7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВРЕМЯ КАК ТИП ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ПОРЯДКА
Поскольку математическое мгновение нулевой дли-
тельности в точности аналогично геометрической точке,
оно не может рассматриваться как теоретический корре-
лят ≪теперь≫ нашего чувственного сознания, которое, как
мы уже видели, явно обладает некоторой длительно-
стью. Более того, наше исследование апорий Зенона
привело нас к заключению: для того чтобы движение
было возможно, точечные мгновения должны рассматри-
ваться как логические фикции. Отсюда следует, что мы
можем принять это понятие только как математический
инструмент, который используется просто для облегче-
ния расчета '.
В этой процедуре нет ничего необычного. В самом
деле, математическая физика изобилует примерами, где
логически фиктивный характер используемых средств
является гораздо более очевидным. Величины, которые
По своей собственной природе должны быть дискретны-
ми, продолжают обозначать с помощью дифференциа-
лов, несмотря на тот факт, что дифференцируемость
предполагает непрерывность. Например, в статистиче-
ской механике символ dN обозначает число частиц и по-
этому, строго говоря, должен быть целым. Кроме того,
в задачах по электричеству dq означает элемент заряда,
несмотря на наше знание, что природа электричества
дискретна. Какими бы спорными ни показались эти явно
внутренне противоречивые процессы для человека, стре-
мящегося к логической строгости, они никогда не вол-
нуют физика, который, если бы его спросили об этом,
ответил бы, что они обоснованы в силу малости dN по
сравнению с общим числом рассматриваемых частиц, а
dq —по сравнению со всем рассматриваемым зарядом.
Конечно, имеются необходимые условия практической
применимости данных инструментов, но их обоснова-
ние—дело математики. Подобным же образом в случае
,времени (а также и пространства) физики придержи-
1 ≪Нет природы без перехода, и нет перехода без временной
длительности. Поэтому момент времени, понимаемый как первичный
простой факт, является бессмыслицей≫ (А. N. W h i t e h e a d , Modes
of Thought, Cambridge, 1938, p. 207).
баются гипотезы непрерывности, поскольку дифферен-
циальные уравнения являются более удобными, нежели
уравнения в конечных разностях (по крайней мере с
аналитической точки зрения; все возрастающее исполь-
зование вычислительной техники и машин, которые ос-
нованы на дискретных числовых процессах, приведет,
возможно, к некоторым изменениям этой точки зрения).
Таким образом, основной причиной, почему физики при-
держиваются этой гипотезы, является ее математиче-
ское удобство.
Однако примерно за последние пятьдесят лет неко-
торые выдающиеся философы и чистые математики вы-
ражали неудовлетворенность существующим положением
дел. Как Дедекинд и другие во второй половине про-
шлого столетия чувствовали неудовлетворение из-за от-
сутствия какого-либо логического определения иррацио-
нальных чисел, например У"2, хотя математики уже
давно успешно оперировали ими без каких-либо
определений, так и Уайтхед, Рассел и другие пришли к
выводу, что безразмерные точки и мгновения должны
быть ≪построены≫, а не просто постулированы. Дедекинд
определил иррациональные числа с помощью рациональ-
ных, которые в свою очередь состоят из положительных
целых чисел. Уайтхед, а также его коллеги и последо-
ватели пытались определить безразмерные мгновения
математического времени с помощью воспринимаемых
событий конечной длительности и воспринимаемых вре-
менных отношений между ними. Метод экстенсивной
абстракции Уайтхеда, как он сам называл его, первона-
чально предназначался для определения точек с по-
мощью воспринимаемых объектов. Применение этого
метода к определению моментальных мгновений впер-
вые было исследовано Норбертом Винером в одной из
его ранних статей, опубликованной в 1914 году1.
Метод Уайтхеда связан с тонким приемом, который
после многочисленных и весьма плодотворных приме≪
нений в различных областях нужно рассматривать как
одно из наиболее мощных методологических нововведе-
ний нашего времени. Первым примером применения его
в чистой математике было отождествление предела бес-
конечной последовательности с самой последовательно-
стью. Таким образом, иррациональное число У 2, напри-
мер, было отождествлено со множеством всех рацио-
нальных чисел, квадраты которых не превосходят 2.
Оказалось, что это определение удовлетворяет всем
формальным требованиям, предъявляемым к\^2, и, та-
ким образом, несмотря на свою первоначальную непри-
вычность, оно получило всеобщее признание. Затем Фре-
ге в Германии (в 1883 году) и Рассел в Англии (в
1901 году) пришли к определению кардинального чи-
сла, в котором содержится все та же основная идея, на-
пример число 2 определялось как класс, или множество'
всех пар, и т. д. Подобным образом Уайтхед определял
точку по аналогии с китайскими коробочками, как мно-
жество всех объемов, окружающих точку1. Сделать эту
идею полностью удовлетворительной и логически стро-
гой было отнюдь не легко, однако лежащий в ее основе
всеобщий принцип -не является более трудным для по-
нимания, чем в предыдущих случаях. Следует упомянуть
одно частное требование этого метода. Нужно доказать,
что он не содержит в себе логического круга и что,
определяя таким образом точку, мы не используем мол≪
чаливо представление в точке, на которую опираются
при построении данного множества объемов, а именно
всех тех объемов, которые действительно окружают точ-
ку. К счастью, можно показать, что множество объемов,
сходящихся к точке, может быть определено с помощью
некоторых отношений, имеющих место между членами
множества, без каких-либо ссылок на понятие точки.
Тем не менее с помощью этого метода нельзя построить
непрерывное пространство точек только на основании
чувственных данных, поскольку необходимо предполо-
жить, что для размеров рассматриваемых объемов ниж-
него предела не существует, тогда как чувственные дан-
ные не могут быть сколь угодно малы.
На первый взгляд мо'жно было ожидать, что опреде-
ление бездлительных мгновений (которые мы отныне бу-
| дем именовать просто ≪мгновениями≫) является более
простой проблемой, чем определение пространственных
точек, поскольку время имеет только одно измерение,
тогда как пространство —три. Тем не менее дело дви-
1 Любое такое множество он называет ≪абстрактивное множе-
ство≫. Отсюда происходит термин ≪экстенсивная абстракция≫.
галось медленно. Конечная цель состояла в том, чтобы
из недлящихся событий вывести континуум мгновений,
который постулируется математической физикой, и таким
образом обосновать эту гипотезу, поскольку не очевидно,
что временной порядок физики должен неизбежно быть
порядком этого типа. Данный континуум является орди-
нально линейным или подобен континууму вещественных
чисел, но известно, что в чистой математике существуют
упорядоченные множества более сложного типа. Следова-
тельно, выведение этого линейного континуума времени из
приемлемой системы аксиом, имеющих отношение к вос-
принимаемым событиям, является не просто каким-то аб-
страктным логическим упражнением учебного характера.
В своих лоуэлловских лекциях 1914 года Рассел ука-
зывает два различных пути подхода к этой проблеме1.
Мгновения могут быть построены из событий (ненулевой
длительности) либо с помощью временного окружения,
подобного уайтхедовскому определению точки через про-
странственное окружение, либо путем рассмотрения вре-
менного перекрытия. Однако для того, чтобы с помощью
первого метода построить непрерывный ряд мгновений,
необходимо использовать события произвольно малой
длительности (точно так же как в случае пространства
должны быть введены сколь угодно малые объемы), хо-
тя нет никаких оснований предполагать, что такие со-
бытия действительно существуют. Поскольку это гораз-
до больше соответствует нашему опыту —см. высказы-
вания Уильяма Джемса, цитированные на стр. 103, о том,
что в каждый момент в нашем мозгу происходят про-
цессы, перекрывающие друг друга, —мы ограничимся
рассмотрением метода перекрытия2.
Наш действительный опыт времени можно проанали-
зировать с помощью двух фундаментальных отношений:
одновременности и временного порядка (или предше-
ствования). В этой связи любое событие обязано быть
либо одновременным, либо более ранним, либо более
поздним по отношению к любому другому событию. Два
события, сосуществующие в течение некоторого времени,
которое, однако, мало по сравнению с соответствующи-
ми им длительностями, называются одновременными, или
перекрывающими друг друга. Следовательно, из двух
событий, которые не перекрываются, одно должно быть
раньше другого или одно должно предшествовать дру-
гому; и это отношение является транзитивным, а именно
если одно событие предшествует другому, а это в свою
очередь предшествует третьему, то первое событие пред-
шествует третьему. Если мы начинаем с рассмотрения
двух одновременных событий, то любое третье событие,
которое одновременно с двумя первыми, должно суще-,
ствовать в течение (но не обязательно только в течение)
того времени, когда они все три перекрываются. Поэто-
му Рассел определяет мгновение как такое множество
событий, любые два события из которого одновременны,
и не существует другого события (то есть события, не
содержащегося в множестве), одновременного со всеми
этими событиями. Предполагается, что мгновения, опре-
деленные таким образом, существуют.
Говорят, что событие происходит ≪в≫ данное мгнове-
ние, когда оно является элементом множества, опреде-
ляющего это мгновение. Временной порядок мгновений
определяется тогда следующим условием: одно из них
раньше другого, если в первом некоторое событие про-
изошло раньше, чем во втором. Если ни одно из мгнове-
ний не является более ранним, то они одновременны
(тождественны).
Определив мгновения с помощью этого метода, мы
сталкиваемся со следующим фундаментальным вопро-
сом: позволяет ли это определение вывести временной
континуум мгновений, постулируемый физиками? Этот
континуум, который мы будем обозначать символом Т,
обладает 'следующими формальными свойствами'.
(1) Т есть упорядоченное множество. Под этим мы
разумеем следующее: если p и g являются любыми дву-
мя мгновениями, то тогда либо p одновременно с q, либо
p предшествует q, либо q предшествует p и все эти три
отношения взаимно исключают друг друга. Более того,
если p предшествует q, a q предшествует другому мгно<
вению г, тогда p предшествует г, а про q говорят, что
оно произошло между риг.
1 Подобные свойства характеризуют линейный континуум ве-
щественных чисел, а в геометрии —континуум точек на непрерывной
Линии,
(2) Т есть плотное множество. Это означает, что
если p предшествует г, то между р и г существует по
крайней мере одно мгновение q.
(3) Т удовлетворяет постулату Дедекинда, а именно
если T! и Т2 являются двумя непустыми частями Г, так
что каждое мгновение Т принадлежит либо к Tlt либо к
Tz и каждое мгновение TI предшествует каждому мгно-
вению TZ, то имеется по крайней мере одно такое мгно-
вение t, что любое мгновение, более раннее чем t, при-
надлежит к TI, а любое мгновение, более позднее чем
t, принадлежит к Tz.
(4) Т содержит линейную систему F, которая пред-
ставляет собой счетное подмножество, так что между
любыми двумя мгновениями Т имеется по крайней мере
одно мгновение, которое принадлежит к F.
В своей статье 1914 года Винер получил необходи-
мые условия, при которых удовлетворяется требование
(1), а также рассмотрел условия, которым удовлетво-
ряет требование (2). Несколько позже Рассел сформу-
лировал условия, при которых одно событие происходит
по крайней мере ≪в≫ одно мгновение, в частности в на-
чальное мгновение. В более поздней статье', опублико-
ванной в 1936 году, Рассел показал, что, для того чтобы
было выполнено требование (2), достаточно, чтобы: (а)
ни одно событие не длилось только одно мгновение и
(Ь) любые два перекрывающиеся события имели по
крайней мере одно общее мгновение.
В этой последней статье Рассела преимущественно
интересовала проблема существования мгновений. Рас-
сел показал, что это существование можно вывести де-
дуктивным путем, если сделать специальные предполо-
жения относительно событий. Однако, как отмечал он,
не существует ≪никаких оснований, ни логических, ни
эмпирических, для предположения о том, что эти предпо-
сылки являются истинными≫. Так, например, одна из
этих предпосылок состоит в том, что целое множество
событий может быть ≪вполне упорядоченным≫, то есть
каждое подмножество обладает начальным членом. Дру-
гие предпосылки касаются существования определенных
видов вполне упорядоченных рядов событий. ≪Но при от-
сутствии таких возможностей, когда может случиться
так, что все события, существующие в начале какого-
либо события (или в конце его), продолжаются в течение
какого-то периода, когда другие начинаются и прекра-
щаются (или уже существовали в течение этого пери-
ода), я не знаю, как доказать, что такие мгновения где-
то существуют≫,' —говорит Рассел. И он приходит к
выводу, что если начальные предположения были оши-
бочны, то ≪мгновения являются только логическими
идеалами≫, к которым можно бесконечно приближаться,
но которых нельзя достигнуть.
Десятью годами позднее проблема определения мгно-
вений с помощью длительностей была вновь подверг-
нута рассмотрению Уокером2. Уокер сначала зани-
мался логическим анализом континуума фундаменталь-
ных частиц, который составляет основу теоретической
модели мира, но был вынужден перейти к разработке
теории временного порядка, независимой от этого прак-
тического приложения. Уокер показал, как можно, опи-
раясь на идею сечения частично упорядоченного множе-
ства, определить временное мгновение. Свойства таких
множеств ранее были изучены Макнейлом3. С точки
зрения Уокера, понятие предшествования, имеющее
Ёажное значение для установления порядка и связанное
с множеством событий или длительностей, должно рас-
сматриваться как частичное, поскольку для любых двух
членов группы может случиться так, что один предше-
ствует другому, а может быть, и нет. Если ни один из
этих членов не предшествует другому, тогда о каждом
из них говорят, что он перекрывает другой. Уокер пред-
положил, что, если а, Ь, с и а есть четыре любые дли-
тельности, такие, что а предшествует b, b перекрывает с,
а с предшествует d, тогда а предшествует d. Это поло-
жение мы назовем постулатом Уокера. В нем подразу*
мевается, что существует следующее отношение. Если а
предшествует b и b предшествует d, то а предшествует
' d. Тогда мгновение определяется как упорядоченная
ных следующим образом. А есть класс всех длительно-
стей а, и В есть класс всех длительностей Ь, так что ка-
ждое а предшествует каждому Ь. Класс С есть множе-
ство всех длительностей, которые не принадлежат ни к
А, ни к В. Эти три класса определяют мгновение, если
любой член класса С перекрывается некоторым членом
класса А и некоторым членом класса В. Говорят, что
мгновение (А, В, С), определенное таким образом, пред-
шествует мгновению (А1, В', С'), если класс А' включает
класс А, где термин включает означает, что каждый член
класса А принадлежит также и к классу А', ≪о суще-
ствуют такие члены класса А', которые не являются чле-
нами класса А. Если классы Л и Л' являются тожде-
ственными, то из этого следует, что В' совпадает с В,
а С" с С. В этом случае мы говорим, что мгновение (Л',
В', С') одновременно с мгновением (А, В, С).
Можно доказать, что определенное таким образом
множество мгновений упорядоченно, так что: (1) из лю-
бых двух мгновений p и q либо q предшествует р, либо
p предшествует q, либо p и q одновременны; (2) из лю-
бых трех мгновений p, q и г, если p предшествует q, a q
предшествует г, то p предшествует г. Для того чтобы
прийти к такому выводу, мы должны предварительно
доказать теорему, которая гласит: если каждая длитель-
ность а класса А предшествует любой длительности Ь
класса В и если каждая длительность а' класса А' пред-
шествует каждой длительности Ь' класса В', тогда либо
Л и Л' тождественны, либо один включает другой.
Уокер вывел эту предварительную теорему с помо-
щью доказательства абсурдности противоположного ут-
верждения, поскольку если бы эта теорема была невер-
на, тогда отсюда должно было бы следовать, что суще-
ствует какая-то длительность а' (принадлежащая к Л),
которая не является членом А', а также длительность
а' (принадлежащая к А'), которая не является членом
Л. Мы покажем, что если бы это было так, то а необхо-
димо перекрывало бы а'. Такой вывод следует из того
(и это можно легко показать), что ни одно из них не
может предшествовать другому, поскольку если а пред-
шествует а', тогда, так как а' предшествует всякому Ь',
отсюда следует основной постулат, согласно которому а
должно предшествовать всякому Ь', следовательно, а
будет членом А', что находится в противоречии с пред-
положением, гласящим, что а не является членом А'.
Точно так же мы можем доказать, что а' не может пред-
шествовать а. Следовательно, а и а' должны перекры-
ваться. Теперь мы докажем существование такого члена
Ь' в классе В, что она' перекрываются, так как по-
скольку а' не находится в Л, то существует длительность
Ь класса В, которая либо предшествует, либо перекры-
вается с а'. Однако первое невозможно; так как посколь-
ку а предшествует Ь, то из нашего основного постулата
следует, что а должно предшествовать a', a мы только
что видели, что это невозможно. Следовательно Ь дол-
жно перекрываться а'. Точно так же мы можем дока*
зать, что а должно перекрываться с Ь'. Таким образом,
мы нашли, что а предшествует Ь, которое перекрывается
а', в свою очередь предшествующее Ь'. Следовательно,
согласно основному постулату, а должно предшество-
вать Ь'. Но это противоречит нашему начальному вы-
воду, что а должно перекрываться Ь'. Следовательно,
теорема, противоречащая предварительной, является не-
верной, и, таким образом, мы нашли, что или классы
Л и Л' идентичны, или же один из них включает другой.
Сейчас мы можем доказать, что два мгновения p и q
являются либо одновременными, либо одно из них пред-
шествует другому, так как, если p = (Л, В, С), a q =
—(А', В', С'), тогда из предварительной теоремы сле-
дует, что либо А тождественно Л' или же Л' включает
А, либо Л включает А'. Следовательно, p либо одновре-
менно с а, либо p предшествует q, либо q предшествует
р. Наконец, если p предшествует q и q предшествует г,
где г = (А", В", С"), тогда А' включает А, а А" вклю-
чает Л', следовательно, Л" включает Л; поэтому p пред-
шествует г.
Тот же самый метод можно использовать для дока-
зательства, что множество мгновений, построенное та-
ким образом, является замкнутым в том смысле, что
каждая ограниченная монотонная последовательность
из множества имеет предел, который является членом
группы. Так, рассмотрим бесконечную последователь≫
ность мгновений.
Pl> Р2> />3- •••Рп- •••.
где рп = (Ап, Вп, Сп) так, что р, предшествует р2, р2
предшествует р3 и т. д. Предположим, что каждый член
211
этой последовательности предшествует некоторому Mftfd-
вению q = (А*, В*, С*). Тогда пределом последователь-
ности, как это можно показать, будет мгновение p — —(А, В, С), где А есть класс всех длительностей, кото-
рые являются членами по крайней мере одного из
"1> "2> "3' ' ' ' "Я≫ •••в
а В есть класс всех длительностей, которые являются
общими для всех
а С —класс всех длительностей, которые не принадле-
жат ни к А, ни к В. Мгновение p существует, поскольку
существует класс, определяющий его, например В суще-
ствует, поскольку он включает В*. Более того, если р' =
= (А', В', С') , есть любое мгновение, предшествующее р,
тогда А включает в себя А'; и поскольку имеется всегда
конечная величина п, такая, что Ап включает А', то от-
сюда следует, что р' предшествует р„ которое предше-
ствует р. Следовательно, р есть предел ряда в том смы-
сле, что для каждого р', предшествующего р, имеется
член ряда рп, такой, что рп находится в промежутке ме-
жду р' и р. Подобный же результат может быть уста-
новлен для бесконечного ряда, в котором р2 предше-
ствует pi, рз предшествует р2 и т. д.
Можно также показать, что первоначальные дли-
тельности соответствуют интервалам упорядоченного мно*
жества мгновений, построенных из них. Интервал опреде-
ляется как множество мгновений, которым либо пред-
шествует данное мгновение р, либо они предшествуют
данному мгновению q, либо и то и другое1. Говорят, что
длительность с, которая принадлежит к классу С, содер-
жит мгновение t, где t = (А, В, С) . Предположим, что дли-
тельности с предшествует длительность а, а ей самой — длительность Ъ. Тогда мы можем определить мгновения
р и q так, что, если / содержится в с, тогда р предше-
ствует t, a t предшествует q, и обратно, если р предше-
ствует t, a t предшествует q, то отсюда следует, что с
содержит в себе t. Эти мгновения определяются следую-
1 Это определение содержит в себе утверждение, согласно кото-
рому вообще интервалы являются открытыми множествами мгнове-
ний, и не содержит утверждения о том, что они все не равны нулю,
щим образом: р= (Л4, BI, С1),где Л\ есть класс дли*
тельностей, которые предшествуют с, а В1 и GI являются
классами, соответствующими В и С; q = (А2, В2, C2)t
где В2 есть класс длительностей, которым предшествует
с, а Л2 и С2 являются классами, соответствующими А
и С. Теперь, если t содержится в с, то отсюда следует;
что с является членом С и, следовательно, не является
членом В. Однако с является членом оь и поэтому В
должно включать в себя Bt, откуда следует, что р дол-
жно предшествовать t. Точно так же мы можем дока1*
зать, что t должно предшествовать д.
Наоборот, если р предшествует t, a t предшествует
<7, тогда А2 включает в себя А, А включает в себя А ц
BI включает В, a В включает В2. Для того чтобы дока'
зать, что с содержит в себе t, мы должны показать, что
с есть член С. Этот вывод следует в том случае, если
мы сможем доказать, что с не принадлежит ни к Л, ни
к В. Теперь, если бы с было членом А, тогда с предше-
ствовало бы любой длительности х, входящей в В. Сле≪
довательно, х был бы членом В2, и поэтому Bz включало
бы В, что противоречит нашему предварительному уело≪
вию, что В включает В2. Поэтому с не может принадле-
жать к А. Точно так же мы можем доказать, что с не
может принадлежать к В. Следовательно, с должно при≪
надлежать к С и, таким образом, с содержит t.
Хотя этот метод и позволяет нам получить упорядо-
ченное множество мгновений из частично упорядоченного
множества длительностей таким образом, что исходные
длительности соответствуют интервалам множества
мгновений, все же это еще не может дать нам времен"
нбй континуум, постулируемый физиками. В самом деле,
анализ показывает, что выполняются только условия (1)
и (3), приведенные выше, и он совместим с гипотезой
о существовании хронона, то есть с гипотезой, гласящей,
что каждая конечная длительность содержит конечное
целое число мгновений. Этот метод показывает, однако,
что, если предполагается, что длительности подчиняются
постулату Уокера, тогда можно считать, что они со-
стоят из мгновений, которые образуют одномерную по-
следовательность, удовлетворяющую постулату Деде-
кинда.
Поэтому, для того чтобы построить временной конти≪
нуум, нужно на упорядоченное множество мгновений Т,
полученных из ощущаемых на опыте длительностей, на-
ложить дополнительные условия. Мы покажем', что
если множество обладает отмеченным выше свойством
(2), то есть везде, плотно, то оно также обладает и свой-
ством (4) и, следовательно, изоморфно с континуумом
вещественных чисел, что обеспечивается наложением
еще одного условия относительно плотности множества
часов.
Пусть t0 будет любое данное мгновение множества Т,
которое предшествует какому-то другому мгновению tt.
Тогда, согласно условию (2), мы можем выбрать..мгно-
вение tz, которое предшествует t.i и которому предше-
ствует мгновение t0. Мы обозначим это следующей форму-
лой: to < t2 < t\. Точно так же мы можем выбрать мгно-
вение t3 так, что tu<t3<t2vi вообще любое мгновение tn,
которое является таким, что tQ < tn < tn-\ для всех по-
ложительных чисел п. Ссылаясь на наши прежние вы-
воды о замкнутости множества мгновений или, напро-
тив, опираясь на условие (3), мы можем показать, что
любая конечная последовательность этого типа должна
стремиться к единственному пределу t в множестве Т,
в том смысле, что любое мгновение, предшествующее t,
также предшествует каждому т„ а любое мгновение, ко-
торому предшествует т, также имеет предшественника в
виде какого-то tn. Поэтому мы можем подразделить Т
на два непустых множества Т\ и Г2 согласно следующе-
му критерию: любое мгновение t множества Т является
элементом Tit если оно предшествует каждому t„ и оно
является элементом Т2, если имеется какое-нибудь мгно-
вение tn, которое предшествует ему. 'Ясно, что каждое
мгновение принадлежит либо к TI, либо к Tz и что ни
одно из этих множеств не является пустым, ибо t0 яв-
ляется элементом Т^ a ti элементом Tz- Более того, по-
скольку множество Т упорядочено, то отсюда непосред-
ственно следует, что каждое мгновение множества TI
предшествует каждому мгновению множества Т2. Поэто-
му, согласно постулату Дедекинда, существует по край-
ней мере одно мгновение t, такое, что любое мгновение
более раннее, чем t, относится к 7\ и любое мгновение,
более позднее, чем т, относится к Т2. Однако, поскольку
множество Т везде плотно, то отсюда следует, что t
должно быть единственным, поскольку если бы имелись
два различных мгновения этого типа, то тогда существо-
вало бы промежуточное мгновение, которое принадле-
жало бы как к Т\, так и к TZ, а это невозможно.
Теперь мы введем понятие монотонно упорядоченного
плотного множества ≪часов≫. Во-первых, под ≪часами≫
мы понимаем гипотетический ≪механизм≫, который, бу-
дучи ≪заведен≫ в любое данное мгновение х, пробьет в
одно более позднее мгновение!/. Функциональное отноше-
ние этих двух мгновений мы обозначим у = 6(*). Мы по-
ставим также следующее условие: если xi < хг, то tji <
<Уа, и t/2 являются {/-мгновениями, соответствующими
лг-мгновениям, xt и х% соответственно. Начиная с любого
мгновения t, временная цепь мгновений может быть по-
строена так, что если часы ≪заведены≫ в момент t, то они
≪пробьют≫ в момент 6(/), если они ≪заведены≫ в мгнове-
ние 8(/),то ≪пробьют≫ в мгновение S{6(0}, и вообще если
он≫ ≪заведены≫ в Q p ( t ) , то они ≪пробьют≫ в №+ t ( t ) , где
бР+1(/) = 6{6p(/)} Для всех положительных целых чисел р.
Эту цепь можно экстраполировать в обратном направле-
нии: если часы ≪бьют≫ в мгновение t, то они были ≪заведе-
ны≫ в мгновение б'1 (t) ; и вообще если они ≪бьют≫ в 8~' (t),
го это означает, что они были ≪заведены≫ в 8~4~l(t) =
= 6~'{8~9(0) для всех положительных целых чисел q.
С помощью такого определения ≪часов≫ мы постулируем,
что цепь мгновений ≪боя≫, построенная при помощи за-
данных часов, начиная с любого данного мгновения t, по-
крывает ! все мгновения множества Г, в том смысле, что
любое другое мгновение t*, принадлежащее к множеству
Т, будет либо мгновением этой цепи или же является та-
ким, что может быть найдено любое целое число p (по-
ложительное, отрицательное или нуль), так что
1 (/)</*< о" 0).
1 Этот постулат может рассматриваться как аналогия аксиомы
Архимеда в геометрии (см. также Евклид, кн. V, опред. 4,
а именно: ≪Говорят, что величины имеют отношение между собой,
если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга≫). Однако
в отличие от аксиомы Архимеда он не содержит никаких ссылок
на измерение и конгруэнтность, а только утверждает, что рассма-
триваемые часы идут все время.
Мы говорим, что множество часов монотонно упорядо-
чено, если порядок ≪боя≫ любой пары часов, ≪заведен-
ных≫ в одно и то же мгновение х, не зависит от х, то есть
если он всегда одинаков. Мы предположим, что имеется
плотное множество таких часов, так что для двух лю-
бых данных мгновений а и р , где а < ß, существует такой
член этого множества, что, когда часы ≪заведены≫ в
мгновение а, он отмечает мгновение, которое предшест-
вует ß. Все вместе эти определения и постулаты опреде-
ляют монотонно упорядоченное непрерывное множество
часов, каждое из которых покрывает множество. Т. По
идее, не требуется никаких предположений относительно
применяемого ≪механизма≫, кроме гипотезы, гласящей,
что существуют правила для выделения подмножеств
мгновений, составляющих временные цепи с описанны-
ми выше свойствами.
Теперь покажем, что в множестве Т содержится ли-
нейная система F, которая представляет собой счетное
подмножество мгновений —такое, что между любыми
двумя мгновениями а и р множества Т существует по
крайней мере одно мгновение, которое принадлежит к F.
Мы начнем с выбора определенной последовательности
мгновений А, 4, ..-, tr..., в которой tr+i предшествует tr,
для /•1,2, ..., сходящегося к некоторому мгновению т.
Мы также выберем из множества часов, введенного вы-
ше, подмножество, связанное с функцией вг, так что
мгновение ≪боя≫ часов бг, которое ≪заведено≫ в мгнове*
вне т, есть 8r(t), где
и часы бг+1 ≪бьют≫ раньше часов 6Г, несмотря на то, что
они были ≪заведены≫ в одно и то же мгновение. Мы так-
же выберем другие часы, связанные с функцией 6, так
что если они ≪заведены≫ в мгновение а, то они ≪про-
бьют≫ в 9 (а), где
Поскольку последовательность мгновений tr сходится
к т, мы можем найти некоторый член этой последова-
тельности, скажем tn, который предшествует б(т). Таким
образом, поскольку 8П (т) < tn, то отсюда следует, что
On (t) <6(i:) и поэтому.6п(0 <б(0 для любого мгновения
/. Отсюда следует, что 6„а) <б(а), a поскольку 8(a)<ß,
то мы можем вывести, что еп(а) <ß. Так как часы охва-
тывают все моменты Т, то отсюда следует, что должна
существовать целое p (положительное, отрицательное
или нуль) такое, что
где -^ обозначает предшествование или тождество.
Поскольку
то мы делаем вывод, что
Подмножество мгновений 8≪ (t) является счетным, по-
скольку p и n оба являются целыми числами, a t фикси-
ровано. Мы, следовательно, построили такую линейную
систему моментов F, что между любыми двумя мгнове-
ниями множества Т существует по крайней мере один
член множества F, и F является счетным подмножеством
множества Т.
Абстрактный одномерный континуум мгновений мате-
матической физики, изоморфный математическому кон-
тинууму вещественных чисел и, следовательно, геоме-
трическому континууму точек на линии, рассматривается,
таким образом, как логическая конструкция, выведенная
на основе наблюдений над частично перекрывающимися
длительностями. Для построения этого континуума были
сделаны следующие предположения:
(1) если длительность a предшествует b, a b пере-
крывается с с, а с предшествует d, то a предшествует d;
(2) множество мгновений Т, полученное путем под-
бора соответствующего класса длительностей, как это
объяснялось ранее, везде плотно;
(3) подмножества мгновений могут быть выбраны та-
ким образом, что строится монотонно упорядоченное
плотное множество ≪часов≫, покрывающих множество Т.
При построении этого линейного континуума матема-
тического времени мы пользовались только определени-
ями и постулатами, касающимися понятия порядка, и
нам не было никакой необходимости обращаться к ка-
ким-либо метрическим понятиям. Хотя было введено по-
нятие ≪временная цепь≫, с ним не было связано никакого
метрического Понятия периодичности. Следовательно,
связь конкретных мгновений с определенными вещест-
венными числами оставалась произвольной.
Подводя итог,- можно сказать, что в нашу задачу
входило не установление ≪реальности≫ мгновений, а толь-
ко анализ принципов, лежащих в основе их теоретиче-
ского построения на основе эмпирических данных созна-
ния и, следовательно, ответ на вопрос, почему для
математического времени мы получаем тот же самый
арифметический континуум, что и для системы точек,
составляющих геометрическую линию. В этом смысле
мы стремились ≪подтвердить≫ галилеевскую геометриза-
цию времени, хотя континуум не обладающих длитель-
ностью мгновений, полученный таким образом, по суще-
ству, представляет собой логическую абстракцию.