I. ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ И ГЕОМЕТРИЯ

Джон Локк в своем ≪Опыте о человеческом разуме≫,

который Дж. М. Кейнс ' назвал ≪первой английской кни-

гой нового времени≫, после раздельного рассмотрения

пространства и времени посвятил главу их совместному

рассмотрению2. В конце этой главы он пишет: ≪Итак,

распространенность и продолжительность взаимно обни-

мают и охватывают друг друга. Каждая часть простран-

ства находится в каждой части продолжительности, и

каждая часть продолжительности —в каждой части

распространенности≫. И он затем делает пророческое за-

мечание: ≪Мне кажется, такое сочетание двух различ-

ных идей едва ли можно найти во всем том великом

разнообразии, которое мы постигаем или можем пости-

гнуть; это может служить предметом дальнейшего раз-

мышления≫ 3.

Столетием позднее в ≪Критике чистого разума≫

И. Кант утверждал, что, для того чтобы представить

идеи времени и изменения, мы вынуждены призвать

идею пространства. Обсуждая возникновение нашего

интуитивного представления об изменении, которое он

охарактеризовал как ≪соединение противоречаще-проти-

воположных определений в существовании одной и той

;;Же вещи≫, он заявил, что мы не можем постичь это

?йнтуитивное представление, не прибегая к примеру,

привлеченному из области ≪внешнего≫, то есть простран-

ственного, восприятия. ≪...И даже для того чтобы вну-

тренние изменения сделать мыслимыми для себя, мы

должны представлять себе время как форму внутрен-

него чувства, образно, посредством линии и внутренние

изменения посредством проведения этой линии (посред≪

ством движения), так что последовательное существо-

вание нашего я в различных состояниях мы делаем для

себя понятным посредством внешнего наглядного пред-

ставления...≫ '

Тем не менее, даже если Дж. А. Ганн 2 и преувели-

чивал, когда заявлял, что Кант ≪игнорировал≫, мысль

Локка, остается несомненным факт, что Кант заботился

лишь об априорном обосновании геометрических пред-

ставлений времени у Галилея. До начала нашего столе-

тия никто не выдвигал более существенно новых идей

об объединении пространства и времени.

21 сентября 1908 года математик Герман Минков-

ский прочел свою знаменитую лекцию ≪Пространство и

время≫ перед членами Общества естествоиспытателей

в Кёльне. В нем в полупопулярной форме он разъяснил

свои представления о формальном объединении про-

странства и времени, представления, которые он изло-

жил в математической форме за год до того в своей

статье ≪Основные уравнения для электромагнитных

процессов в движущихся телах≫3.

Вместо того чтобы утверждать вслед за Локком, что

каждая часть пространства имеется в каждой части

времени и каждая часть времени —в каждой части про-

странства, Минковский (следуя Эйнштейну) указал, что

≪никто еще не наблюдал какого-либо места иначе, чем

в некоторый момент времени и какое-нибудь время

иначе, чем в некотором месте≫4. Точку пространства

в момент времени он назвал мировой точкой5, а всю

совокупность всех мыслимых мировых точек он назвал

миром. Частица вещества или электричества, существую-

щая некоторое время, будет соответствовать в этом

представлении кривой, которую он назвал мировой ли-

нией 1, точки которой можно пометить последователь-

ными значениями параметра t, связанного с часами, не-

сомыми частицей. ≪Весь мир представляется разложен-

ным,—пишет Минковский, —на такие мировые линии≫,

и он считает, что ≪физические законы могли бы найти

свое наисовершеннейшее выражение как взаимоотноше-

ния между этими мировыми линиями≫2 .

Целью Минковского было введение новой замены

для ньютоновских абсолютного пространства и абсолют-

ного времени, отброшенных Эйнштейном. На их место

он предлагал свой абсолютный ≪мир≫, который дает раз-

личные ≪проекции≫ в пространстве и во времени для

различных наблюдателей (связанных с инерциальными

системами отсчета). Этот абсолютный ≪мир≫ был позд-

нее назван пространством-временем. Математически его

| абсолютный характер может быть установлен как пря-

мое следствие постулата Эйнштейна об инвариантности

света (по отношению к любым системам отсчета). Пусть

луч света соединяет две ≪соседние≫ мировые точки (х,

у, z, t) и (х + dx, у + dy, z + dz, t + dt), координаты

которых определены относительно конкретного наблю-

дателя А. Поскольку пространственное расстояние ме-

жду (х, у, z) и (х + dx, у + dy, z + dz) задано в евкли-

довой геометрии выражением У dx2 + dy2 -f- rfz2 и

поскольку свет, движущийся со скоростью с, описывает

это расстояние в единицах времени как dt (по часам

А), то

'с2 = 0. (1)

1 Это понятие родственно понятию Бертрана Рассела о причцн-

ной линии (Б. Р а с с е л , Человеческое познание, Издательство ино-

странной литературы, 1957, стр. 486). Он утверждает, что если мы

откажемся от классического философского понятия субстанции (еще

использованного, однако, Эмилем Мейерсоном в ≪Тождестве и ре-

альности≫), то тождество следует определить как причинную ли-

нию, являющуюся временным рядом событий, который указывает

на постоянное присутствие ≪чего-либо≫ —постоянства структуры или

качества, или постепенного изменения и того и другого, короче

говоря, всего, что можно изобразить в виде мировой линии, длин-

ной или короткой, прямой или кривой.

Аналогично, если символами со штрихами обозначить

координаты тех же мировых точек, приписанные им дру-

гим наблюдателем В, также связанным с инерциальной

системой отсчета, то

dtft —(dxft + dy'2 -j- dz'2)/с* = 0. (2)

В более общем случае мы можем рассмотреть две лю-

бые соседние мировые точки, не обязательно соединен-

ные световым лучом. Поскольку равенство нулю левой

части (1) всегда влечет за собою равенство нулю левой

части (2) и наоборот, то

= <t(x, у, z, t) {dt* —(dx* + dy*+dz*)/c2}, (3)

где ф —некоторая функция переменных х, у, *г, t, не

содержащая дифференциалов dx, dy, dz, dt. Согласно

принципу относительности, мы можем в (3) поменять

местами обозначения со штрихами и без штрихов, а от-

сюда заключаем, что

<?(х, у, z, *)Ф(х\у',г', /')=!• Простейшим возможным видом 1 функции <р, очевидно,

является ф=1. На основе преобразований Лоренца мы

сразу находим, что условие (3) выполняется для этого

вида функции ф. Следовательно, мы заключаем, что для

всех инерциальных систем отсчета

ds2 = dt2 —(dx2 H- dy2 + dz2)/c2 (4)

является инвариантом. Мы называем ds простран-

ственно-временным интервалом между соседними ми-

ровыми точками.

В задачах, рассматривающих только одно измерение

пространства, пространство-время Минковского можно

просто изобразить на бумаге в виде диаграммы Минков-

ского, пример которой приведен на рис. 8. Эта диаграм-

ма относится к конкретному инерциальному наблюдате-

лю А, пространственно-временное геометрическое место

точек, или мировая линия, которого задано осью /.Ми-

ровые линии E0L и Е0М являются пространственно-

временными траекториями световых лучей, выходящих

из места нахождения наблюдателя А при любом задан-

ном событии £о, составляющем опыт наблюдателя А, по

направлениям положительной и отрицательной осям х

соответственно. Аналогично L'E0 и М'€0 являются про-

странственно-временными траекториями световых лучей,

t-ось А

Рис. 8.

приходящих к наблюдателю А, находящемуся в £0.

В более общем случае мы должны представить себе

четырехмерный график, ось у и ось z которого аналогич-

ны оси х и образуют с ней ортогональный репер. Сово-

купность теоретически возможных световых лучей, выхо-

дящих от наблюдателя А, который находится в Е0, по-

рождает передний световой конус для этого события,

а совокупность теоретически возможных световых лучей,

приходящих к наблюдателю А, который находится в

точке ЕО, порождает задний световой конус точки Е0.

Все траектории частиц вещества или других объектов,

двигающихся относительно А со скоростями, меньшими

с, будут представлены мировыми линиями, везде имею-

щими наклон к оси t меньше наклона образующих све-

тового конуса, причем наклон к оси t будет зависеть от

относительных скоростей. Диаграмма позволяет просто

и красиво различать инерциальное и ускоренное движе-

ние, так как пер'вое будет соответствовать прямым ми-

ровым линиям, например линиям 1, 2 и 3, а последнее — кривой мировой линии, например линии 4.

Геометрия диаграммы Минковского отличается от

диаграммы обычного евклидового пространства, в основе

которого лежит положительно определенная метрика

da2 = dx2 + dy2 + dz2 потому, что пространственно-вре-

менная метрика ds2, заданная уравнением (4), содержит

отрицательный знак. Однако пространство-время Мин-

ковского сходно с евклидовым пространством в том, что

оно открыто во всех направлениях. Следовательно, лю-

бая пара прямых мировых линий (инерциальных линий)

может пересечься не более одного раза. Тем не менее

это свойство диаграммы Минковского не решает вопроса

об общей структуре вселенной, которая может быть,

в принципе, замкнута по ее пространственным напра-

влениям.

Мы уже заметили, что ds2 является инвариантом для

всех наблюдателей, связанных с инерциальными систе-

мами отсчета, хотя ни компонента временного интервала

dt, ни 'компонента пространственного интервала da не

обладают этим свойством. Минковский придавал этому

результату огромнейшее значение. Он записал #$2ввиде

c2dt2 —(dx2 + dy2 + dz2), так что его размерность была

размерностью квадрата длины в четырехмерном мире

с псевдо-евклидовой' геометрией. Он с энтузиазмом

воскликнул: áОтныне пространство само по себе и время

само по себе должны обратиться в фикции, и лишь не-

который вид соединения обоих должен еще сохранить

самостоятельностьâ2. Это знаменитое, но являющееся

крайностью утверждение стремится, однако, значительно

умалить важность времени по сравнению с простран-

ством. Действительно, пространство-время рассматри-

валось как новый вид гиперпространства, в котором

события не áпроисходятâ, а áчерез которые мы прохо-

димâ. Как выразился Герман Вейль: á...сценой действия

реальности является не трехмерное евклидово простран-

ство, а четырехмерный мир, в котором неразрывно свя-

заны вместе пространство и время. Однако глубока

пропасть, отделяющая интуитивную сущность простран-

ства от интуитивной сущности времени в нашем опыте,

и ничто из этого качественного различия не входит

в объективный мир, который удалось выкристаллизовать

физике из непосредственного опыта. Это четырехмерный

континуум, который не является ни áвременемâ, ни

áпространствомâ. Только сознание, которое схватывает

часть этого мира, испытывает обособленный кусок, ко-

торый ему приходится встретить и оставить позади себя

как историю, то есть как процесс, который протекает во

времени и имеет место в пространствеâ'.

Другими словами, прохождение времени, которое

является самой сутью понятия, должно рассматриваться

лишь как черта сознания, не имеющая объективного

оригинала. Это находится в резком контрасте с основ-

ной гипотезой настоящей книги, состоящей в том, что

временные отношения являются фундаментальными.

Точка зрения Вейля, а также Эйнштейна в сущности

является точкой зрения áклочковатости мираâ, если

использовать термин, выдвинутый Уильямом Джемсом

для обозначения гипотезы2 о том, что мир подобен

киноленте: на ней уже есть фотографии, они просто по-

очередно предстают перед нашими глазами. Хотя, как

говорит Вейль, четырехмерный континуум —ни áвремяâ,

ни áпространствоâ, тем не менее он является более про-

странственным, чем временным.

Первым философом, который старался построить ме-

тафизическую систему на гипотезе о пространстве и вре-

мени, был Сэмюэл Александер, чьи гиффордовские

лекции, прочтенные в 1916—918 годах, были опублико-

ваны в 1920 году под названием áПространство, время

и божествоâ. Он был сторонником того, что простран-

ство и время как таковые являются абстракциями, обра-

зованными из пространства-времени и áесли бы было

принято, что они существуют сами по себе без молчали-

вого предположения о существовании другого, то они

являлись незаконными абстракциями, против которых

выступал Беркли... Реально существует Пространство-

Время, континуум точек-моментов ил и чистых событийâ'.

Александер рассматривал пространство-время как

plenum Декарта, представляющий синтез всех проекций

пространства-времени, причем проекция понимается как

отношение пространства-времени к любой из составляю-

щих его точек-моментов. Он утверждал, что это пони-

мание вселенной, к которому он пришел метафизическим

путем, гармонирует с математическо-физической гипоте-

зой Минковского. Согласно Александеру, áвсе вещи, не-

зависимо от их качеств, являются кусочками простран-

ства-времениâ 2. В частности, эмпирические вещи

являются áводоворотами или вихрями в веществе

Пространства-Времени, а универсалии —законами их

построенияâ3.

Конкретная концепция пространства-времени, со-

зданная Александером, была подвергнута глубокой кри-

тике Броудом, который указал, что специальная теория

относительности разрушила не различие пространства и

времени, а лишь их разделение. Более того, избавив-

шись от абсолютной теории пространства и времени, мы

не должны вводить их опять для пространства-времени.

Пространство-время не следует рассматривать как своего

рода порождающую матрицу, так как оно создает собы-

тия не в большей степени, чем структура или организа-

ция армии создает войны. Более того, если бы кто-

нибудь был вынужден предположить, что такие органи-

зации áявляются субстанциями, существующими бок

о бок с солдатами, это была бы чепуха; это была бы

примерно такая же чепуха, как та, что болтают люди,

которые представляют пространство-время как суще-

ствующую субстанцию, которая тянет и толкает взад и

вперед кусочки материиâ4. Когда мы рассматриваем

свойства физического пространства-времени, мы просто

анализируем общую структуру пространственно-времен-

ной совокупности, которой является вселенная.

Верно, что Александер метафизик, а не ученый, но

его позиция по отношению к пространству-времени была

во многом похожа на позицию многих ученых после

опубликования в 1915 году Эйнштейном общей теории

относительности. В этой теории он обобщил концепцию

Минковского, что позволило распространить ее на явле-

ния тяготения. Мы видели, что в пространстве-времени

Минковского математическое различие мё*жду прямыми

и кривыми мировыми линиями точно соответствует фи-

зическому различию между инерциальными и ускоренно

движущимися системами отсчета. Движение частиц и тел,

связанное с ускоренно движущимися системами отсчета,

зависит от действия сил, тогда как движение инерциаль-

ных частиц и тел является áсвободнымâ движением, про-

исходящим только при отсутствии сил. Поэтому мы мо-

жем установить соответствие между действием силы на

частицу с кривизной ее мировой линии. Тогда равномер-

ное и прямолинейное движение частицы при отсутствии

сил может рассматриваться как чисто кинематическое

явление, потому что оно не зависит от инертной массы.

Эйнштейн указал, что Галилеев закон падения тел озна-

чает, что в однородном поле тяжести ускоренное движе-

ние частиц также можно рассматривать кинематически,

поскольку все тела падают согласно одному и тому же

закону. Поэтому

(1) согласно терминологии Ньютона, было найдено

на опыте, что тяжелая масса тождественно равна

(с точностью не хуже одной стомиллионной доли) инерт-

ной массе;

(2) локально, то есть в области, малой по сравнению

с размерами Земли, поле тяжести можно рассматри-

вать как однородное.

Следовательно, заявил Эйнштейн, в пределах обла-

сти, достаточно малой для того, чтобы поле тяжести

внутри нее было действительно однородным, ускорение

и тяготение являются взаимозаменяемыми понятиями

(принцип эквивалентности Эйнштейна). Следовательно,

тяготение стало синонимом áкривизныâ пространства-

времени, проявляясь в искривлении светового луча и

в отклонениях движения материальных частиц от равно-

мерности и прямолинейности, то есть в отклонениях ми*

ровых линий от прямолинейности. Только локальная

справедливость принципа означала, что Эйнштейн был

вынужден сосредоточиться на микроструктуре, или диф-

ференциальной геометрии, пространства-времени, тогда

как Минковский рассматривал его структуру áв боль-

шомâ. Но его анализ оказался более мощным, чем ана-

лиз Минковского, так как он автоматически учел тяго-

тение через уравнения поля, связав дифференциальную

геометрию пространства-времени с тензором энергии-

импульса вещества и излучения. Эта тесная связь веще-

ства (и энергии) с геометрией пространства-времени

привела многих приверженцев теории Эйнштейна к при-

нятию следующей точки зрения, сформулированной

А. С. Эддингтоном: áКогда мы воспринимаем, что неко-

торая область содержит вещество, мы познаем прису-

щую миру в этой области кривизну... Не следует рас-

сматривать вещество как нечто постороннее гравита-

ционному полю, вызывающее в нем возмущение; это

возмущение и есть веществоâ'. Так же как свет не

является причиной колебаний, поскольку как раз коле-

бания и составляют свет, и аналогично, так же как

теплота есть движение молекул, а не нечто, вызывающее

это движение, вещество должно само рассматриваться

как .áсимптом, а не как причинаâ. Более того, хотя и

было признано, что своей специальной теорией относи-

тельности Эйнштейн предал универсальный эфир изгна-

нию, после разработки общей теории относительности

Эддингтон высказал мысль о том, что мир, определен-

ный как агрегат всех точек-моментов, áможно было бы,

пожалуй, вполне законно назвать эфиром; по крайней

мере он представляет собою тот универсальный субстрат

вещей, который теория относительности дает нам вме-

сто эфираâ2.

Эддингтон обратил внимание на то, что теория ма-

терии Эйнштейна была áпредвосхищена чудесным пред-

видениемâ английского математика У. К. Клиффорда,

который в статье, написаной в 1875 году, высказал

мысль о том, что áтеория кривизны пространства наме-

кает на возможность описания материи и движения на

языке лишь протяженностиâ3.

Однако Эйнштейн имел и еще более замечательного

предшественника, Рене Декарта, так как они оба ста-

вили цель геометризации физики. Основные методологи-

ческие принципы общей теории относительности можно

действительно весьма удачно назвать неокартезиан-

скими, потому что она скорее делает акцент на протя-

женностных, а не временных аспектах.явлений.