• 5

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ НА РАССТОЯНИИ (II)

До сих пор мы занимались получением более об-

щего ' решения проблемы Эйнштейна, чем это предпо-

лагалось им самим при создании специальной теории

относительности. Мы еще вернемся к этому более об-

щему решению в V главе, а здесь рассмотрим выводы,

вытекающие из следующей дополнительной аксиомы.

Аксиома VIII. Временной интервал (tc tB) между

моментами tB, tc, теоретически устанавливаемый наблю-

дателем А. для любых двух событий ЕВ, Ес, не 'зависит

от выбора нулевого момента времени на часах наблю-

дателя А.

Это означает, что когда часы, которые имеются у

наблюдателя А, вновь выверяются путем изменения ну-

левого момента так, что t\ -*t + а, £г-> t2 + а, то в этом

случае t, задаваемое уравнением (3'), а именно

также подвергается преобразованию t-+-t + &. Следова-

тельно, для всех а

≪) = - (6)

Из условия (5) при сравнении соотношений (3) и (6)

следует, что

*(* + a) = X(a)g(0 + !(a), (7)

где Ал и \лч не зависит от t, а Ко. + 0.

Мы уже видели, что добавление произвольной кон-

станты \(t) не вызывает никаких изменений в форму-

1 Если мы сделаем менее строгим постулат однородности (ак-

сиома V), то мы получим еще более общее решение. Однако

интересно отметить, что формула (3) для определения времени на

расстоянии все еще имеет силу, когда радиальная скорость сигнала

задается функцией вида I' (t)ly'(r), хотя в формуле (2) символ т

заменяется теперь на <р(г) интегралом относительно г от Ф'(г)-

В частном случае, когда |'(f) = с, а <р'(г) = (1 Gm/c2r)-', полу-

чается радиальная скорость света, соответствующая хорошо извест-

ной метрике Шварцшильда в общей теории относительности. Здесь

G —гравитационная постоянная, m —точечная масса, а с —пре-

дельная скорость света на бесконечности.

лах (2) и (3). Поэтому при желании мы можем принять

|(0-) = 0. При этом условии мы находим, что формула

(7) дает £(«) = ц(а) и, следовательно, ее можно заме-

нить на

£(Л-а) = Х(о06(*)-Н(). (8)

Поменяв местами t и а и произведя вычитание, мы уви-

дим, что

1 Ч≪)

Поэтому, поскольку / и а не зависят друг от друга, то

отсюда следует, что

X (0 =14- 5(0. (9)

где а не зависит от t.

Если а = О, тогда уравнение (8) принимает следую-

щий вид:

Это функциональное уравнение Коши, единственным не-

прерывным решением которого является

S(0 = rf. (Ю)

где с является постоянной. Однако, если а Ф О, тогда,

подставив (9) в (8), мы находим, что

Это уравнение легко сводимо к формуле Коши и имеет

следующее решение:

где k является константой. Следовательно, из (9) мы

делаем вывод, что

(H)

Это выражение приводит нас к формуле (10), если

а = k/c, a k -*- 0.

Опуская аддитивную постоянную в (11), которая во-

обще не имеет отношения к делу, и заменяя 1/а на га,

a k на I/to, мы получаем £(/) = гйеЧ** , откуда (2) и (3)

дают

г = -~г (12) 0 (<?<*/'≫ — 249

в≪* = -i (13)

Мы можем немедленно убедиться, что (13) удовлетво-

ряет аксиоме VIII. С другой стороны, изменение в вы-

боре нулевого момента времени влечет за собою умно-

жение всех расстояний г, которые задаются формулой

(12) на один и тот же масштабный множитель. Однако

при изменении нулевого момента времени не меняется

ни одно из отношений между этими расстояниями'. Рас-

смотрим теперь следствия, вытекающие из изменения

единицы измерения времени.

Аксиома IX. Все времена, теоретически устанавли-

ваемые наблюдателем А для удаленных событий, умно-

жаются на один и тот же масштабный множитель, если

единица времени наблюдателя А меняется произволь-

ным образом.

Эту аксиому следует понимать так: формула, выра-

жающая t как функцию ti u t2, не содержит никакой

константы, обладающей размеренностью2. Поскольку /-≫• -*-Kt всякий раз, когда t\-*-K.t\, a tt-*-K.tt, то мы с по-

мощью аргументации, аналогичной той, которая выте-

кает из аксиомы VIII, делаем вывод, что для всех

К>0

1 Нетрудно показать, что уравнение (11) дает единственную

форму |(<), для которой это положение является верным. Ибо g

должно удовлетворять функциональному уравнению следующего

типа:

для всех допустимых tt, <г и а, где К(а) > 0 и не зависит от t\

и /г. Поскольку

≪ А + ") - К (а) 5 ft) = i (t , + ) - К (а) S ft),

то отсюда следует, что для всех t ^\

где L (а) не зависит от t. Сравнивая с (7), мы видим, что \(t)

должно иметь вид, записанный в формуле (11).

2 Связанные с ней формулы для расстояния и скорости света

будут необходимым образом включать некоторые константы, обла-

дающие размерностью.

где Х(/С), ii(K) являются функциями от К и К(К) Ф 0.

Рассматривая %(t) как функцию от log t, мы находим

общую формулу для |:

(14)

с точностью до произвольной аддитивной постоянной.

Заметим также, что когда а = k/b, a /(--О, то |(/) про-

порциональна logt. Записав а = 1/а, из формулы (14)

получаем'

r = ia(tf ?) (15)

,Ä l /.k

* =*2 (16)

В единственном случае, когда %(t) пропорционально

t, мы имеем

1 ' " '(i) (17)

(18)

скорость света при этом обратно пропорциональна t.

В этом случае все эпохи должны иметь один и тот же

знак. Эпоха t = 0 является единственной, и в это

время скорость света была бы бесконечной.

Мы нашли, что £(/) совместима как с аксиомой VII,

так и с аксиомой IX только в той форме, которая задана

формулой (10). Отсюда следует вывод, что единствен-

ным решением2 проблемы Эйнштейна, совместимым со

всеми сформулированными выше аксиомами, является

то, которое было предложено самим Эйнштейном при

формулировании специальной теории относительности, а

именно

1 " ' ". (19)

1 Мы видим, что формулы (16) и (18) в отличие от (13) не со-

держат никаких постоянных с временной размерностью.

2 Решение (13), связанное с тем, что скорость света пропорцио-

нальна в*', применимо в случае вселенной де Сиггера (см. стр. 308).

Это частное правило установления времени для удален-

ных событий связано с законом расстояния

г =4 с (*,-*!), (20)

для постоянной скорости света с.

Нетрудно заметить, что в данном анализе мы не при-

бегали к понятию идеально твердого тела, так как это

предполагается в классической теории измерения про-

странственных величин. Тем не менее мы получили не

только правило для установления времени удаленных

событий, но также и правило для измерения простран-

ства (в частности, если мы для определения длин лю-

бых траекторий световых лучей в пустоте опираемся на

обобщенную форму аксиомы V). В своей статье, опуб-

ликованной в 1905 году, Эйнштейн явно придерживается

понятия твердого тела, однако Пуанкаре' в статье о ди-

намике электрона, опубликованной в следующем году,

показал, что если мы постулируем существование конеч-

ной неизменной скорости светового сигнала с, то мы мо-

жем обойтись без понятия твердого тела как основы

для измерений пространства. В таком случае все изме-

рения в пространстве можно проделать с помощью со-

ответствующих показаний времени. Расстояния, прохо-

димые, с точки зрения наблюдателя А, световыми сигна-

лами за промежуток времени между двумя эпохами,

определяются как произведение с на числовую разность

между двумя эпохами. Следовательно, расстояния в

пустоте были бы равны, если бы покрывались светом

(или другими электромагнитными волнами) за одинако-

вое время.

Хотя для классической лабораторной физики обыч-

ных расстояний понятие твердого тела играет ваяшую

роль (по крайней мере его наличие молчаливо пр^дпо-

лагается при измерениях с помощью градуированной ли-

нейки), однако к атомным и субатомным, а также астро-

номическим и космологическим масштабам это понятие

не имеет непосредственного отношения. В этих масшта-

бах мы вынуждены опираться на свойства электромаг-

нитных волн, а не на свойства твердых тел. Тем не ме-

нее иногда утверждают, что для физики измерение дли-

Н. P o i n c a r e , Rend, del Mat. Circ. Palermo, 21, 1906, 129.

ны с помощью линейки неизбежно является фундамен-

тальным, поскольку это единственное измерение, в кото-

ром не содержится ссылок на другие виды физических

величин. Несмотря на свое внешнее правдоподобие, этот

аргумент является несостоятельным, ибо процесс изме-

рения длины подразумевает наличие по крайней мере

двух моментов времени: момента, в который наблюда-

тель отмечает, что одна отметка на шкале совпадает с

одним концом измеряемого расстояния, и другого мо-

мента, в который он отмечает, что другая отметка совпа-

дает со второй конечной точкой. Кроме того, не только

проблема проверки стандартного метра или ярда соста-

вляет известные практические трудности, ибо это тре-

бует весьма тщательной регулировки такого фактора,

как температура, но и лежащие в ее основе теоретиче-

ские соображения отнюдь не являются простыми. Сле-

дует отказаться от наивной классической идеи об абсо-

лютной твердости, поскольку в ней содержится утвер-

ждение, что возмущение может распространяться вдоль

тела с бесконечной скоростью. Это несовместимо с на-

шим принципом существования конечного верхнего пре-

дела скорости распространения сигнала. Таким образом,

кажущаяся первичность пространственного измерения

становится тем менее очевидной, чем тщательнее иссле-

дуется '.

С другой стороны, измерение локального времени,

хотя оно на практике часто устанавливается простран-

ственно с помощью вращения стрелки на циферблате,

не обязательно зависит от измерения пространства. Как

мы уже отмечали, первые часы определяли время исклю-

чительно с помощью маятникового механизма; совре-

менные и наиболее точные типы часов зависят от есте-

ственных колебаний атомных и молекулярных систем, а

.эпохи отмечаются счетчиками. Конечно, в то время как

1 В самом деле, как отмечает Г. Бонди (H. B o n d i, Reports

on Progress in Physics, 22, 1959, 105), размеры наших линеек

определяются взаимодействиями атомов, полностью характеризую-

щимися колебаниями атомов, в соответствии с фундаментальным

правилом E ftv, где E обозначает энергию, v —частоту, a h —по-

стоянную Планка. Таким образом, истинно первичными стандартами

являются только временные стандарты, а единицы длины опреде-

I ляются с помощью с. Например, длина волны света (и других видов

электромагнитного излучения) данной частоты ,> есть расстояние

c/v, проходимое за один период со скоростью с.

253

любое измерение расстояния необходимо включает ка-

кие-то ссылки на время и основывается на двух раз-

личных суждениях об одновременности, приписывание

какой-либо эпохи событию в непосредственном опыте

наблюдателя зависит только от одного суждения об

одновременности, например о совпадении события с

определенным ударом часов. У наблюдателя суждения

об одновременности являются первичными данными

физического измерения. На практике эта идея в сочета-

нии с электромагнитной сигнализацией используется в

интерферометрах и радарных установках, где расстоя-

ния определяются с помощью отраженных сигналов.

В последние годы метод радара использовался для из-

мерения астрономических расстояний'.

Согласие с принципом, в соответствии с которым по-

казания времени могут трактоваться как фундамен-

тальные, а измерения пространства как вспомогатель-

ные, не подразумевает, однако, неизбежного согласия с

эйнштейновским правилом установления эпох уда-

ленных событий. Как мы уже видели, могут быть сфор-

мулированы другие правила, возможно более подходя-

щие в соответствующих контекстах. Тем не менее пра-

вило Эйнштейна является наиболее простым из всех

правил этого типа. Оно не зависит от пространственного

расположения и ориентации, а также от какого-либо

частного выбора начала временной шкалы и не содер-

1 В 1958 и 1959 годах посредством радиолокационных измере-

ний расстояния до Венеры был более точно определен средний эква-

ториальный горизонтальный солнечный параллакс (угол, который

опирается на радиус орбиты Земли вокруг Солнца). Учеными в

США и в обсерватории Джодрелл Бэнк были получены соответ-

ственно значения 8", 8022 и 8", 8020 в отличие от общепринятого

значения 8", 794 (Ѓ}0", 002), полученного на основании визуальных

наблюдений. Величина, полученная в Джодрелл Бэнк, эквивалентна

среднему расстоянию от Земли до Солнца, которое принимается

равным 149,46 млн. километров.

Попутно можно напомнить, что метод, подобный радиолокации,

применяется для определения расстояний летучими мышами. Гэй-

лэмбосом и Гриффином в США было установлено, что летучие мыши

излучают короткие импульсы сверхзвуковых колебаний. Время, не-

обходимое для того, чтобы такой импульс колебаний возвратился

к мыши, позволяет ей оценить расстояние до отражающей поверх-

ности. Звуковой или гидродинамической эхолокацией пользуются

также птицы, рыбы и другие животные, а также человек для под-

водной локации и т. Д. (D. R. G- г i f f i n, Listening in the Dark. New

Haven, 1958),

никакой константы с размерностью времени. Одна-

ко перед тем, как перейти к рассмотрению применения

этого правила к случаям, когда имеется более одного на-

блюдателя, и к проблеме согласования часов, находя-

щихся в различных местах, мы должны упомянуть о ре-

шительном отрицании Роббом этой фундаментальной

идеи о наличии у наблюдателя возможности устанавли-

вать какие-либо эпохи для удаленных событий.

Хотя Робб соглашался с Эйнштейном, что ≪.настоя-

щее мгновение, собственно говоря, не распространяется

за пределы данной точки≫, так. что ≪единственно реаль-

но одновременными событиями являются те, которые

случаются в одном и том же месте≫', он был более без-

жалостным при выбрасывании за борт классической

концепции универсальной одновременности in toto, по-

скольку, на его взгляд, в разных местах ≪не существует

вообще никаких тождественных мгновений≫. Робб осно-

вывал свою теорию времени и пространства на предста-

влении о том, что одно мгновение существует после дру-

гого, и утверждал, что если абстрактная сила, принадле-

жащая кому-то или чему-то, находящемуся в определен-

ное мгновение в точке Л, производит действие в какое-

то другое определенное мгновение в точке В, то это не

только достаточное, но также и необходимое условие

того, что мгновение в В будет позже мгновения в А. Точ-

но так же для того, чтобы мгновение в В произошло до

какого-то мгновения в А, существеннскто, чтобы некото-

рое влияние, возникшее в какое-то мгновение в точке В,

могло произвести действие в какое-то мгновение в точ^

ке А. Таким образом, рассматривая ситуацию, иллюстри-

руемую рис. 5, Робб утверждает, что поскольку никакое

физическое влияние или сущность, которая покидает А

I после EI, не может прибыть в В в мгновение свершения

I события ES, точно так же, поскольку никакое влияние

или сущность, которая покидаетв мгновение ЕВ, не

может прибыть в А до Е%, то интервал времени в А ме-

| жду EI и EZ не может находиться в каких-либо времен^

ных отношениях с Ев. Таким образом, в эксперименте

Физо любое мгновение в излучающем приборе после от≪

Правления световой вспышки и до мгновения ее возвра≪

Щения, не имеет места ни до, ни после мгновения ее

отражения в зеркале. В частности, могло бы существо-

вать не более одного момента в А, который хронологиче-

ски можно было бы соотнести с Ев, но ≪мы не имеем

никакой возможности сказать, какой это момент≫.

Принимая во внимание это отсутствие какой-либо

корреляции между Ев и событиями в точке А, которые

произошли между Е1 и EZ, Робб вводит идею, что ≪эле-

менты времени≫, то есть события, составляют систему,

в которой, как он говорит, суще-

ствует ≪конический порядок≫. Он

был определен чисто формаль-

ным аксиоматическим образом

как протяженность событий, ко-

торая действительно переживает-

ся наблюдателем и обладает про-

стым линейным порядком. Она

может быть проиллюстрирована

обычными геометрическими ко-

нусами, как это показано на

рис. 6.

По отношению к любому дан-

ному событию E все другие мо-

гут быть описаны с помощью,

четырехмерной диаграммы как

лежащие внутри, на или вне двух

смежных конусов (а и ß), вер-

шины которых находятся в Е. Образующие конуса пред-

ставляют собой траектории световых лучей, проходящих

через точку Е. События в g происходят до Ё, события

в а после E; a события вне а и ß не имеют никаких вре-

менных отношений с Е. Ни одно из событий, которое

в данной схеме изображается как не совпадающее с Е,

не может быть одновременным с ним '.

1 Робб ясно и кратко излагает этот принцип с помощью сле-

дующих цитат:

Однако для птицы времени путь краток,

И вот! Она уже летит.

Омар Хайям

Я не могу быть сразу в двух местах,

Если я не птица.

Сэр Бойль Роче

Вопреки общепринятым взглядам, выраженным в такой общей

форме, даже ≪птица времени≫ не может находиться сразу в двух

местах. А.' А. Робб

Рис. 6.

Робб тщательно подчеркивал, что его критика ка-

сается не математических выкладок Эйнштейна, а его

философии. Он выражал недовольство тем, что на са-

мом деле Эйнштейн употреблял термин ≪одновремен-

но≫ в двух различных смыслах. Наблюдаемая одновре-

менность, то есть восприятие наблюдателем того, что

одно событие в его опыте одновременно с другим, —это

неизбежный факт в отличие от определения одновремен-

ности между удаленным событием и событием, проис-

ходящим в опыте наблюдателя А. Согласно Роббу, в.

одном случае это слово ≪употребляется правильно для

описания чего-то абсолютного, тогда как в другом оно

используется для описания только конвенции≫ ', и, кроме

того, эта конвенция зависит от предположения, что на≪

блюдатель может рассматривать себя как покоящегося.

Однако если мы допускаем, что события, которые

произошли в точке А после события EI и до Ег, находят≪

ся в эмпирически неопределенном порядке относительно

события ЕВ в точке В, то должны ли мы согласитьсяХс

утверждением Робба, что Эйнштейн ошибался, когда

допускал, что наблюдатель А теоретически устанавли-

вает момент события Ев? Иными словами, если мы от-

вергаем классическую доктрину времени, которая обу-

словливает, что должно существовать одно-единственное

событие в А, которое одновременно с Ев, то следует ли

из этого, что Эйнштейн не должен был приписывать

определенную конвенциональную систему временных от-

ношений (раньше чем, одновременно, позже чем) между

ЕВ и всеми другими событиями в Л? Функция условно-

сти при построении теории состоит в достижении про-

стоты описания, и следует допустить, что специальная

теория относительности Эйнштейна проще, чем альтер-

натива, выдвигаемая Роббом2. Но это не все. Как мы

уже видели, эйнштейновское конвенциональное правило,

по которому наблюдатель А теоретически устанавливает

момент свершения события Ев, не является ≪только≫

2 Это не бросает никакой тени на строгость великолепного ана-

лиза, произведенного Роббом. В самом деле, его можно рассма-

тривать как человека, который сделал для теории временных отно-

шений то, что Евклид много лет назад проделал для теории про-

странственных отношений.

соглашением в смысле полной его произвольности. Ибо,

хотя это —соглашение, поскольку оно выбирается сво-

бодно, а не навязывается нам, можно с помощью сфор-

мулированных-выше аксиом указать на универсальное

отличие этого конвенционального правила от других до-

пустимых правил. При всем уважении к Роббу следует

отметить, что вопрос, по существу, состоит не в теоре-

тической допустимости конвенции Эйнштейна, а в ее

практической применимости, то есть в рассмотрении той

области физических явлений, к которым она может быть

успешно применена.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я