• 5

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ НА РАССТОЯНИИ (I)

Поскольку определение времён осуществления уда-

ленных событий не является простым процессом реги-

страции показаний часов, перед нами возникает сле-

дующая проблема: если имеется наблюдатель, ощущаю-

щий время и часы, которые измеряют временные

интервалы этих временных ощущений, как может он

определить время совершения удаленных событий?

Впредь я -буду именовать эту проблему проблемой

Эйнштейна, поскольку она явилась исходным пунктом

его теории. Ясно, что решение должно зависеть от при-

роды связей между удаленными событиями и наблюла'

телем. Если наблюдателю известно расстояние от места,

где произошло событие и скорость, с которой пришел

к нему сигнал, извещающий об этом событии, тогда, от-

метив время восприятия сигнала, он может вычислить

время осуществления события. Однако скорость опре-

ко импульсом, или группой волн, которые передвигаются с групповой

скоростью. В своем классическом исследовании Зоммерфельд пока-

зал, что она меньше с для любой среды. В последнем случае рас-

сматриваемая скорость никогда не может действовать как связь

между причиной и следствием. Поэтому с является максимальной

скоростью передачи информации.

деляется путем измерения пространства и времени, и,

таким образом, может показаться, что мы должны уже

знать, как измерять время во всех местах, проходимых

сигналом до того, как можно будет правильно припи-

сать удаленному событию какой-либо момент времени.

Следовательно, имеется опасность, что здесь мы стал-

киваемся с логической ошибкой petitio principii.

Этой трудности можно избежать, предположив, что

скорость сигнала является 'универсальной константой.

В таком случае, при условии, что сигнал передан от не-

которого события к наблюдателю, для определения вре-

мени данного события наблюдателю необходимо знать

лишь расстояние до него. В случае электромагнит-

ных волн теория Максвелла дает константу, которую

автор отождествил со скоростью света в пустоте. Эйн-

штейн в своей статье 1905 года выдвинул предположе-

ние, что эта скорость является универсальной констан-

той природы, одинаковой для всех наблюдателей,

связанных с инерциальными системами отсчета '. Эта

гипотеза шла гораздо дальше имевшихся в наличии

экспериментальных данных, так как, хотя результаты

рассмотренных выше методов определения скорости

света согласуются между собой, они дают ограниченную

эмпирическую информацию: метод Физо дает значения

этой скорости для относительно небольших участков по-

верхности Земли, метод Брэдли определяет только ско-

рость света, который поступает в телескоп, а метод Рё-

мера дает ее среднее значение для расстояния между

орбитой Юпитера и Землей. Эйнштейн отдавал себе

полный отчет в конвенциональной природе определения

времени удаленных событий. Именно ясное понимание

этого фундаментального положения позволило ему от-

крыть новую главу в истории физики.

В специальной теории относительности, основы кото-

рой изложены Эйнштейном в статье 1905 года, предпо-

лагается, что в евклидовом пространстве свет распро-

страняется равномерно и прямолинейно. В общей теории

относительности, разработанной Эйнштейном десять лет

спустя, это условие выполнялось только в тех случаях,

когда можно пренебречь силами тяготения. В присут-

1 Так называются системы, в которых справедливы законы дви-

жения Ньютона. Они находятся в состоянии относительного равно-

мерного и прямолинейного движения или относительного покоя.

ствии тяготеющих тел скорость света не является строго

равномерной и прямолинейной, хотя локальная скорость

света, определяемая с помощью совмещающих часов и

линеек, везде одна и та же. С точки зрения ее последую-

щего развития становится ясным, что в первоначальной

гипотезе Эйнштейна, выдвинутой им в 1905 году, содер-

жалось три различных принципа:

(1) локальная скорость света, если она изме-

ряется в непосредственной близости от себя наблю-

дателем, связанным с инерциальной системой и во-

оруженным стандартными часами и линейкой, яв-

ляется универсальной константой с;

(2) поскольку действием тяготения можно пре-

небречь, свет распространяется по евклидовым пря-

мым;

(3) для каждого наблюдателя, связанного с

инерциальной системой, скорость света нелокально

также является той же самой универсальной кон-

стантой с.

Из этих принципов два, (1) и (2), поддаются эмпири-

ческой проверке при условии, что мы пользуемся часами

и линейкой, которые определены независимо друг от

друга, однако (3) представляет собой открытое опреде-

ление, позволяющее наблюдателю приписывать моменты

нелокальным событиям.

Знаменитый эксперимент по проверке принципа (1)

был осуществлен Майклсоном и Морли в 1887 году.

С помощью интерферометра, который был изобретен

несколько ранее, было найдено, что средняя скорость

света, проходящего в лабораторных условиях туда и

обратно расстояние 22 метра, действительно была одной

и той же для всех направлений в любое время года!.

1 За тот короткий период времени, в течение которого проте-

кает каждый эксперимент, данного наблюдателя можно отожде-

ствить с определенной инерциальной системой. Эксперимент показал,

что скорость света была одной и той же относительно всех инерци-

альных систем. Самое свежее подтверждение этого результата было

получено осенью 1958 года с помощью установки для усиления из-

лучения, известной под названием ≪мазера≫ (это слово образовано

из начальных букв выраженияmicrowave amplification by stimulated

emission of radiation (maser), что в переводе означает ≪уси-

ление сверхвысоких частот с помощью вынужденной эмиссии излу-

чения≫), и разработанной Таунсом и его сотрудниками в Колумбий-

ском университете в Нью-Йорке. (Одновременно молекулярный гене-

ратор типа мазера был создан в СССР И, Г. Басовым и А. М. Про-

Что касается принципа (2), то доказательство

прямолинейного распространения света было известно

давно, и до экспедиции 1919 года по наблюдению за

солнечным затмением не было получено каких-либо

астрономических доказательств, противоречащих этому

принципу. Сейчас мы считаем, что светоЪые лучи, иду-

щие от далеких звезд, испытывают небольшое угловое

отклонение, когда проходят вблизи таких центров тяго-

тения, как, например, Солнце.

Переходя к принципу (3), мы сталкиваемся с про-,

блемой другого характера. Если говорить об этом прин-

ципе как о средстве определения времени на расстоянии,

то можно было бы предположить, что, по существу, он

является произвольным соглашением, которое выби-

рается только по причине его математической простоты.

Но простой факт, состоящий в том, что в общей теории

относительности мы вынуждены ослабить этот принцип,

показывает, что он имеет более глубокие корни. В этой

теории пространство и время сами подвержены влиянию

тяготения, и скорость света (относительно данного на-

блюдателя) не является повсюду равномерной и прямо-

линейной во всем поле силы тяжести тела. Когда

теоретики-космологи пренебрегают локальным действи-

ем тех или иных тел, они рассматривают вселенную

в целом как приблизительно однородную —в достаточно

больших масштабах. Однако данные наблюдения дают

основания полагать, что вселенная, видимо, может си-

стематически изменяться во времени. Отсюда следует,

что время, необходимое свету для того, чтобы пройти от

хоровым. —Прим. перев.) Мазер имеет полость, в которую на-

правляется пучок молекул аммиака, летящих с большой скоро-

стью. Молекулы в полости начинают колебаться и генерировать

радиоволны. Измерение частоты этих генерируемых радиоволн дает

возможность точного измерения отрезка времени. Частота радио-

волн, генерируемых пучком молекул аммиака, направленных в сто-

рону орбитального движения Земли вокруг Солнца, сравнивалась

с частотой радиоволн, генерируемых пучком молекул, движущихся

в противоположном направлении. Если бы орбитальное движение

Земли влияло на наблюдаемые скорости волн, то частоты этих двух

видов радиоволн должны были бы различаться на 20 герц, однако

на самом деле, кроме небольшого магнитного эффекта (вызванного

земным магнетизмом и помехами от находящегося поблизости

электрического оборудования), не было обнаружено никаких от-

клонений, превышающих Vso герца (см. J. P. С e d e r h o lm and

Q. H. Townes, Nature, 184, 1959, 1350),

одной галактики ' до другой, изменяется согласно ка-

кому-то общему закону. Это явление может выражаться

либо в виде непрерывного изменения расстояния между

каждой парой галактик, либо в виде вековых изменении

скорости света 2.

Поэтому, как мне кажется, не следует безоговорочно

соглашаться с предположением о возможности опреде-

ления, хотя бы в принципе, времени удаленных событий,

если постулируется, что скорость света всегда и везде

является универсальной константой. Этот вопрос необ-

ходимо рассмотреть в целом, с более общей точки зре-

ния. Мы увидим при этом, что наш анализ приведет к

взаимно исключающим возможностям, из которых при

рассмотрении вселенной как целого следуют важные

выводы.

Сначала мы дадим определение часов, которыми

наблюдатель А пользуется для регистрации локального

времени, как некоторого -физического механизма такого

типа, который был уже рассмотрен нами в параграфе 8

главы III. Предположим, что в принципе существует

точный момент осуществления таких событий, как эмис-

сия или принятие любого сигнала наблюдателем А. Та-

ким образом, он может приписать каждому такому со-

бытию определенное число из континуума вещественных

чисел.

Теперь рассмотрим событие Ев, которое происходит

вообще где-то вне системы отсчета наблюдателя А.

Предположим для теоретического анализа, что оно про-

изошло в каком-то механизме В, который может мгно-

венно3 отражать сигналы, полученные из А. Мы будем

рассматривать связь между удаленным событием Ев и

двумя другими событиями EI и Е2, которые происходят

в A. EI есть акт излучения наблюдателем А того самого

1 Строго говоря, здесь речь идет о скоплениях галактик, а не

об отдельных галактиках.

2 Между прочим, непрерывные вековые изменения скорости

света по мере преодоления им межгалактического расстояния озна-

чают'соответствующее видоизменение условия (1).

3 Анализ, который осуществляется далее, основывается на сле-

дующем постулате: наблюдатель А приписывает эпохе отправле-

ния обратного сигнала из и и эпохе прибытия в В первичного

сигнала одно и то же время, (Позднее мы будем считать, что эти

два события будут одновременными в действительном опыте нд-

блюдателя, находящегося в В.)

сигнала, который прибывает в В в момент осуществле-

ния события Ев, а Е2 —это восприятие наблюдателем А

того сигнала, который излучается B O B момент события

Ев. Мы можем предположить также, что существуют

различные сигналы, которые покидают точку А в раз-

личные моменты, однако в В прибывают* одновременно.

Точно так же мы можем предположить, что существуют

различные сигналы, которые покидают В совместно, но

прибывают в А в разные моменты. Поскольку нас инте-

ресует только наиболее быстрый сигнал, связывающий'

, Временной опыт А

Рис. 5.

А и В, то мы дадим £, и Е2 следующее единственно воз-

можное определение. Et случается в самый последний

момент времени th который в опыте наблюдателя А

является самым последним моментом, когда он еще

имеет возможность послать сигнал в В таким образом,

: чтобы он прибыл туда одновременно с осуществлением

события Ев. Соответственно £2 случается в самый ран-

' Пий из моментов опыта наблюдателя А —12, когда он

может получить сигнал, излученный в В в момент осу-

1ществления Ев. С физической точки зрения эти условия

[будут связаны распространением в пустоте электромаг-

: нитных волн, например световых.

Мы будем предполагать, что в данной физической

[ситуации все события Еь Ев и Ег происходят, хотя мы

можем представить себе и такое событие Ев, которое

вообще недосягаемо для наблюдателя А, какие бы сиг-

нальные процессы он для этого ни применял. Например,

какое-нибудь событие, происшедшее в системе, которая

удаляется от А столь быстро, что никакой сигнал из А

не может догнать ее. Далее, мы можем вообразить та-

кую ситуацию, в которой EI и Ев происходят, а никакого

конечного события Е2 не случается. Пока мы не будем

рассматривать эти возможности '.

Проблему Эйнштейна можно теперь анализировать

на основе следующих аксиом2.

Аксиома I. Постулат причинности: t2 > t\, если Ев

произошло не в А, в противном случае tz = t\.

Это означает, что мы исключаем возможность того,

чтобы событие Е2 могло быть воспринято наблюдателем

А до события EI. В соответствии с общепринятой прак-

тикой мы будем называть времена /i и 4 соответственно

запаздывающим временем и опережающим временем

относительно наблюдателя события ЕВ.

Аксиома И. Постулат изотропности пространства:

эпоха ts, теоретически приписываемая наблюдателем,

А событию ЕВ, определяется отношением, имеющим сле-

дующую форму: tB = f ( t 2 , ti), где f есть однозначная

функция от tz и U.

Эта аксиома означает, что функция /, определение

которой составляет нашу задачу, не зависит от про-

странственной ориентации события ЕВ относительно си-

стемы отсчета А. Например, если траектории рассматри-

ваемых сигналов (под которыми для удобства мы

отныне будем понимать световые сигналы) являются

прямолинейными, тогда f не зависит от направлений

этих траекторий. Ее можно рассматривать как теорети-

ческое обобщение результата опыта Майклсона-Морли,

согласно которому средняя локальная скорость света

при прохождении им пути туда и обратно является оди-

наковой во всех направлениях.

Прежде чем сформулировать остальные аксиомы,

мы введем .прдятие упорядоченного ряда событий, лежа*

2 Один и тот же символ > можно использовать для обозначения

числового отношения между числами <j и (\ (^ больше ti), а также

для обозначения временного отношения между мгновениями, к ког

торым они относятся (/г позже ,t\),

щего на одной и той же траектории светового луча, то

есть на траектории данного светового сигнала.

Аксиома III. Траектории световых лучей, связываю-

щие Е: с ЕВ и ЕВ с Е2, являются, вообще говоря, един-

ственными.

Мы будем говорить, что события £ь ЕВ и Ес ≪про-

исходят в этом порядке≫ на траектории светового

сигнала, выходящего из системы А в момент события Е\,

если световой сигнал, излученный А в момент осуще-

ствления события EI, может быть получен в В в MOMenf

события Ев и может быть мгновенно переотправлен та-

ким образом, что достигает другого механизма С в мо-

мент осуществления события Ес, совпадающий ' с при-

бытием в С светового сигнала, отправленного из А

в момент события £\. Подобное определение может быть

сформулировано и для событий, находящихся на траек-

тории светового луча, оканчивающегося в системе А

в момент события Е2. Если момент, который, с точки

зрения наблюдателя А, опережает события Ес, есть

&(> 4), тогда в соответствии с сформулированным

выше правилом (аксиома II) эпоха, теоретически при-

писываемая наблюдателем А событию Ес, будет опре-

деляться по формуле tc = f ( t a , /i).

Что касается этих теоретически определяемых эпох,

то мы накладываем на них следующее условие:

Аксиома IV. Постулат временного порядка на рас-

стоянии: если EI, ЕВ, ЕС происходят в указанном порядке

на траектории светового сигнала, отправленного из А

в момент EI, тогда tc > tB, точно так же, если Ес, ЕВ и

£2 происходят в этом порядке на траектории светового

сигнала, получаемого в А в момент Е2, тогда tB > tc.

Теперь мы введем три аксиомы, которые касаются

пространственных отрезков, описываемых, согласно на-

блюдателю А, траекториями световых сигналов, связы-

вающих гипотетические события ЕВ и Ес.

Аксиома V. Постулат однородности пространства:

расстояние, которое, согласно наблюдателю А, покры-

вается световым сигналом на его пути между события-

ми ЕВ и ЕС, характеризуемыми соответственно эпоха-

ми tB u tc, теоретически определяется наблюдателем

по формуле г (Е с, Ев) = ф(7с, ta), где ф есть положи-

тельная однозначная функция tc u tB. Она имеет одну и

ту же форму независимо от того, посылается ли сигнал

наблюдателем А или же он получает его.

Аксиома VI. Закон сложения смежных отрезков, ле-

жащих на одной и той же траектории светового луча:

г(Ес, ЕВ)-^г(ЕВ, £,) = /•£<;, £,),

еде Е\, Е&, Ес происходят в указанном порядке на тра-

ектории, начинающейся в Е\, и

г(Е2,

где ED, EF, Е2 происходят в указанном порядке на

траектории, оканчивающейся в Е2.

Аксиома VII. Согласно наблюдателю А, расстояние,

покрываемое световым сигналом, отправленным A s мо-

мент EI и мгновенно отраженным в ЕВ, равно расстоя-

нию, покрываемому сигналом на его обратном пути,

оканчивающемся в точке А в момент события Е2.

Аксиома V именуется ≪постулатом однородности про-

странства≫, поскольку она говорит о том, что расстоя-

ние", покрываемое световыми сигналами за промежуток

времени, истекший между двумя данными эпохами

(теоретически определяемыми наблюдателем А ) , яв-

ляется одним и тем же, в какой бы области простран-

ства ни двигался световой луч. Позднее мы рассмотрим

обобщенную формулировку этой аксиомы, которая

включает в себя и случай, когда траектория светового

луча не начинается и не оканчивается в точке пребыва-

ния наблюдателя.

Аксиома VII эквивалентна утверждению, что на-

блюдатель А рассматривает самого себя как покояще-

гося. Если бы наблюдатель А считал, что он движется,

то эта аксиома была бы, вообще говоря, неуместной, ибо

в течение интервала времени между £j и Е2 ему нужно

было бы учитывать свое передвижение относительно про-

странственных координат события ЕВ.

Из аксиомы VI следует, что

где tc > tB > ti. Положив х = tc, у = tB и а = t\, мы

получим

Поэтому, заменяя ф(х, а) на К*) и ф(г/, а) на |(z/),

мы приходим к выводу, что ф, которое должно быть по-

ложительной величиной, определяется по формуле:

где х > у и | является некоторой однозначной монотонно

возрастающей функцией ' от своего аргумента. Сопоста-

вляя этот результат с аксиомой VII, мы получаем, что

r(EB, £1) = S(^)-E(<i)==?(<2)-6(/B). (l)

Следовательно, подставив г вместо г(Ев, Е\) и t вместо

ts> мы получим, что

\ (2)

}- (3)

Поскольку |(/) есть монотонно возрастающая функция

t, то существует единственная обратная функция |~'(0>

и поэтому мы можем переписать формулу (3) в следую-

щем виде:

Г1 [-g- (3')

В согласии с нашими аксиомами формулы (2) и (3)

дают общий критерий для установления эпохи / и

расстояния г любого события с помощью эпохи ^,

которая отстает во времени от него, и эпохи t2, которая

его опережает.

Авторы работ, посвященных анализу оснований тео-

рии относительности, часто отмечают, что время t (если

придерживаться нашего обозначения), теоретически при-

писываемое удаленному событию, должно быть таким,

что ti < t < ti, поэтому

t = ti + *(t3 tj, (4)

где 0 < е < 1. Однако они, как правило, ничего не гово-

рят по этому поводу, кроме того, что условие Эйнштей-

на е = '/2 является наиболее простым из всех возмож-

1 Мы будем считать, что эта функция является дифференцируе-

мой.

ных '. Поскольку |(f) является монотонно возрастающей

функцией, отсюда сразу видно, что t, определенное че-

рез ti и tz с помощью уравнения (3), автоматически

удовлетворяет условию tt < / < t2 независимо от кон-

кретной формы |. В формуле (3) содержится, однако,

больше информации, нежели в формуле (4). Существует

интересное истолкование этого уравнения с помощью

теории средних и выпуклых функций, ибо оно опреде-

ляет2 общее среднее между ?4 и t2, которое включает

в себя обычное арифметическое, геометрическое и гар-

моническое среднее как частные случаи, появляющиеся,

когда £(/) есть t, logt и '/≪ соответственно.

Проверив, мы можем убедиться, что добавление лю-

бой произвольной константы ц, к функции | не вносит

никаких изменений в формулы (2) и (3). С более общей

точки зрения мы можем показать, что общую форму, ко-

торая дает одно и то же значение t для любого данного

значения ^ и t2, можно выразить с помощью соотно-

шения

где |о есть любая частная форма |, дающая это значе-

ние t, а Я —произвольная постоянная с положительным

знаком. Ибо если | и |0 удовлетворяют формуле (3) при

одних и тех же значениях t\, t2 и /0, то отсюда следует,

если записать —ttö1, Л = &Г1 (х) и t-i = ü ) l ( y ) , что

Поскольку | и |о являются непрерывными функци-

ями, то и F также должна быть непрерывной. Легко

показать, например, графически, что F должна быть

линейной функцией; это следует из формулы (5). (Соот-

ветственно изменение от |0 к | представляет собой из-

менение от г к Кг, однако все отношения между рас-

стояниями остаются неизменными.)

1 H. R e i c h e n b a c h , The Philosophy of Space and Time

(trans. M. Reichenbach and J. Freund), New York, 1958, p. 127;

H. T ö r n e b o h m , A Logical Analysis of the Theory of Relativity,

Stockholm, 1952, p. 20.

2Г. Г. Х а р д и, Е. Л и т т л в у д и Г. П о л н а , Неравенства,

Издательство иностранной литературы, 1948, гл. III.

Частная форма |(7) = t дает арифметическое сред-

нее ^а —9"(^2~Mi)- В общем случае естественно сравни-

вать / с ta. Если t > ta для всех t\, t2, тогда

и таким образом функция |(/) должна быть выпуклой1.

Точно так же, если t < /„для всех t l f t2, то обратная

функция |~'(Х) должна быть выпуклой. С более общей

точки зрения необходимым и достаточным условием

того, что значение t, задаваемое функцией |, всегда пре-

вышало бы (было бы позже, чем) значение, задаваемое

другой функцией |* для тех же самых t\, t2l является

выпуклость функции II*"1.

Функция |(7) допускает простое физическое истолко-

вание. Из формулы (1), заменив tB на t, мы делаем вы-

вод, что скорость светового сигнала, с точки зрения на-

блюдателя А, задается Ѓ} |'(/), где £'(£) означает про-

изводную от |(0i знак плюс относится к уходящему

сигналу, а знак минус к приходящему. Мы видим, что

скорость светового сигнала во всех точках в одну и ту

же теоретическую эпоху / является одинаковой. До сих

пор мы ограничивались рассмотрением сигналов, рас-

пространяющихся, с точки зрения наблюдателя А, в ра-

диальных направлениях, однако мы можем распростра-

нить аксиому V на любые два события, для которых нет

необходимости лежать на одной и той же траектории све-

тового луча, проходящей через точку А. Отсюда следует,

что наблюдатель А приписывает одну и ту же скорость

|'(t) любому световому сигналу, проходящему через точ-

ку В в любом направлении в эпоху t, согласно точке зре-

ния наблюдателя Л. Тот факт, что частный случай, когда

|'(^) является постоянной, соответствует t= у (^2-Mi)>

был впервые установлен Эйнштейном.

1 Хорошо известно, что если функция обладает второй произ-

водной, то необходимым и достаточным условием того, чтобы эта

функция была выпуклой, является то, что ее первая производная

есть неубывающая функция ее аргумента.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я