4. СООТНОШЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ПЕРСПЕКТИВ
До сих пор мы рассматривали одного наблюдателя
А. В отличие от Франка и Роте', Уайтхеда2 и других,
которые пытались вывести существование конечной уни-
версальной скорости из более первичных постулатов, мы
не видим необходимости в рассмотрении соотношения
между пространственными и временными координатами,
приписываемыми удаленным событиям различными на-
блюдателями. Хотя это не составляет большого труда
для представителя ньютоновской классической физики,
который верит в абсолютную всемирную одновремен-
ность и в абсолютное физическое пространство, подчи-
няющееся законам евклидовой геометрии, но если от-
казаться от этих предположений, то сразу же возникает
проблема, которая нуждается в дополнительном иссле-
довании. В настоящее время общепризнано, что наибо-
лее удовлетворительный метод решения этой проблемы
состоит в рассмотрении прежде всего соотношения ме-
жду часами двух наблюдателей с помощью того самого
эксперимента со световыми сигналами, о котором мы го-
ворили выше (стр. 240—42).
Мы рассмотрели вопрос, каким образом наблюдатель
А устанавливает время событий, происходящих в В. Как
мы уже видели, решение, предложенное Эйнштейном,
основывалось на его постулате, согласно которому ско-
рость света для наблюдателя А является универсаль-
ной константой, не зависящей ни от положения наблю-
дателя, ни от направления распространения света. Те-
перь мы должны рассмотреть, как соотносится это тео-
ретическое время, устанавливаемое наблюдателем А для
событий, происходящих в о, с эмпирическим моментом
t', который на самом деле показывают часы, располо-
женные в точке В. Для того чтобы поставить проблему
Временной опыт А
Временной опыт В
более точно, мы постулируем, что В теперь является на-
блюдателем, ≪подобным≫ наблюдателю А. На практике
это означает, что В имеет часы, ≪подобные≫ часам, ко-
торые есть у А. Например, если у А имеется тот или
иной тип атомных или молекулярных часов, то мы пред-
полагаем, что и у В есть часы аналогичной конструк-
ции1. Эти часы позволяют В принять участие в экспери-
менте со световыми сигналами, который проводит А;
каждый из этих наблюдателей мгновенно отсылает об-
ратно сигнал, полученный им от другого, как это пока-
зано на рис. 7.
1 Если мы предполагаем, что все естественные часы, которые
есть у данного наблюдателя, показывают одинаковое время, тогда
нам нужно только поставить следующее условие: часы наблюда-
теля В проградуированы точно так же, как и часы наблюдателя А.
В специальной теории относительности предпола-
гается, что наблюдатели А и В связаны с инерциаль-
ными системами отсчета. Следовательно, они находятся
относительно друг друга либо в покое, либо в состоянии
равномерного и прямолинейного движения. Принцип от-
носительности, на котором основывается теория, был
сформулирован в сентябре 1904 года Пуанкаре' в лек-
ции, которую он читал в Сент-Луисе (США).
Согласно формулировке, Пуанкаре, ≪законы физиче-
ских явлений должны быть одинаковы как для ≪непод-
вижного≫ наблюдателя, так и для наблюдателя, кото-
рый находится относительно него в равномерном и
прямолинейном движении, поэтому мы не имеем и не
можем иметь каких-либо средств для того, чтобы разли-
чить, находимся ли мы в состоянии такого движения
или нет≫. Вскоре после этого и независимо2 от Пуан-
каре принцип относительности был сформулирован Эйн-
штейном в гораздо более точной форме: ≪Во всех
системах отчета, для которых имеют силу уравнения ме-
ханики, справедливы одни и те же законы электродина-
мики и оптики≫. Этот принцип предполагает, что наблю-
1 H. P o i n c a r e , ≪Bull, des Sei. Math.≫ (2), 28, 1904, 825.
2 В последние годы состоялась важная дискуссия о роли Эйн-
штейна в создании теории относительности. В своей блестящей исто-
рии современной физики, опубликованной в 1953 году, сэр Эдмунд
Уиттэкер (E. W h i 11 a k e r, History of the Theories of Aether and
Electricity, vol. II) посвятил этой теории главу с интригующим на-
званием ≪Теория относительности Пуанкаре и Лоренца≫. После
этого уже отмечалось, например В. Баргманом (V. B a r g m a n n,
≪Review of Modern Physics≫, 29, 1957, 161), что сила позиции Эйн-
штейна по сравнению с Пуанкаре и Лоренцом состоит в том, что
формулировки последних опирались только на полную теорию элек-
тродинамики и по сути дела ограничивались явлениями, связанными
с ней, тогда как Эйнштейн развивал свою теорию, исходя из эле-
ментарных соображений о световых сигналах. Последующие раз-
работки обнаружили всю важность этого различия, ибо теория
Эйнштейна отнюдь не ограничена электродинамикой и ≪совершенно
не зависит от наших взглядов на природу фундаментальных взаимо-
действий между элементарными частицами≫. Роль Пуанкаре была
подвергнута критическому рассмотрению также и французским исто-
риком науки Р. Татоном (R. T a t о п. Reason and Chance in Scientific
Discovery, translated by A. J. Romerans, London, 1957, p. 135).
Согласно Татону, хотя Пуанкаре и знал, что нужно было делать,
≪он не отважился разъяснить свои мысли и вывел, таким образом,
все следствия, опустив имеющий решающее значение момент, что
и не позволило ему, по существу, открыть принцип относительности≫.
В поддержку своей точки зрения Татон приводит следующее выска-
датели, которые связаны с такими системами отсчета,
используют одинаковые измерительные инструменты, на-
пример часы, и принимают одинаковые метрические пра-
вила и определения. Поэтому, если наблюдатель А при-
писывает скорости света универсальное значение с, то
наблюдатель В обязан сделать то же* самое.
Обычно, когда в специальной теории относительно-
сти Эйнштейна рассматривают соотношение часов на-
блюдателей А и В и их временные показания, то огра-
ничиваются случаем равномерного относительного дви-
жения. Я же, напротив, начну рассмотрение со случая,
когда они находятся в относительном покое, ибо это
весьма важно для установления одного из главных вы-
водов, к которому я приду в следующей главе. Если у
А и В имеются часы, которые проградуированы одина-
ково, тогда с точностью до аддитивной постоянной, что
зависит от выбора нулевого момента времени на каждых
часах, принцип относительности, поскольку это касается
кинематики, можно свести к следующему утверждению:
Аксиома X. Принцип кинематической симметрии: t2
есть функция от t', которая тождественна функции t'
от t\.
Поэтому должно существовать функциональное отно-
шение следующего вида:
Следовательно, функция б, которую мы будем называть
сигнальной функцией, связывающей А к В, должна быть
такой, что
t2 = 96 (rfj). (22)
зываниеЛ. де Бройля: ≪Почему Пуанкаре не удалось перешаг-
нуть за рамки своего собственного мышления? Несомненно, что это
произошло отчасти в силу того, что он был чистым математиком.
Он занимал довольно скептическую позицию в отношении физиче-
ских теорий, считая, что вообще существует бесчисленное множество
различных, но логически эквивалентных точек зрения и образов,
которые ученый выбирает лишь из соображений удобства. Этот
номинализм, видимо, иногда мешал ему правильно понять тот факт,
что среди логически возможных теорий имеются, однако, теории,
которые наиболее близки к физической реальности, во всяком слу-
чае, лучше приспособлены к интуиции физика и более пригодны
содействовать его усилиям≫ (см. Луи де Бройль, По тропам
чауки, Издательство иностранной литературы, 1962, стр, 306—07).
Однако поскольку В находится на фиксированном рас-
стоянии от Л, а световой сигнал перемещается с постоян-
ной скоростью, то отсюда следует, что разность (tt —t\)
должна быть постоянной. Поэтому 8 должна быть такой,
что
(23)
для всех значений ^ и некоторой константы а. Если мы
опустим индекс, то, очевидно, решением этого функцио-
нального уравнения будет 8(0 = t + а.
С более общей точки зрения, производя операции с
0, в обеих частях уравнения мы получим, что
откуда непосредственно следует, что 6(0 должна иметь
следующий вид:
где ю(0 имеет период 2а. Для того чтобы свести это
решение к частной форме 6(0 = t + а, мы должны при-
нять во внимание других наблюдателей, которые также
находятся в состоянии покоя. Таким образом, если А, В
и С находятся на одной линии, причем В лежит между
А и С, а <р есть сигнальная функция, связывающая В и
С, тогда соотношение между А и С будет определяться
сигнальной функцией ф, которая задается формулой
ф = д<р = <р8. Следовательно, 8 и <р' должны быть комму-
тативными функциями. Поскольку С находится на фик-
сированном расстоянии от В, <р должно удовлетворять
функциональному уравнению следующего вида:
(24)
где Ь есть некоторая постоянная. Тогда легко доказать,
что
и что, следовательно, Л и С находятся друг от друга на
фиксированном расстоянии, которое равно сумме соот-
ветствующих расстояний А —В и В —С. Производя
операции в обоих частях равенства (24) с функцией 9
и опираясь на свойство коммутативности функций 8 и q?,
мы делаем вывод, что
б (t + Щ —6<?<р (t) —<р<рв (t) = 6 (t) + 2b,
откуда следует, что
где ю(0 имеет период 2Ь. Поэтому ш(0 должно содер-
жать в себе в качестве периодов как 2с, так и 26. Если
А, В и С есть любые три члена континуума относительно
неподвижных наблюдателей, тогда 2а и 2Ь будут, вообще
говоря, несоразмерны. Следовательно, согласно извест-
ной теореме, единственная форма функции со (0, которая
обеспечивает ее непрерывность, есть постоянная и, та*
ким образом, из уравнения (23) следует, что 6(0= t + а.
При таком решении для 6(0 из уравнения (21) следует, что
Сравнивая этот результат с уравнением (19), мы полу-
чаем, что t' ~ t, то есть время, которое показывают ча-
сы, находящиеся в точке В, когда там происходит какое-
нибудь событие, является точно таким же, как и время,
которое наблюдатель А теоретически определяет для
этого события, исходя из равномерности скорости света.
Поэтому все наблюдатели, находящиеся друг относи-
тельно друга в состоянии покоя, приписывают одинако-
вое время любому данному событию, и это время согла-
суется с тем, которое действительно определяется ча-
сами, имеющимися у наблюдателя, который находится
в той точке, где это событие происходит. В этом конвен-
циональном смысле для всех наблюдателей, находящихся
в состоянии относительного покоя, существует мировая
одновременность событий, а следовательно, и универ-
сальное время.
Проделанный выше анализ основывался на представ-
лении о ≪кинематической симметрии≫ наблюдателей,
которые находятся друг относительно друга в состоянии
покоя и пользуются одинаково проградуированными ча-
сами." Кроме того, эти наблюдатели приписывают одно
и то же постоянное значение скорости распространения
в пустоте световых сигналов, с помощью которых между
ними осуществляется связь. В своей специальной теории
относительности Эйнштейн ' показал, каким образом тот
1 Однако в его общей теории относительности наблюдатели,
которые связаны с общими системами отсчета, не приписывают
одно и то же универсальное значение скорости света, и здесь уже
неприменим простой анализ с помощью световых сигналов, харак-
терный для специальной теории относительности,
263
же самый принцип кинематической симметрии в экспе-
риментах со световыми сигналами может быть распро-
странен на случай с наблюдателями, которые находятся
в состоянии относительного равномерного и прямолиней-
ного движения, хотя выводы, по сути дела, здесь уже
совершенно не те, какие можно сделать для случая с
наблюдателями, находящимися в состоянии относитель-
ного покоя. В частности, для совокупности наблюдате-
лей, находящихся в состоянии равномерного и прямоли-
нейного движения, больше уже не существует мировой
одновременности, а следовательно, и общего .универ-
сального времени. Следовательно, хотя теория и осно-
вывается на предположении, что общие законы, которым
подчиняются физические уравнения, имеют одинако-
вую форму как для наблюдателей, связанных с инер-
циальными системами, находящимися в состоянии от-
носительного равномерного и прямолинейного движения,
так и для наблюдателей, связанных с относительно по-
коящимися системами, эпохи, приписываемые частным
событиям, существенно различаются между собою.
Для того чтобы проиллюстрировать это положение
как можно более просто, мы вновь рассмотрим процесс
связи наблюдателя А с наблюдателем В и В с А при
помощи световых сигналов, как это показано на рис. 7.
Однако на сей раз мы поставим следующее условие: два
наблюдателя, рассматриваемые нами, движутся с рав-
номерной скоростью в радиальном направлении, начи-
ная с той частной эпохи, когда их времена совпа-
дают. Кром.е того, мы постулируем, что у обоих наблю-
дателей имеются одинаковые часы, причем они синхро-
низированы таким образом, что в исходное мгновение
времени, когда показания часов совпадают, они показы-
вают нуль времени. Как и прежде, мы рассмотрим сиг-
нал, отправленный наблюдателем А в момент /ь опреде-
ляемый его часами. Предположим также, что этот сигнал
по прибытии в В в момент f по часам наблюдателя В
мгновенно отражается и возвращается к Л в момент 4,
согласно часам наблюдателя А, Из принципа кинемати-
ческой симметрии следует, что если f = <J≫(/i), то tz =
—ф(О. Поэтому
(25)
Однако
=** +г/с, tl = t — где г есть расстояние от А до В, согласно точке зрения
А в мгновение отражения сигнала, a t есть эпоха свер-
шения этого события, которая теоретически опреде-
ляется наблюдателем А. Поскольку В удаляется в ра-
диальном направлении от точки его совпадения с А
в нулевой момент времени, то отсюда следует, что
где V есть относительная скорость В. Поэтому
где
(26)
_ 1 + у/с
1 _ К/с '
Следовательно, сравнивая (25) и (26), мы видим, что
функция ф должна быть такой, что для всех значений
переменной t
фф(/) = я≫/. (27)
Производя операции с ф на каждой из сторон урав*
нения, мы получаем, что
откуда
Г (28)
где штрихованные величины означают производные.
Единстьенным решением уравнения (28), которое яв-
ляется непрерывным, когда *-≫-0 (положительное) есть
ф'(0 = k, где k —константа '. Поскольку t1 = 0, когда
/i = 0, то отсюда следует, что ф(0) = 0, и поэтому мы
должны получить ф(/) = kt. Сравнивая с (27), полу-
чаем k2 = а2. Для того чтобы получить единственное ре-
шение k = а, а следовательно, и
ф (t) = а/, (29)
где а положительна, мы должны принять еще одну ак-
сиому.
'Из (28) следует, что ф'(0 = i|/(≪~2nO и а~2п/ ->0, когда
я->оо, поскольку а2 > 1, ибо 0 < V < с.
265
Аксиома XI. Порядок восприятия световых сигналов
наблюдателем В, согласно его точке зрения, соответ-
ствует порядку отправления этих сигналов наблюдате-
лем А, согласно точке зрения А.
Мы уже видели, что, согласно А, в любой точке в
данную (теоретически определенную) эпоху существует
единственное значение скорости света в пустоте. Отсюда
следует, что порядок прибытия световых сигналов в В,
согласно точке зрения А, должен быть тем же, что и по-
рядок их отправления из А. Ибо если сигнал, отправлен-
ный наблюдателем А в какой-то момент времени, при-
был бы в точку В, с точки зрения А, до другого сигнала,
отправленного из точки А раньше него, тогда из посту-
лата непрерывности следует, что в пространстве, разде-
ляющем А и В, произошло какое-то событие, в резуль-
тате которого второй сигнал догнал и перегнал первый.
Если бы такое событие произошло, то тогда, согласно
точке зрения А, существовало бы два значения скорости
света в пустоте. Поэтому аксиому XI можно рассматри-
вать как утверждение, что временной порядок событий
в точке В, который теоретическим путем определяется,
с точки зрения А, согласуется с временным порядком
этих событий, как он воспринимается В. В этом смысле
мы можем говорить, что временной порядок этих собы-
тий имеет один и тот же смысл как для А, так и для В.
Согласно принципу относительности, А и В равноправ-
ны в том отношении, как оно сформулировано в аксио-
ме XI.
Поскольку t2 = о^', t' = a/i и t = ^(^ + t\), где t есть
время, которое А приписывает прибытию (и отражению)
сигнала в В, то отсюда следует, что
t = l L i l \ f = *'
2 ( ~t~ a / У{\ - У/с2)
(30)
Следовательно, мы делаем вывод, что, хотя А и В при-
шли к согласию относительно временного поряда собы-
тий в В, они будут приписывать различные меры вре-
менным интервалам между любыми двумя мгновениями
в В.
Рассмотрим этот вопрос с более общей точки зрения.
Возьмем световой сигнал, который отправлен наблюда-
телем Л в момент tit согласно его часам. Этот сигнал
проходит мимо В в момент ti, согласно часам В, затем
мгновенно отражается некоторым событием Е, происхо-
дящим на одной линии с Л и В, вновь проходит мимо
В в момент t'a, согласно его часам, и возвращается к А
в момент tt. Тогда если (t, r) являются теоретически
устанавливаемой эпохой времени события Е и рас-
стоянием до него с точки зрения Л, a (f, r') эпохой
времени и расстоянием до Е, с точки зрения В, то от-
сюда следует, что
t'^t' + r'lc, t^t'-r'lc]'
Поскольку
U —at's, t\
(31)
(32)
то мы, подставляя (31) в (32) и решая его, находим,
что
r—t t' = (33)
Мы получили знаменитые формулы Лоренца' для собьь
тия, происходящего на прямой, соединяющей наблюда-
телей Л и 0.
Для случая, когда событие E происходит в любом
месте, ставится условием, что наблюдатели А и В могут
связаться с ним с помощью световых сигналов (то есть
E должно лежать на траекториях световых лучей, посы-
лаемых от Л и о, а также на траекториях лучей, кото-
рые воспринимаются этими наблюдателями). Можно до-
казать 2, что если х является координатой события Е,
измеряемой наблюдателем Л в направлении к В, а х' — координатой Е, измеряемой наблюдателем В в направ-
лении, противоположном Л, то есть (х, у, z) и (х', у', z')
будут ортогональными реперами (декартовыми осями),
которые совпадают в нулевой момент времени, то в та-
ком случае формулы Лоренца, связывающие соответ-
ствующие координаты и эпохи Е, согласно А к В, мо-
гут быть записаны в следующем виде:
у/_ *-У* .. V'_v Z'-Z f- t-Vxlc*
" 1_ ка/с2) ' ~У' ' ~ /(Ь^
(34)
Эти преобразования могут быть выражены и в обратной
форме:
х ——_±
(35)
так что, кроме знака V (который обязан несимметрич-
ному выбору направлений осей х и х'), мы находим, что
преобразования Лоренца являются взаимно-обратимы-
ми, в согласии с принципом относительности, который
лежит в основе теории '.
Здесь нас прежде всего интересует формула для f и
t. Она заменяет классическую f = t, которая выражает
универсальную природу ньютоновского времени и одно-
временности. Появление пространственных координат х
и х' в соответствующих выражениях для t и f делает
неизбежным следующее: удаленные события, которые
(конвенционально) являются одновременными для од^
ного наблюдателя, не являются (конвенционально), во-
1 Из формулы (35) мы можем непосредственно вывести Эйн-
штейнову формулу сложения скоростей:
и' + У
1+u'V/c* ' 1 -f и'У/с3
_
w~ l + u'V/c3
для составляющих скорости частицы (a, v, w) относительно наблю-
дателя А, которая движется относительно В со скоростью, компо-
нентами которой являются (и', о', w'). Замечательным свойством
этих формул, в частности формулы для а, является то, что ско-
рости не аддитивны. Напротив, в случае скоростей, направленных
по одной прямой, например для и и V, мы находим, что
tanh~lu/c=*tanh~lu'/c-\-tanh~lV/c. Функция tanh~lu/c была на-
звана Роббом быстротой (rapidity), соответствующей скорости и.
В случае неколлинеарных скоростей можно доказать, что закон про-
изведения соответствующих быстрот задается законом треугольника
гиперболической тригонометрии (Лобачевского). Подобным же об-
разом мы наблюдаем, что, если У = с, тогда и = с независимо от
величины и',
обще говоря, таковыми для другого. Следовательно, хотя
специальная теория относительности и совместима с
представлением об универсальной одновременности со-
бытий, происходящих в одном и том же месте, она все
же отрицает универсальную одновременность событий,
происходящих в разных точках пространства'.
Таким образом, повсеместная одновременность собы-
тий во вселенной становится неопределенным понятием,
если не указана система отсчета (или наблюдатель).
Подобно тому как перед наблюдателями, находящимися'
в разных местах, открываются различные пространствен*
ные перспективы вселенной, так и наблюдатели, движу≪
щиеся с разными скоростями, имеют различные времен-
ные перспективы.