интерва-

лов. Эти ограничения не зависят от знака ds2.

В 1938 году в своих тарнеровских лекциях Эддингтон

указывал, что á...теория относительности должна выйти

за свои пределы для того, чтобы обрести определение

длины, без которой она не может начаться. Определен-

ную шкалу вещей вводит микроскопическое строение

материиâ'.

Тем не менее, как он сам предупреждает своих чита-

телей, даже микроскопическая теория не является само-

исчерпывающей, так как ее понятия должны быть свя-

заны с измерениями, которые экспериментатор может

фактически произвести и которые в конечном счете за-

висят от áнаших собственных грубых органов чувствâ.

Двадцать лет спустя эти вопросы были подробно рас-

смотрены Сэйлчером и Вигнером 2.

Они начали с того, что подчеркнули не просто воз-

можность, а существенность использования часов для

измерения и пространственных, и-временных интервалов

и указали на ненадобность использования измерительных

линеек, так как в отличие от часов линейки являются

необходимо макрофизическими объектами, которые

в процессе измерения сильно влияют своими полями

тяготения на другие объекты. Если же существуют

микрочасы и можно пренебречь отдачей световых сиг-

налов, пространственно-временной интервал между

двумя точками-моментами Л и S может быть измерен

с произвольной точностью с помощью эксперимента,

в котором используются сигналы типа рассмотренного

выше и проиллюстрированного

на рис. 10. Так как, если со-

бытие А взято во время 1А на

мировой линии наблюдателя

О, a tlt tz —времена запа-

здывания и опережения со-

ответственно события В, сточ-

ки зрения наблюдателя О, и

расстояния малы по сравне-

нию с радиусом кривизны про-

странства, то пространственно-

временной интервал между Л

и В дается выражением У^Т^Т^,

где 7\ = ti t А и Т2 = tz —t А.

Точно так же, различие ме-

жду моментами времени, при-

писываемыми В наблюдате-

лем О, и моментом tA равно -% (Tz + TI) и пространст-

венное расстояние от В до Л равно -^с^ —7\).

Рассматриваемые точки-моменты отождествляются со

столкновениями между телами и фотонами. В конечном

счете, разумеется, как и полагает Эддингтон, все изме-

рения должны быть зарегистрированы на некотором

макроскопическом объекте. Если, однако, этот объект

был сам по себе частью часов, то такой вещи, как

микрочасы, не могло быть даже в принципе. Поэтому

Сэйлчер и Вигнер оговорили в качестве особого усло-

вия, что макроскопический регистратор должен был быть

очень удален по сравнению со смещениями микрочасов

в течение процесса измерения. Но в данном случае воз-

никает любопытная трудность. Квант света достигнет

регистрирующего прибора áнавернякаâ, если только он

не распространяется во всех направлениях. Следова-

тельно, в своей статье Сэйлчер и Вигнер ограничились

Рис. 10.

рассмотрением лишь одного пространственного измере-

ния в добавление ко времени-подобному измерению.

Главным недостатком этого предположения является

следующее: в таком мире, непохожем на мир с большим

числом измерений, влияние тела не обязательно убывает

с расстоянием. Поэтому, согласно допущению Сэйлчера

и Вигнера, в этом случае не очевидно, что возмущающее

влияние макроскопического регистрирующего прибора

может быть устранено лишь его размещением на доста-

точно далеком расстоянии. Но они полагали, что эта,

трудность не может быть слишком серьезной, поскольку

микрочасы, которые могут быть использованы на прак-

тике, áне являются полностью микроскопическимиâ и не-

обходимость фокусировки их сигналов не должна áслиш-

ком изменить результаты исследованияâ.

Основная цель этого исследования может рассматри-

ваться как аналог измерения времени классической про-

блемы предела пространственного увеличения оптиче-

ских микроскопов. Сэйлчер и Вигнер нашли, что, хотя

точность показания часов возрастает при увеличении

массы, их поле тяготения действительно не должно вно-

сить больших возмущений; но это поле также увеличи-

вается при увеличении массы. Поэтому проблема сво-

дится к созданию как можно более точных и как можно

более легких часов.

Поскольку ход часов не должен слишком сбиваться

при снятии показаний с них, их масса M должна пре-

вышать некоторое минимальное значение, зависящее от

точности т, с которой должно измеряться время, и от

времени хода часов Т, то есть полного времени, необхо-

димого для их действия. При излучении сигнала к скоро-

сти часов добавляется величина h/Met, где h —постоян-

ная Планка'.

Если мы специально оговорим, что момент времени,

в который фотон ударяет в часы, заранее известен с точ-

ностью не менее t, то есть что положение часов не вво-

дит статистического элемента в измерение времени, то

соответствующее смещение положения часов за время

Т должно быть менее Я. Следовательно, изменение ско-

1 Неопределенность в положении, равная по порядку величины

I ст, порождает соответствующую минимальную неопределенность по-

рядка /t/ct в импульсе (принцип неопределенности Гейзенберга).

рости составит примерно h/MK. Неопределенность в по-

ложении часов после интервала времени Г равна

Минимальное 'значение этого выражения имеет место

при

Х

а оно меньше ст, если

Минимальная неопределенность массы часев равна

Л/сЧ, поскольку, согласно принципу Гейзенберга, мини-

мальная неопределенность энергии равна h/t. Следова-

тельно, минимальная масса часов превышает эту мини-

мальную неопределенность массы в число раз, равное

отношению времени хода часов и их точности. Более

того, если мы возьмем т равной массе протона (поряд-

ка Ю-24 граммов) в качестве минимальной неопределен-

ности массы, то

< = Т5Г- О)

и равно оно примерно 10~24 сек. Поэтому при настоящем

состоянии знания мы можем рассматривать эту величину

как абсолютную нижнюю границу измерения интерва-

лов времени '.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я