I. ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ И ГЕОМЕТРИЯ
Джон Локк в своем ≪Опыте о человеческом разуме≫,
который Дж. М. Кейнс ' назвал ≪первой английской кни-
гой нового времени≫, после раздельного рассмотрения
пространства и времени посвятил главу их совместному
рассмотрению2. В конце этой главы он пишет: ≪Итак,
распространенность и продолжительность взаимно обни-
мают и охватывают друг друга. Каждая часть простран-
ства находится в каждой части продолжительности, и
каждая часть продолжительности —в каждой части
распространенности≫. И он затем делает пророческое за-
мечание: ≪Мне кажется, такое сочетание двух различ-
ных идей едва ли можно найти во всем том великом
разнообразии, которое мы постигаем или можем пости-
гнуть; это может служить предметом дальнейшего раз-
мышления≫ 3.
Столетием позднее в ≪Критике чистого разума≫
И. Кант утверждал, что, для того чтобы представить
идеи времени и изменения, мы вынуждены призвать
идею пространства. Обсуждая возникновение нашего
интуитивного представления об изменении, которое он
охарактеризовал как ≪соединение противоречаще-проти-
воположных определений в существовании одной и той
;;Же вещи≫, он заявил, что мы не можем постичь это
?йнтуитивное представление, не прибегая к примеру,
привлеченному из области ≪внешнего≫, то есть простран-
ственного, восприятия. ≪...И даже для того чтобы вну-
тренние изменения сделать мыслимыми для себя, мы
должны представлять себе время как форму внутрен-
него чувства, образно, посредством линии и внутренние
изменения посредством проведения этой линии (посред≪
ством движения), так что последовательное существо-
вание нашего я в различных состояниях мы делаем для
себя понятным посредством внешнего наглядного пред-
ставления...≫ '
Тем не менее, даже если Дж. А. Ганн 2 и преувели-
чивал, когда заявлял, что Кант ≪игнорировал≫, мысль
Локка, остается несомненным факт, что Кант заботился
лишь об априорном обосновании геометрических пред-
ставлений времени у Галилея. До начала нашего столе-
тия никто не выдвигал более существенно новых идей
об объединении пространства и времени.
21 сентября 1908 года математик Герман Минков-
ский прочел свою знаменитую лекцию ≪Пространство и
время≫ перед членами Общества естествоиспытателей
в Кёльне. В нем в полупопулярной форме он разъяснил
свои представления о формальном объединении про-
странства и времени, представления, которые он изло-
жил в математической форме за год до того в своей
статье ≪Основные уравнения для электромагнитных
процессов в движущихся телах≫3.
Вместо того чтобы утверждать вслед за Локком, что
каждая часть пространства имеется в каждой части
времени и каждая часть времени —в каждой части про-
странства, Минковский (следуя Эйнштейну) указал, что
≪никто еще не наблюдал какого-либо места иначе, чем
в некоторый момент времени и какое-нибудь время
иначе, чем в некотором месте≫4. Точку пространства
в момент времени он назвал мировой точкой5, а всю
совокупность всех мыслимых мировых точек он назвал
миром. Частица вещества или электричества, существую-
щая некоторое время, будет соответствовать в этом
представлении кривой, которую он назвал мировой ли-
нией 1, точки которой можно пометить последователь-
ными значениями параметра t, связанного с часами, не-
сомыми частицей. ≪Весь мир представляется разложен-
ным,—пишет Минковский, —на такие мировые линии≫,
и он считает, что ≪физические законы могли бы найти
свое наисовершеннейшее выражение как взаимоотноше-
ния между этими мировыми линиями≫2 .
Целью Минковского было введение новой замены
для ньютоновских абсолютного пространства и абсолют-
ного времени, отброшенных Эйнштейном. На их место
он предлагал свой абсолютный ≪мир≫, который дает раз-
личные ≪проекции≫ в пространстве и во времени для
различных наблюдателей (связанных с инерциальными
системами отсчета). Этот абсолютный ≪мир≫ был позд-
нее назван пространством-временем. Математически его
| абсолютный характер может быть установлен как пря-
мое следствие постулата Эйнштейна об инвариантности
света (по отношению к любым системам отсчета). Пусть
луч света соединяет две ≪соседние≫ мировые точки (х,
у, z, t) и (х + dx, у + dy, z + dz, t + dt), координаты
которых определены относительно конкретного наблю-
дателя А. Поскольку пространственное расстояние ме-
жду (х, у, z) и (х + dx, у + dy, z + dz) задано в евкли-
довой геометрии выражением У dx2 + dy2 -f- rfz2 и
поскольку свет, движущийся со скоростью с, описывает
это расстояние в единицах времени как dt (по часам
А), то
'с2 = 0. (1)
1 Это понятие родственно понятию Бертрана Рассела о причцн-
ной линии (Б. Р а с с е л , Человеческое познание, Издательство ино-
странной литературы, 1957, стр. 486). Он утверждает, что если мы
откажемся от классического философского понятия субстанции (еще
использованного, однако, Эмилем Мейерсоном в ≪Тождестве и ре-
альности≫), то тождество следует определить как причинную ли-
нию, являющуюся временным рядом событий, который указывает
на постоянное присутствие ≪чего-либо≫ —постоянства структуры или
качества, или постепенного изменения и того и другого, короче
говоря, всего, что можно изобразить в виде мировой линии, длин-
ной или короткой, прямой или кривой.
Аналогично, если символами со штрихами обозначить
координаты тех же мировых точек, приписанные им дру-
гим наблюдателем В, также связанным с инерциальной
системой отсчета, то
dtft —(dxft + dy'2 -j- dz'2)/с* = 0. (2)
В более общем случае мы можем рассмотреть две лю-
бые соседние мировые точки, не обязательно соединен-
ные световым лучом. Поскольку равенство нулю левой
части (1) всегда влечет за собою равенство нулю левой
части (2) и наоборот, то
= <t(x, у, z, t) {dt* —(dx* + dy*+dz*)/c2}, (3)
где ф —некоторая функция переменных х, у, *г, t, не
содержащая дифференциалов dx, dy, dz, dt. Согласно
принципу относительности, мы можем в (3) поменять
местами обозначения со штрихами и без штрихов, а от-
сюда заключаем, что
<?(х, у, z, *)Ф(х\у',г', /')=!• Простейшим возможным видом 1 функции <р, очевидно,
является ф=1. На основе преобразований Лоренца мы
сразу находим, что условие (3) выполняется для этого
вида функции ф. Следовательно, мы заключаем, что для
всех инерциальных систем отсчета
ds2 = dt2 —(dx2 H- dy2 + dz2)/c2 (4)
является инвариантом. Мы называем ds простран-
ственно-временным интервалом между соседними ми-
ровыми точками.
В задачах, рассматривающих только одно измерение
пространства, пространство-время Минковского можно
просто изобразить на бумаге в виде диаграммы Минков-
ского, пример которой приведен на рис. 8. Эта диаграм-
ма относится к конкретному инерциальному наблюдате-
лю А, пространственно-временное геометрическое место
точек, или мировая линия, которого задано осью /.Ми-
ровые линии E0L и Е0М являются пространственно-
временными траекториями световых лучей, выходящих
из места нахождения наблюдателя А при любом задан-
ном событии £о, составляющем опыт наблюдателя А, по
направлениям положительной и отрицательной осям х
соответственно. Аналогично L'E0 и М'€0 являются про-
странственно-временными траекториями световых лучей,
t-ось А
Рис. 8.
приходящих к наблюдателю А, находящемуся в £0.
В более общем случае мы должны представить себе
четырехмерный график, ось у и ось z которого аналогич-
ны оси х и образуют с ней ортогональный репер. Сово-
купность теоретически возможных световых лучей, выхо-
дящих от наблюдателя А, который находится в Е0, по-
рождает передний световой конус для этого события,
а совокупность теоретически возможных световых лучей,
приходящих к наблюдателю А, который находится в
точке ЕО, порождает задний световой конус точки Е0.
Все траектории частиц вещества или других объектов,
двигающихся относительно А со скоростями, меньшими
с, будут представлены мировыми линиями, везде имею-
щими наклон к оси t меньше наклона образующих све-
тового конуса, причем наклон к оси t будет зависеть от
относительных скоростей. Диаграмма позволяет просто
и красиво различать инерциальное и ускоренное движе-
ние, так как пер'вое будет соответствовать прямым ми-
ровым линиям, например линиям 1, 2 и 3, а последнее — кривой мировой линии, например линии 4.
Геометрия диаграммы Минковского отличается от
диаграммы обычного евклидового пространства, в основе
которого лежит положительно определенная метрика
da2 = dx2 + dy2 + dz2 потому, что пространственно-вре-
менная метрика ds2, заданная уравнением (4), содержит
отрицательный знак. Однако пространство-время Мин-
ковского сходно с евклидовым пространством в том, что
оно открыто во всех направлениях. Следовательно, лю-
бая пара прямых мировых линий (инерциальных линий)
может пересечься не более одного раза. Тем не менее
это свойство диаграммы Минковского не решает вопроса
об общей структуре вселенной, которая может быть,
в принципе, замкнута по ее пространственным напра-
влениям.
Мы уже заметили, что ds2 является инвариантом для
всех наблюдателей, связанных с инерциальными систе-
мами отсчета, хотя ни компонента временного интервала
dt, ни 'компонента пространственного интервала da не
обладают этим свойством. Минковский придавал этому
результату огромнейшее значение. Он записал #$2ввиде
c2dt2 —(dx2 + dy2 + dz2), так что его размерность была
размерностью квадрата длины в четырехмерном мире
с псевдо-евклидовой' геометрией. Он с энтузиазмом
воскликнул: áОтныне пространство само по себе и время
само по себе должны обратиться в фикции, и лишь не-
который вид соединения обоих должен еще сохранить
самостоятельностьâ2. Это знаменитое, но являющееся
крайностью утверждение стремится, однако, значительно
умалить важность времени по сравнению с простран-
ством. Действительно, пространство-время рассматри-
валось как новый вид гиперпространства, в котором
события не áпроисходятâ, а áчерез которые мы прохо-
димâ. Как выразился Герман Вейль: á...сценой действия
реальности является не трехмерное евклидово простран-
ство, а четырехмерный мир, в котором неразрывно свя-
заны вместе пространство и время. Однако глубока
пропасть, отделяющая интуитивную сущность простран-
ства от интуитивной сущности времени в нашем опыте,
и ничто из этого качественного различия не входит
в объективный мир, который удалось выкристаллизовать
физике из непосредственного опыта. Это четырехмерный
континуум, который не является ни áвременемâ, ни
áпространствомâ. Только сознание, которое схватывает
часть этого мира, испытывает обособленный кусок, ко-
торый ему приходится встретить и оставить позади себя
как историю, то есть как процесс, который протекает во
времени и имеет место в пространствеâ'.
Другими словами, прохождение времени, которое
является самой сутью понятия, должно рассматриваться
лишь как черта сознания, не имеющая объективного
оригинала. Это находится в резком контрасте с основ-
ной гипотезой настоящей книги, состоящей в том, что
временные отношения являются фундаментальными.
Точка зрения Вейля, а также Эйнштейна в сущности
является точкой зрения áклочковатости мираâ, если
использовать термин, выдвинутый Уильямом Джемсом
для обозначения гипотезы2 о том, что мир подобен
киноленте: на ней уже есть фотографии, они просто по-
очередно предстают перед нашими глазами. Хотя, как
говорит Вейль, четырехмерный континуум —ни áвремяâ,
ни áпространствоâ, тем не менее он является более про-
странственным, чем временным.
Первым философом, который старался построить ме-
тафизическую систему на гипотезе о пространстве и вре-
мени, был Сэмюэл Александер, чьи гиффордовские
лекции, прочтенные в 1916—918 годах, были опублико-
ваны в 1920 году под названием áПространство, время
и божествоâ. Он был сторонником того, что простран-
ство и время как таковые являются абстракциями, обра-
зованными из пространства-времени и áесли бы было
принято, что они существуют сами по себе без молчали-
вого предположения о существовании другого, то они
являлись незаконными абстракциями, против которых
выступал Беркли... Реально существует Пространство-
Время, континуум точек-моментов ил и чистых событийâ'.
Александер рассматривал пространство-время как
plenum Декарта, представляющий синтез всех проекций
пространства-времени, причем проекция понимается как
отношение пространства-времени к любой из составляю-
щих его точек-моментов. Он утверждал, что это пони-
мание вселенной, к которому он пришел метафизическим
путем, гармонирует с математическо-физической гипоте-
зой Минковского. Согласно Александеру, áвсе вещи, не-
зависимо от их качеств, являются кусочками простран-
ства-времениâ 2. В частности, эмпирические вещи
являются áводоворотами или вихрями в веществе
Пространства-Времени, а универсалии —законами их
построенияâ3.
Конкретная концепция пространства-времени, со-
зданная Александером, была подвергнута глубокой кри-
тике Броудом, который указал, что специальная теория
относительности разрушила не различие пространства и
времени, а лишь их разделение. Более того, избавив-
шись от абсолютной теории пространства и времени, мы
не должны вводить их опять для пространства-времени.
Пространство-время не следует рассматривать как своего
рода порождающую матрицу, так как оно создает собы-
тия не в большей степени, чем структура или организа-
ция армии создает войны. Более того, если бы кто-
нибудь был вынужден предположить, что такие органи-
зации áявляются субстанциями, существующими бок
о бок с солдатами, это была бы чепуха; это была бы
примерно такая же чепуха, как та, что болтают люди,
которые представляют пространство-время как суще-
ствующую субстанцию, которая тянет и толкает взад и
вперед кусочки материиâ4. Когда мы рассматриваем
свойства физического пространства-времени, мы просто
анализируем общую структуру пространственно-времен-
ной совокупности, которой является вселенная.
Верно, что Александер метафизик, а не ученый, но
его позиция по отношению к пространству-времени была
во многом похожа на позицию многих ученых после
опубликования в 1915 году Эйнштейном общей теории
относительности. В этой теории он обобщил концепцию
Минковского, что позволило распространить ее на явле-
ния тяготения. Мы видели, что в пространстве-времени
Минковского математическое различие мё*жду прямыми
и кривыми мировыми линиями точно соответствует фи-
зическому различию между инерциальными и ускоренно
движущимися системами отсчета. Движение частиц и тел,
связанное с ускоренно движущимися системами отсчета,
зависит от действия сил, тогда как движение инерциаль-
ных частиц и тел является áсвободнымâ движением, про-
исходящим только при отсутствии сил. Поэтому мы мо-
жем установить соответствие между действием силы на
частицу с кривизной ее мировой линии. Тогда равномер-
ное и прямолинейное движение частицы при отсутствии
сил может рассматриваться как чисто кинематическое
явление, потому что оно не зависит от инертной массы.
Эйнштейн указал, что Галилеев закон падения тел озна-
чает, что в однородном поле тяжести ускоренное движе-
ние частиц также можно рассматривать кинематически,
поскольку все тела падают согласно одному и тому же
закону. Поэтому
(1) согласно терминологии Ньютона, было найдено
на опыте, что тяжелая масса тождественно равна
(с точностью не хуже одной стомиллионной доли) инерт-
ной массе;
(2) локально, то есть в области, малой по сравнению
с размерами Земли, поле тяжести можно рассматри-
вать как однородное.
Следовательно, заявил Эйнштейн, в пределах обла-
сти, достаточно малой для того, чтобы поле тяжести
внутри нее было действительно однородным, ускорение
и тяготение являются взаимозаменяемыми понятиями
(принцип эквивалентности Эйнштейна). Следовательно,
тяготение стало синонимом áкривизныâ пространства-
времени, проявляясь в искривлении светового луча и
в отклонениях движения материальных частиц от равно-
мерности и прямолинейности, то есть в отклонениях ми*
ровых линий от прямолинейности. Только локальная
справедливость принципа означала, что Эйнштейн был
вынужден сосредоточиться на микроструктуре, или диф-
ференциальной геометрии, пространства-времени, тогда
как Минковский рассматривал его структуру áв боль-
шомâ. Но его анализ оказался более мощным, чем ана-
лиз Минковского, так как он автоматически учел тяго-
тение через уравнения поля, связав дифференциальную
геометрию пространства-времени с тензором энергии-
импульса вещества и излучения. Эта тесная связь веще-
ства (и энергии) с геометрией пространства-времени
привела многих приверженцев теории Эйнштейна к при-
нятию следующей точки зрения, сформулированной
А. С. Эддингтоном: áКогда мы воспринимаем, что неко-
торая область содержит вещество, мы познаем прису-
щую миру в этой области кривизну... Не следует рас-
сматривать вещество как нечто постороннее гравита-
ционному полю, вызывающее в нем возмущение; это
возмущение и есть веществоâ'. Так же как свет не
является причиной колебаний, поскольку как раз коле-
бания и составляют свет, и аналогично, так же как
теплота есть движение молекул, а не нечто, вызывающее
это движение, вещество должно само рассматриваться
как .áсимптом, а не как причинаâ. Более того, хотя и
было признано, что своей специальной теорией относи-
тельности Эйнштейн предал универсальный эфир изгна-
нию, после разработки общей теории относительности
Эддингтон высказал мысль о том, что мир, определен-
ный как агрегат всех точек-моментов, áможно было бы,
пожалуй, вполне законно назвать эфиром; по крайней
мере он представляет собою тот универсальный субстрат
вещей, который теория относительности дает нам вме-
сто эфираâ2.
Эддингтон обратил внимание на то, что теория ма-
терии Эйнштейна была áпредвосхищена чудесным пред-
видениемâ английского математика У. К. Клиффорда,
который в статье, написаной в 1875 году, высказал
мысль о том, что áтеория кривизны пространства наме-
кает на возможность описания материи и движения на
языке лишь протяженностиâ3.
Однако Эйнштейн имел и еще более замечательного
предшественника, Рене Декарта, так как они оба ста-
вили цель геометризации физики. Основные методологи-
ческие принципы общей теории относительности можно
действительно весьма удачно назвать неокартезиан-
скими, потому что она скорее делает акцент на протя-
женностных, а не временных аспектах.явлений.