• 5

8. ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ

Сведение перекрывающихся длительностей индиви-

дуального времени к непрерывному ряду бездлительных

моментов, изоморфному математическому континууму

действительных чисел, не приводит непосредственно к

какой-либо системе измерения времени. Поскольку число

мгновений в любой конечной длительности бесконечно и

здесь имеет мощность континуума, то не существует

одной лишь числовой меры времени, выражаемой соот-

ветствующим числом мгновений в различных длительно-

стях. По словам Уайтхеда ', длительность имеет ≪вре-

менную толщину≫ и ≪сохраняет внутри себя течение

природы≫, тогда как мгновение лишено временной про-

тяженности и представляется поэтому лишенным каких-

либо внутренних переходов, временной же переход

является следованием мгновений. Подобная проблема

возникает при измерении длин вдоль непрерывной ли-

нии, составленной из непротяженных точек.

Проблема измерения подробно обсуждалась в сред-

ние века, особенно в Оксфордской школе натурфилосо-

фов, начиная с Гроссетесте. Эти натурфилософы пола-

гали, что, поскольку попытки пифагорейцев разложить

1 А. N. W h i t e h e a d , The Concept of Nature, Cambridge, 1920,

p. 56.

218

все длины на конечное число минимальных единиц по-

терпели крах ', любая линия должна рассматриваться

как состоящая из бесконечного числа непротяженных

точек, и, для того чтобы преодолеть вытекающую отсюда

трудность измерения, необходимо ввести^ условные еди-

ницы. Уолтер Бёрли заметил по этому .поводу следую-

щее: ≪Относительно этого состояния неопределенности

я говорю, что поскольку континуум делим до бесконеч-

ности, то в континууме по самой природе, а не только

по установлению людей нет никакой первичной и един-'

ственной меры≫2. Комментируя Аристотелево определе-

ние времени, согласно которому последнее есть ≪число

движения по отношению к раньше и позже≫, Гроссетесте

утверждает, что с любым измерением всегда связана не-

избежная неточность, которая проистекает из природы

вещей и делает все человеческие измерения условными3.

Линейное упорядочение мгновений означает, что мы

можем приписать конкретным мгновениям числа так, что

отношения ≪до≫, ≪после≫ и ≪одновременно с≫ указы-

ваются числовыми отношениями ≪меньше чем≫, ≪больше

чем≫ и ≪равно≫. Но даже в том случае, когда мы при-

держиваемся этих правил, приписывание конкретных

чисел конкретным мгновениям является в некотором от-

ношении произвольным. Так, если целые числа n, n + 1

приписываются мгновениям а и ß, где а предшествует ß,

то в принципе любое число р, удовлетворяющее неравен-

. ству n < p < n + l, может быть приписано любому

,определенному мгновению т, которое позднее а и пред-

шествует ß. Точно так же любое число q, удовлетворяю*

1щее неравенству n < q < p, может быть приписано любо-

1му мгновению, которое позже а. и раньше ß и т. д. Чис-

|ленные обозначения, приписанные таким образом, только

. 3 Измерения времени необходимым образом зависят от движе-

Ий ≪приборов≫, например механических часов, планет и т. д.,

^каждый физический объект и наши наблюдения над ним не толь-

и несовершенны; даже в лучшем случае они подвержены случай-

" статистическим флуктуациям. Гармонический анализ ≪простей-

модели≫ статистических флуктуации времени недавно был пред-

." Н. Винером и А. Уинтнером (Nature, 181, 1958, 56162).

219

указывают относительное положение в линейно упорядо-

ченных рядах.

Хорошей иллюстрацией такого типа процедуры яв-

ляется шкала Мооеа, которой пользуются минерологи.

≪Тверже чем≫ есть, подобно временному предшествова-

нию, транзитивное асимметричное отношение. Говорят,

что один минерал тверже другого, если первым можно

нанести царапину на втором. Шкала Мооса основы-

вается на следующих предположениях: если А нанесет

царапину на В, а В —на С, тогда А нанесет царапину на

С; если А нанесет царапину на В, то В не нанесет цара-

пину на А; любое тело, которое не нанесет царапину на

А и на которое не нанесет царапину А, будет наносить

царапины на все те тела, на которые они наносятся А

'и будет получать царапины от всех тех тел, которые на-

носят царапины на Л. В силу этих свойств конечное чис-

ло минералов может быть расположено в порядке их

твердости: наиболее мягкому может быть приписано

число 1, следующему менее мягкому число 2 и т. д. Так,

твердость алмаза представлена числом 10, а твердость

рубина числом 9. Эта шкала является произвольной в

том смысле, что, если А тверже В, а В представлено,

скажем, числом 9, тогда А может быть равным образом

представлено как числом 10, так и 11 и 100 или мил-

лионом, и при этом сохраняется установленный относи-

тельный порядок нумерации всех минералов.

Следовательно, шкала Мооса является чисто поряд-

ковой шкалой, а не шкалой измерений. Никакие число-

вые операции над цифрами этой шкалы не имеют зна-

чения. Поэтому" различие между цифрами, приписывае-

мыми алмазу и рубину, ничего не говорят нам о

≪степени≫, в которой первый тверже последнего. Точно

так же описанный выше метод приписывания порядко-

вых чисел мгновением ничего не говорит нам о дли-

тельностях, разделяющих различные мгновения, то есть

о протяженности, на которую одно из них предшествует

другой или следует за ней. Это метод только датирова-

ния, а не измерения времени, подобно шкале Мооса, он

является качественным, а не количественным.

При переходе к проблеме измерения времени мы

могли бы ожидать, что основным принципом измерения

должен быть следующий: мера, приписываемая длитель-

ности, составленной из любых двух последовательных

длительностей, должна быть равна арифметической

сумме х + у соответствующих мер х и у обоих слагае-

мых длительностей. На практике этот принцип выпол*

няется, однако его нельзя рассматривать как автома-

тически применимый ко всем формам измерения

(эйнштейновский закон сложения параллельных скоро-

стей в теории относительности является хорошо извест-

ным исключением). Отсюда следует, что в фундамен-

тальном теоретическом анализе мы обязаны подойти

к этому вопросу с более общей точки зрения.

Поэтому мы начнем с предположения, что если для

измерения длительностей мы с успехом применяем

числа, то сложение временных величин должно удовле-

творять требованиям как коммутативности, так и ассо-

циативности. Иными словами, предположим, что ≪сум-

ма≫ последовательных длительностей х и у является той

же самой, что и сумма у и х, и что любая длительность,

составленная из трех последовательных длительностей

х, у и z, имеет одну и ту же меру, безотносительно

к тому, ≪прибавляется≫ ли z к временной ≪сумме≫ х и у

или же временная ≪сумма≫ у и z прибавляется к х. Обо-

значая временную ≪сумму≫ х и у однозначной функцией

f(x, у), мы, следовательно, требуем, чтобы /{/(л;, у ) , z}

была бы симметрична по отношению к х, у и г. Написав

bv(x) для f(x, у) и Ъ$у(х)} для f[f(x, у), z}, мы получаем,

что

то есть функциональные операторы Ьу и 8Z коммутативны.

Поскольку х и у могут принимать все значения конти-

нуума, можно показать ', что если аддитивная функция

является дифференцируемой, то ее следует записать в

следующей форме:

f(x, у) = 9у (х) = <р~' {ср (х) -+- а (у)},

где Ф есть монотонный функциональный оператор, кото-

рый не зависит от х и у. Поскольку f ( x , у) есть симме-

тричная функция, то а.(у) = <р(|/) и, следовательно,

 /(•. У) = ?~' {<?(-≪)-+-9 (У)} • 1 Относительно решения проблемы коммутативности функцио-

нальных операторов см. G. J. W h i t r o w, Quart. J. Math.

(Oxford), Series l, 6, 1935, 24960. В этом же журнале в 1946 году

опубликованы статьи Уокера и других авторов на эту тему.

Следовательно, если w есть мера длительности, кото*

рая представляет собой временную сумму двух длитель-

ностей, измеряемых с помощью х и у соответственно, то

≫M = <?(*) + ? (у)- 0)

Общие условия, согласно которым сложение времен-

ных отрезков должно удовлетворять требованиям как

коммутативности, так и ассоциативности, означают,

следовательно, что в некоторой монотонной функции Ф

меры х и у двух последовательных длительностей, на

которые может быть разложена длительность, обладаю-

щая мерой w, должны подчиняться уравнению (1).

Отсюда следует очень важный вывод, что если

первоначально выбранная шкала не является аддитив-

ной с точки зрения арифметики, то она может быть

≪отображена≫ на другую шкалу, которая является та-

ковой. Для этого требуется только новая шкала времен-

ных измерений, символически представленная х ->X,

где Х —<р(х). Тогда, если У и W обозначают новые

меры, приписываемые длительностям у и w согласно

первой шкале, то ясно, что W = X + Y. Следовательно,

любой метод приписывания измерений длительностям,

которые подчиняются коммутативному и ассоциативному

законам сложения, может быть в принципе в конечном

счете применен для получения величин, которые подчи-

няются обычному закону арифметического сложения.

Более того, поскольку уравнению f (X -f У) = f(X) +

+ f(У) удовлетворяет единственная непрерывная функ-

ция f(X) = КХ, где А, не зависит от X, то отсюда следует,

что любая шкала измерений является единственной,

с точностью до некоторой произвольной мультиплика-

тивной константы.

Эти результаты можно проиллюстрировать на сле-

дующем примере. Предположим, что мы хотим постро-

ить шкалу времени ab initio путем подсчета числа атомов

радиоактивного элемента, распадающихся в различные

интервалы времени. Предположим, что в некоторый мо-

мент мы знаем 1 общее число этих атомов в данном

источнике, который не содержит никаких других радио-

активных элементов. Предположим также, что мы мо-

1 Нас интересует здесь чисто теоретическая сторона, а не прак-

тическая осуществимость рассматриваемого метода.

жем зафиксировать распад каждого из этих атомов и

определить тем самым общее число атомов, остающихся

в любое мгновение и число распадающихся атомов за

любой интервал. Если в начале индивидуальной длитель-

ности общее число атомов исходного элемента есть п0,

а число распадающихся в течение этой длительности

есть 8ло. то мы можем принять долю распадающихся

атомов Ъп0/п0 за меру х этой длительности. Если в тече-

ние непосредственно следующей за ней длительности

число распадающихся атомов есть 5яь тогда мы на,

основании того же правила установили бы меру этой

длительности у —bni/ni, где п\ = па —Ьп0. Однако для

общей длительности, составленной из этих двух, следо-

вало бы установить меру w = (8п0 + ЬП[)/п0. Ясно, что

w было бы меньше арифметической суммы х и у. В са-

мом деле, непосредственно из простейших алгебраиче-

ских соображений следует, что

w x-\-y —ху. (2)

Это приводит к закону сложения, который удовле-

творяет требованиям как коммутативности, так и ассо-

циативности, причем ≪сумма≫ трех длительностей х, у

и г выражается следующей формулой:

x-\-y~{-z —ху —у z zx-\- xyz

и т. д. Закон (2) легко можно свести к форме (1), учи-

тывая, что 1 w = (1 —л:)(1 —у) и, следовательно,

Если мы выберем новую шкалу мер, заданную следую-

щей формулой '

X=\ogrL-, (3)

то мы получим закон сложения W = X + Y.

Из формулы (3) мы видим, что X = log(ftoMi). Сле-

довательно, если t обозначает новую шкалу времени и

/ берется равным нулю, когда п, число атомов исходного

элемента, было равно п0, то отсюда следует, что

л == пав-*. С более общей точки зрения, в соответствии

1 Мы выбираем величину, обратную 1 —х и т. Д., для того чтобы

обеспечить монотонное возрастание X и т. д,

с нашими предварительными замечаниями о том, что ко-

нец шкалы времени определяется с точностью до кон-

станты умножения, мы запишем

и, следовательно, отсюда получаем

an

dt == —Хл.

Это уравнение по своей форме тождественно с хо-

рошо известным законом радиоактивного распада

Резерфорда —Содди. Поэтому с эмпирической' точки

зрения содержание этого закона сводится к следующим

высказываниям:

(1) шкала t, определяемая им, совпадает в рам-

ках пределов точности эксперимента с равномерным

временем физики, определяемым другими способами,

например с помощью астрономических наблюдений;

(2) с данным выбором единицы времени значе-

ние X является одним и тем же для всех количеств

данного радиоактивного элемента и не зависит от

температуры, давления и т. д.

Наше предпочтение закона простого арифметического

сложения временных интервалов обусловлено следую-

щим критерием. Вообще, как правило, физические за-

коны формулируются так, чтобы они не зависели

от индивидуальных времен совершения событий, к ко-

торым они применяются, хотя проведенный нами выше

анализ преднамеренно строился на более общих сообра-

жениях. Поэтому считается, что значение имеют только

различия между временами событий, а не сами времена

как таковые. Измерение времени зависит от представле-

ния о стандартном интервале времени, или периода,

подобно представлению о стандартной единице длины.

На практике различные единицы выбираются в зависи-

мости от величины рассматриваемых временных интер-

валов. Последние измеряются с помощью умножения на

число единичных периодов и поэтому автоматически

подчиняются закону арифметического сложения.

Завершая нашу оценку этих теоретических сообра-

жений, хотелось бы обратить внимание на их практиче-

ское значение. Это наглядно иллюстрируется той ролью,

которую в истории измерения времени играют механиче-

ские часы. Решающее значение этого изобретения со-

стоит не столько в их точности, как бы в конечном счете

ни было велико ее значение, сколько в том, что оно

основано на периодических, а не на непрерывных про-

цессах в противоположность солнечным, водяным и пе-

сочным часам древности. Эта зависимость от механиче-

ского движения, которое повторяется вновь и вновь,

приводит к более точному понятию единицы времени,

аналогичной единице длины '. Современная хронометрия

ведет свое начало от открытия Галилеем естественного

периодического процесса —качания маятника, который

было удобно соединить с часовым механизмом для ме-

ханического регулирования числа колебаний. Маятнико-

вые часы были первым удовлетворительным механизмом

для равномерного деления физического времени.

История установления окончательного естественного

стандарта времени во всех отношениях связана с астро-

номическими наблюдениями. Час, минута и секунда

долгое время определялись как части периода одного

оборота Земли вокруг своей оси. Однако несколько лет

назад в связи с возрастанием требований к измерениям

высокой степени- точности незначительные нерегулярно-

сти в скорости вращения Земли вынудили астрономов

ввести более точную единицу времени, основанную на

обращении Земли вокруг Солнца. Тем не менее все еще

чувствуется потребность в естественной единице времени

более фундаментальной, нежели любые из тех, которые

могут быть выведены из астрономических наблюдений.

Такая единица задается частотой конкретной линии

атомного спектра. Оптические линии здесь непригодны,

поскольку мы можем измерять только длины их волн.

Однако открытие спектральных линий в радиоволновом

1 Зависимость временных измерений от чисто естественной ос-

новы долго задерживала создание удовлетворительных часов. ≪Час

времени≫ античности был одной двенадцатой частью дня от восхода

до захода солнца и, таким образом, изменялся в течение всего года.

Необходимость определить час времени повлекла за собою большую

сложность античных водяных часов. Несмотря на все попытки астро-

номов древности ввести час, обладающий постоянной величиной,

их предложения вообще не принимались до тех пор, пока в сере-

дине XIV столетия не появились механические часы с боем. Изо-

бретение часового механизма, то есть принципа регулировки хода

часов, как теперь полагают, было сделано китайцами (J. Nee rill

a m, et. al, Heavenly Clockwork, Cambridge, 1960).

225

диапазоне спектра излучения привело д-ра Л. Эссена из

Национальной физической лаборатории .к изобретению

в период между 1955 и 1957 годами нового метода изме-

рения времени, отличающегося удивительной точностью.

В его часах магнитное поле, порождаемое переменным

электрическим током, синхронизировано с некоторыми

конкретными колебаниями атомов цезия. Эти атомы

имеют по одному электрону на своих внешних оболоч-

ках, и взаимодействие между этим электроном и ядром

порождает точно определенную линию в радиоволновом

диапазоне (около 9200 мегагерц), соответстбующую

длине волны около трех сантиметров. Таким образом

может быть получена фундаментальная шкала времени,

которая совершенно не зависит от астрономического

определения времени и является гораздо более точной.

Ее точность составляет 1 : 1010, что соответствует точно-

сти механических часов, которые отставали бы или

уходили бы вперед на 1 секунду за 300 лет'.

1 Недавно Р. Л. Мёссбауэр (Z. Physik, _151, 1958, 124) пока-

зал, что в некоторых твердых телах процесс т-излучения происхо-

дит таким образом, что индивидуальные ядра не испытывают от-

дачи и импульс отдачи передается всей кристаллической решетке

в целом. Исключительно четкая спектральная линия, полученная

таким образом, открывает возможности для создания нового типа

≪ядерных часов>, более точных, чем какие-либо ≪атомные часы≫,

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я