• 5

4. СООТНОШЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ПЕРСПЕКТИВ

До сих пор мы рассматривали одного наблюдателя

А. В отличие от Франка и Роте', Уайтхеда2 и других,

которые пытались вывести существование конечной уни-

версальной скорости из более первичных постулатов, мы

не видим необходимости в рассмотрении соотношения

между пространственными и временными координатами,

приписываемыми удаленным событиям различными на-

блюдателями. Хотя это не составляет большого труда

для представителя ньютоновской классической физики,

который верит в абсолютную всемирную одновремен-

ность и в абсолютное физическое пространство, подчи-

няющееся законам евклидовой геометрии, но если от-

казаться от этих предположений, то сразу же возникает

проблема, которая нуждается в дополнительном иссле-

довании. В настоящее время общепризнано, что наибо-

лее удовлетворительный метод решения этой проблемы

состоит в рассмотрении прежде всего соотношения ме-

жду часами двух наблюдателей с помощью того самого

эксперимента со световыми сигналами, о котором мы го-

ворили выше (стр. 24042).

Мы рассмотрели вопрос, каким образом наблюдатель

А устанавливает время событий, происходящих в В. Как

мы уже видели, решение, предложенное Эйнштейном,

основывалось на его постулате, согласно которому ско-

рость света для наблюдателя А является универсаль-

ной константой, не зависящей ни от положения наблю-

дателя, ни от направления распространения света. Те-

перь мы должны рассмотреть, как соотносится это тео-

ретическое время, устанавливаемое наблюдателем А для

событий, происходящих в о, с эмпирическим моментом

t', который на самом деле показывают часы, располо-

женные в точке В. Для того чтобы поставить проблему

Временной опыт А

Временной опыт В

более точно, мы постулируем, что В теперь является на-

блюдателем, ≪подобным≫ наблюдателю А. На практике

это означает, что В имеет часы, ≪подобные≫ часам, ко-

торые есть у А. Например, если у А имеется тот или

иной тип атомных или молекулярных часов, то мы пред-

полагаем, что и у В есть часы аналогичной конструк-

ции1. Эти часы позволяют В принять участие в экспери-

менте со световыми сигналами, который проводит А;

каждый из этих наблюдателей мгновенно отсылает об-

ратно сигнал, полученный им от другого, как это пока-

зано на рис. 7.

1 Если мы предполагаем, что все естественные часы, которые

есть у данного наблюдателя, показывают одинаковое время, тогда

нам нужно только поставить следующее условие: часы наблюда-

теля В проградуированы точно так же, как и часы наблюдателя А.

В специальной теории относительности предпола-

гается, что наблюдатели А и В связаны с инерциаль-

ными системами отсчета. Следовательно, они находятся

относительно друг друга либо в покое, либо в состоянии

равномерного и прямолинейного движения. Принцип от-

носительности, на котором основывается теория, был

сформулирован в сентябре 1904 года Пуанкаре' в лек-

ции, которую он читал в Сент-Луисе (США).

Согласно формулировке, Пуанкаре, ≪законы физиче-

ских явлений должны быть одинаковы как для ≪непод-

вижного≫ наблюдателя, так и для наблюдателя, кото-

рый находится относительно него в равномерном и

прямолинейном движении, поэтому мы не имеем и не

можем иметь каких-либо средств для того, чтобы разли-

чить, находимся ли мы в состоянии такого движения

или нет≫. Вскоре после этого и независимо2 от Пуан-

каре принцип относительности был сформулирован Эйн-

штейном в гораздо более точной форме: ≪Во всех

системах отчета, для которых имеют силу уравнения ме-

ханики, справедливы одни и те же законы электродина-

мики и оптики≫. Этот принцип предполагает, что наблю-

1 H. P o i n c a r e , Bull, des Sei. Math. (2), 28, 1904, 825.

2 В последние годы состоялась важная дискуссия о роли Эйн-

штейна в создании теории относительности. В своей блестящей исто-

рии современной физики, опубликованной в 1953 году, сэр Эдмунд

Уиттэкер (E. W h i 11 a k e r, History of the Theories of Aether and

Electricity, vol. II) посвятил этой теории главу с интригующим на-

званием ≪Теория относительности Пуанкаре и Лоренца≫. После

этого уже отмечалось, например В. Баргманом (V. B a r g m a n n,

Review of Modern Physics, 29, 1957, 161), что сила позиции Эйн-

штейна по сравнению с Пуанкаре и Лоренцом состоит в том, что

формулировки последних опирались только на полную теорию элек-

тродинамики и по сути дела ограничивались явлениями, связанными

с ней, тогда как Эйнштейн развивал свою теорию, исходя из эле-

ментарных соображений о световых сигналах. Последующие раз-

работки обнаружили всю важность этого различия, ибо теория

Эйнштейна отнюдь не ограничена электродинамикой и ≪совершенно

не зависит от наших взглядов на природу фундаментальных взаимо-

действий между элементарными частицами≫. Роль Пуанкаре была

подвергнута критическому рассмотрению также и французским исто-

риком науки Р. Татоном (R. T a t о п. Reason and Chance in Scientific

Discovery, translated by A. J. Romerans, London, 1957, p. 135).

Согласно Татону, хотя Пуанкаре и знал, что нужно было делать,

≪он не отважился разъяснить свои мысли и вывел, таким образом,

все следствия, опустив имеющий решающее значение момент, что

и не позволило ему, по существу, открыть принцип относительности≫.

В поддержку своей точки зрения Татон приводит следующее выска-

датели, которые связаны с такими системами отсчета,

используют одинаковые измерительные инструменты, на-

пример часы, и принимают одинаковые метрические пра-

вила и определения. Поэтому, если наблюдатель А при-

писывает скорости света универсальное значение с, то

наблюдатель В обязан сделать то же* самое.

Обычно, когда в специальной теории относительно-

сти Эйнштейна рассматривают соотношение часов на-

блюдателей А и В и их временные показания, то огра-

ничиваются случаем равномерного относительного дви-

жения. Я же, напротив, начну рассмотрение со случая,

когда они находятся в относительном покое, ибо это

весьма важно для установления одного из главных вы-

водов, к которому я приду в следующей главе. Если у

А и В имеются часы, которые проградуированы одина-

ково, тогда с точностью до аддитивной постоянной, что

зависит от выбора нулевого момента времени на каждых

часах, принцип относительности, поскольку это касается

кинематики, можно свести к следующему утверждению:

Аксиома X. Принцип кинематической симметрии: t2

есть функция от t', которая тождественна функции t'

от t\.

Поэтому должно существовать функциональное отно-

шение следующего вида:

Следовательно, функция б, которую мы будем называть

сигнальной функцией, связывающей А к В, должна быть

такой, что

t2 = 96 (rfj). (22)

зываниеЛ. де Бройля: ≪Почему Пуанкаре не удалось перешаг-

нуть за рамки своего собственного мышления? Несомненно, что это

произошло отчасти в силу того, что он был чистым математиком.

Он занимал довольно скептическую позицию в отношении физиче-

ских теорий, считая, что вообще существует бесчисленное множество

различных, но логически эквивалентных точек зрения и образов,

которые ученый выбирает лишь из соображений удобства. Этот

номинализм, видимо, иногда мешал ему правильно понять тот факт,

что среди логически возможных теорий имеются, однако, теории,

которые наиболее близки к физической реальности, во всяком слу-

чае, лучше приспособлены к интуиции физика и более пригодны

содействовать его усилиям≫ (см. Луи де Бройль, По тропам

чауки, Издательство иностранной литературы, 1962, стр, 30607).

Однако поскольку В находится на фиксированном рас-

стоянии от Л, а световой сигнал перемещается с постоян-

ной скоростью, то отсюда следует, что разность (tt t\)

должна быть постоянной. Поэтому 8 должна быть такой,

что

(23)

для всех значений ^ и некоторой константы а. Если мы

опустим индекс, то, очевидно, решением этого функцио-

нального уравнения будет 8(0 = t + а.

С более общей точки зрения, производя операции с

0, в обеих частях уравнения мы получим, что

откуда непосредственно следует, что 6(0 должна иметь

следующий вид:

где ю(0 имеет период 2а. Для того чтобы свести это

решение к частной форме 6(0 = t + а, мы должны при-

нять во внимание других наблюдателей, которые также

находятся в состоянии покоя. Таким образом, если А, В

и С находятся на одной линии, причем В лежит между

А и С, а <р есть сигнальная функция, связывающая В и

С, тогда соотношение между А и С будет определяться

сигнальной функцией ф, которая задается формулой

ф = д<р = <р8. Следовательно, 8 и <р' должны быть комму-

тативными функциями. Поскольку С находится на фик-

сированном расстоянии от В, <р должно удовлетворять

функциональному уравнению следующего вида:

(24)

где Ь есть некоторая постоянная. Тогда легко доказать,

что

и что, следовательно, Л и С находятся друг от друга на

фиксированном расстоянии, которое равно сумме соот-

ветствующих расстояний А —В и В —С. Производя

операции в обоих частях равенства (24) с функцией 9

и опираясь на свойство коммутативности функций 8 и q?,

мы делаем вывод, что

б (t + Щ —6<?<р (t) <р<рв (t) = 6 (t) + 2b,

откуда следует, что

где ю(0 имеет период 2Ь. Поэтому ш(0 должно содер-

жать в себе в качестве периодов как 2с, так и 26. Если

А, В и С есть любые три члена континуума относительно

неподвижных наблюдателей, тогда 2а и 2Ь будут, вообще

говоря, несоразмерны. Следовательно, согласно извест-

ной теореме, единственная форма функции со (0, которая

обеспечивает ее непрерывность, есть постоянная и, та*

ким образом, из уравнения (23) следует, что 6(0= t + а.

При таком решении для 6(0 из уравнения (21) следует, что

Сравнивая этот результат с уравнением (19), мы полу-

чаем, что t' ~ t, то есть время, которое показывают ча-

сы, находящиеся в точке В, когда там происходит какое-

нибудь событие, является точно таким же, как и время,

которое наблюдатель А теоретически определяет для

этого события, исходя из равномерности скорости света.

Поэтому все наблюдатели, находящиеся друг относи-

тельно друга в состоянии покоя, приписывают одинако-

вое время любому данному событию, и это время согла-

суется с тем, которое действительно определяется ча-

сами, имеющимися у наблюдателя, который находится

в той точке, где это событие происходит. В этом конвен-

циональном смысле для всех наблюдателей, находящихся

в состоянии относительного покоя, существует мировая

одновременность событий, а следовательно, и универ-

сальное время.

Проделанный выше анализ основывался на представ-

лении о ≪кинематической симметрии≫ наблюдателей,

которые находятся друг относительно друга в состоянии

покоя и пользуются одинаково проградуированными ча-

сами." Кроме того, эти наблюдатели приписывают одно

и то же постоянное значение скорости распространения

в пустоте световых сигналов, с помощью которых между

ними осуществляется связь. В своей специальной теории

относительности Эйнштейн ' показал, каким образом тот

1 Однако в его общей теории относительности наблюдатели,

которые связаны с общими системами отсчета, не приписывают

одно и то же универсальное значение скорости света, и здесь уже

неприменим простой анализ с помощью световых сигналов, харак-

терный для специальной теории относительности,

263

же самый принцип кинематической симметрии в экспе-

риментах со световыми сигналами может быть распро-

странен на случай с наблюдателями, которые находятся

в состоянии относительного равномерного и прямолиней-

ного движения, хотя выводы, по сути дела, здесь уже

совершенно не те, какие можно сделать для случая с

наблюдателями, находящимися в состоянии относитель-

ного покоя. В частности, для совокупности наблюдате-

лей, находящихся в состоянии равномерного и прямоли-

нейного движения, больше уже не существует мировой

одновременности, а следовательно, и общего .универ-

сального времени. Следовательно, хотя теория и осно-

вывается на предположении, что общие законы, которым

подчиняются физические уравнения, имеют одинако-

вую форму как для наблюдателей, связанных с инер-

циальными системами, находящимися в состоянии от-

носительного равномерного и прямолинейного движения,

так и для наблюдателей, связанных с относительно по-

коящимися системами, эпохи, приписываемые частным

событиям, существенно различаются между собою.

Для того чтобы проиллюстрировать это положение

как можно более просто, мы вновь рассмотрим процесс

связи наблюдателя А с наблюдателем В и В с А при

помощи световых сигналов, как это показано на рис. 7.

Однако на сей раз мы поставим следующее условие: два

наблюдателя, рассматриваемые нами, движутся с рав-

номерной скоростью в радиальном направлении, начи-

ная с той частной эпохи, когда их времена совпа-

дают. Кром.е того, мы постулируем, что у обоих наблю-

дателей имеются одинаковые часы, причем они синхро-

низированы таким образом, что в исходное мгновение

времени, когда показания часов совпадают, они показы-

вают нуль времени. Как и прежде, мы рассмотрим сиг-

нал, отправленный наблюдателем А в момент /ь опреде-

ляемый его часами. Предположим также, что этот сигнал

по прибытии в В в момент f по часам наблюдателя В

мгновенно отражается и возвращается к Л в момент 4,

согласно часам наблюдателя А, Из принципа кинемати-

ческой симметрии следует, что если f = <J(/i), то tz =

—ф(О. Поэтому

(25)

Однако

=** +г/с, tl = t — где г есть расстояние от А до В, согласно точке зрения

А в мгновение отражения сигнала, a t есть эпоха свер-

шения этого события, которая теоретически опреде-

ляется наблюдателем А. Поскольку В удаляется в ра-

диальном направлении от точки его совпадения с А

в нулевой момент времени, то отсюда следует, что

где V есть относительная скорость В. Поэтому

где

(26)

_ 1 + у/с

1 _ К/с '

Следовательно, сравнивая (25) и (26), мы видим, что

функция ф должна быть такой, что для всех значений

переменной t

фф(/) = я≫/. (27)

Производя операции с ф на каждой из сторон урав*

нения, мы получаем, что

откуда

Г (28)

где штрихованные величины означают производные.

Единстьенным решением уравнения (28), которое яв-

ляется непрерывным, когда *--0 (положительное) есть

ф'(0 = k, где k —константа '. Поскольку t1 = 0, когда

/i = 0, то отсюда следует, что ф(0) = 0, и поэтому мы

должны получить ф(/) = kt. Сравнивая с (27), полу-

чаем k2 = а2. Для того чтобы получить единственное ре-

шение k = а, а следовательно, и

ф (t) = а/, (29)

где а положительна, мы должны принять еще одну ак-

сиому.

'Из (28) следует, что ф'(0 = i|/(~2nO и а~2п/ ->0, когда

я->оо, поскольку а2 > 1, ибо 0 < V < с.

265

Аксиома XI. Порядок восприятия световых сигналов

наблюдателем В, согласно его точке зрения, соответ-

ствует порядку отправления этих сигналов наблюдате-

лем А, согласно точке зрения А.

Мы уже видели, что, согласно А, в любой точке в

данную (теоретически определенную) эпоху существует

единственное значение скорости света в пустоте. Отсюда

следует, что порядок прибытия световых сигналов в В,

согласно точке зрения А, должен быть тем же, что и по-

рядок их отправления из А. Ибо если сигнал, отправлен-

ный наблюдателем А в какой-то момент времени, при-

был бы в точку В, с точки зрения А, до другого сигнала,

отправленного из точки А раньше него, тогда из посту-

лата непрерывности следует, что в пространстве, разде-

ляющем А и В, произошло какое-то событие, в резуль-

тате которого второй сигнал догнал и перегнал первый.

Если бы такое событие произошло, то тогда, согласно

точке зрения А, существовало бы два значения скорости

света в пустоте. Поэтому аксиому XI можно рассматри-

вать как утверждение, что временной порядок событий

в точке В, который теоретическим путем определяется,

с точки зрения А, согласуется с временным порядком

этих событий, как он воспринимается В. В этом смысле

мы можем говорить, что временной порядок этих собы-

тий имеет один и тот же смысл как для А, так и для В.

Согласно принципу относительности, А и В равноправ-

ны в том отношении, как оно сформулировано в аксио-

ме XI.

Поскольку t2 = о^', t' = a/i и t = ^(^ + t\), где t есть

время, которое А приписывает прибытию (и отражению)

сигнала в В, то отсюда следует, что

t = l L i l \ f = *'

2 ( ~t~ a / У{\ - У/с2)

(30)

Следовательно, мы делаем вывод, что, хотя А и В при-

шли к согласию относительно временного поряда собы-

тий в В, они будут приписывать различные меры вре-

менным интервалам между любыми двумя мгновениями

в В.

Рассмотрим этот вопрос с более общей точки зрения.

Возьмем световой сигнал, который отправлен наблюда-

телем Л в момент tit согласно его часам. Этот сигнал

проходит мимо В в момент ti, согласно часам В, затем

мгновенно отражается некоторым событием Е, происхо-

дящим на одной линии с Л и В, вновь проходит мимо

В в момент t'a, согласно его часам, и возвращается к А

в момент tt. Тогда если (t, r) являются теоретически

устанавливаемой эпохой времени события Е и рас-

стоянием до него с точки зрения Л, a (f, r') эпохой

времени и расстоянием до Е, с точки зрения В, то от-

сюда следует, что

t'^t' + r'lc, t^t'-r'lc]'

Поскольку

U at's, t\

(31)

(32)

то мы, подставляя (31) в (32) и решая его, находим,

что

rt t' = (33)

Мы получили знаменитые формулы Лоренца' для собьь

тия, происходящего на прямой, соединяющей наблюда-

телей Л и 0.

Для случая, когда событие E происходит в любом

месте, ставится условием, что наблюдатели А и В могут

связаться с ним с помощью световых сигналов (то есть

E должно лежать на траекториях световых лучей, посы-

лаемых от Л и о, а также на траекториях лучей, кото-

рые воспринимаются этими наблюдателями). Можно до-

казать 2, что если х является координатой события Е,

измеряемой наблюдателем Л в направлении к В, а х' — координатой Е, измеряемой наблюдателем В в направ-

лении, противоположном Л, то есть (х, у, z) и (х', у', z')

будут ортогональными реперами (декартовыми осями),

которые совпадают в нулевой момент времени, то в та-

ком случае формулы Лоренца, связывающие соответ-

ствующие координаты и эпохи Е, согласно А к В, мо-

гут быть записаны в следующем виде:

у/_ *-У* .. V'_v Z'-Z f- t-Vxlc*

" 1_ ка/с2) ' ~У' ' ~ /(Ь^

(34)

Эти преобразования могут быть выражены и в обратной

форме:

х ——_±

(35)

так что, кроме знака V (который обязан несимметрич-

ному выбору направлений осей х и х'), мы находим, что

преобразования Лоренца являются взаимно-обратимы-

ми, в согласии с принципом относительности, который

лежит в основе теории '.

Здесь нас прежде всего интересует формула для f и

t. Она заменяет классическую f = t, которая выражает

универсальную природу ньютоновского времени и одно-

временности. Появление пространственных координат х

и х' в соответствующих выражениях для t и f делает

неизбежным следующее: удаленные события, которые

(конвенционально) являются одновременными для од^

ного наблюдателя, не являются (конвенционально), во-

1 Из формулы (35) мы можем непосредственно вывести Эйн-

штейнову формулу сложения скоростей:

и' + У

1+u'V/c* ' 1 -f и'У/с3

_

w~ l + u'V/c3

для составляющих скорости частицы (a, v, w) относительно наблю-

дателя А, которая движется относительно В со скоростью, компо-

нентами которой являются (и', о', w'). Замечательным свойством

этих формул, в частности формулы для а, является то, что ско-

рости не аддитивны. Напротив, в случае скоростей, направленных

по одной прямой, например для и и V, мы находим, что

tanh~lu/c=*tanh~lu'/c-\-tanh~lV/c. Функция tanh~lu/c была на-

звана Роббом быстротой (rapidity), соответствующей скорости и.

В случае неколлинеарных скоростей можно доказать, что закон про-

изведения соответствующих быстрот задается законом треугольника

гиперболической тригонометрии (Лобачевского). Подобным же об-

разом мы наблюдаем, что, если У = с, тогда и = с независимо от

величины и',

обще говоря, таковыми для другого. Следовательно, хотя

специальная теория относительности и совместима с

представлением об универсальной одновременности со-

бытий, происходящих в одном и том же месте, она все

же отрицает универсальную одновременность событий,

происходящих в разных точках пространства'.

Таким образом, повсеместная одновременность собы-

тий во вселенной становится неопределенным понятием,

если не указана система отсчета (или наблюдатель).

Подобно тому как перед наблюдателями, находящимися'

в разных местах, открываются различные пространствен*

ные перспективы вселенной, так и наблюдатели, движу≪

щиеся с разными скоростями, имеют различные времен-

ные перспективы.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я