7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВРЕМЯ КАК ТИП ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ПОРЯДКА

Поскольку математическое мгновение нулевой дли-

тельности в точности аналогично геометрической точке,

оно не может рассматриваться как теоретический корре-

лят ≪теперь≫ нашего чувственного сознания, которое, как

мы уже видели, явно обладает некоторой длительно-

стью. Более того, наше исследование апорий Зенона

привело нас к заключению: для того чтобы движение

было возможно, точечные мгновения должны рассматри-

ваться как логические фикции. Отсюда следует, что мы

можем принять это понятие только как математический

инструмент, который используется просто для облегче-

ния расчета '.

В этой процедуре нет ничего необычного. В самом

деле, математическая физика изобилует примерами, где

логически фиктивный характер используемых средств

является гораздо более очевидным. Величины, которые

По своей собственной природе должны быть дискретны-

ми, продолжают обозначать с помощью дифференциа-

лов, несмотря на тот факт, что дифференцируемость

предполагает непрерывность. Например, в статистиче-

ской механике символ dN обозначает число частиц и по-

этому, строго говоря, должен быть целым. Кроме того,

в задачах по электричеству dq означает элемент заряда,

несмотря на наше знание, что природа электричества

дискретна. Какими бы спорными ни показались эти явно

внутренне противоречивые процессы для человека, стре-

мящегося к логической строгости, они никогда не вол-

нуют физика, который, если бы его спросили об этом,

ответил бы, что они обоснованы в силу малости dN по

сравнению с общим числом рассматриваемых частиц, а

dq —по сравнению со всем рассматриваемым зарядом.

Конечно, имеются необходимые условия практической

применимости данных инструментов, но их обоснова-

ние—дело математики. Подобным же образом в случае

,времени (а также и пространства) физики придержи-

1 ≪Нет природы без перехода, и нет перехода без временной

длительности. Поэтому момент времени, понимаемый как первичный

простой факт, является бессмыслицей≫ (А. N. W h i t e h e a d , Modes

of Thought, Cambridge, 1938, p. 207).

баются гипотезы непрерывности, поскольку дифферен-

циальные уравнения являются более удобными, нежели

уравнения в конечных разностях (по крайней мере с

аналитической точки зрения; все возрастающее исполь-

зование вычислительной техники и машин, которые ос-

нованы на дискретных числовых процессах, приведет,

возможно, к некоторым изменениям этой точки зрения).

Таким образом, основной причиной, почему физики при-

держиваются этой гипотезы, является ее математиче-

ское удобство.

Однако примерно за последние пятьдесят лет неко-

торые выдающиеся философы и чистые математики вы-

ражали неудовлетворенность существующим положением

дел. Как Дедекинд и другие во второй половине про-

шлого столетия чувствовали неудовлетворение из-за от-

сутствия какого-либо логического определения иррацио-

нальных чисел, например У"2, хотя математики уже

давно успешно оперировали ими без каких-либо

определений, так и Уайтхед, Рассел и другие пришли к

выводу, что безразмерные точки и мгновения должны

быть ≪построены≫, а не просто постулированы. Дедекинд

определил иррациональные числа с помощью рациональ-

ных, которые в свою очередь состоят из положительных

целых чисел. Уайтхед, а также его коллеги и последо-

ватели пытались определить безразмерные мгновения

математического времени с помощью воспринимаемых

событий конечной длительности и воспринимаемых вре-

менных отношений между ними. Метод экстенсивной

абстракции Уайтхеда, как он сам называл его, первона-

чально предназначался для определения точек с по-

мощью воспринимаемых объектов. Применение этого

метода к определению моментальных мгновений впер-

вые было исследовано Норбертом Винером в одной из

его ранних статей, опубликованной в 1914 году1.

Метод Уайтхеда связан с тонким приемом, который

после многочисленных и весьма плодотворных приме≪

нений в различных областях нужно рассматривать как

одно из наиболее мощных методологических нововведе-

ний нашего времени. Первым примером применения его

в чистой математике было отождествление предела бес-

конечной последовательности с самой последовательно-

стью. Таким образом, иррациональное число У 2, напри-

мер, было отождествлено со множеством всех рацио-

нальных чисел, квадраты которых не превосходят 2.

Оказалось, что это определение удовлетворяет всем

формальным требованиям, предъявляемым к\^2, и, та-

ким образом, несмотря на свою первоначальную непри-

вычность, оно получило всеобщее признание. Затем Фре-

ге в Германии (в 1883 году) и Рассел в Англии (в

1901 году) пришли к определению кардинального чи-

сла, в котором содержится все та же основная идея, на-

пример число 2 определялось как класс, или множество'

всех пар, и т. д. Подобным образом Уайтхед определял

точку по аналогии с китайскими коробочками, как мно-

жество всех объемов, окружающих точку1. Сделать эту

идею полностью удовлетворительной и логически стро-

гой было отнюдь не легко, однако лежащий в ее основе

всеобщий принцип -не является более трудным для по-

нимания, чем в предыдущих случаях. Следует упомянуть

одно частное требование этого метода. Нужно доказать,

что он не содержит в себе логического круга и что,

определяя таким образом точку, мы не используем мол≪

чаливо представление в точке, на которую опираются

при построении данного множества объемов, а именно

всех тех объемов, которые действительно окружают точ-

ку. К счастью, можно показать, что множество объемов,

сходящихся к точке, может быть определено с помощью

некоторых отношений, имеющих место между членами

множества, без каких-либо ссылок на понятие точки.

Тем не менее с помощью этого метода нельзя построить

непрерывное пространство точек только на основании

чувственных данных, поскольку необходимо предполо-

жить, что для размеров рассматриваемых объемов ниж-

него предела не существует, тогда как чувственные дан-

ные не могут быть сколь угодно малы.

На первый взгляд мо'жно было ожидать, что опреде-

ление бездлительных мгновений (которые мы отныне бу-

| дем именовать просто ≪мгновениями≫) является более

простой проблемой, чем определение пространственных

точек, поскольку время имеет только одно измерение,

тогда как пространство —три. Тем не менее дело дви-

1 Любое такое множество он называет ≪абстрактивное множе-

ство≫. Отсюда происходит термин ≪экстенсивная абстракция≫.

галось медленно. Конечная цель состояла в том, чтобы

из недлящихся событий вывести континуум мгновений,

который постулируется математической физикой, и таким

образом обосновать эту гипотезу, поскольку не очевидно,

что временной порядок физики должен неизбежно быть

порядком этого типа. Данный континуум является орди-

нально линейным или подобен континууму вещественных

чисел, но известно, что в чистой математике существуют

упорядоченные множества более сложного типа. Следова-

тельно, выведение этого линейного континуума времени из

приемлемой системы аксиом, имеющих отношение к вос-

принимаемым событиям, является не просто каким-то аб-

страктным логическим упражнением учебного характера.

В своих лоуэлловских лекциях 1914 года Рассел ука-

зывает два различных пути подхода к этой проблеме1.

Мгновения могут быть построены из событий (ненулевой

длительности) либо с помощью временного окружения,

подобного уайтхедовскому определению точки через про-

странственное окружение, либо путем рассмотрения вре-

менного перекрытия. Однако для того, чтобы с помощью

первого метода построить непрерывный ряд мгновений,

необходимо использовать события произвольно малой

длительности (точно так же как в случае пространства

должны быть введены сколь угодно малые объемы), хо-

тя нет никаких оснований предполагать, что такие со-

бытия действительно существуют. Поскольку это гораз-

до больше соответствует нашему опыту —см. высказы-

вания Уильяма Джемса, цитированные на стр. 103, о том,

что в каждый момент в нашем мозгу происходят про-

цессы, перекрывающие друг друга, —мы ограничимся

рассмотрением метода перекрытия2.

Наш действительный опыт времени можно проанали-

зировать с помощью двух фундаментальных отношений:

одновременности и временного порядка (или предше-

ствования). В этой связи любое событие обязано быть

либо одновременным, либо более ранним, либо более

поздним по отношению к любому другому событию. Два

события, сосуществующие в течение некоторого времени,

которое, однако, мало по сравнению с соответствующи-

ми им длительностями, называются одновременными, или

перекрывающими друг друга. Следовательно, из двух

событий, которые не перекрываются, одно должно быть

раньше другого или одно должно предшествовать дру-

гому; и это отношение является транзитивным, а именно

если одно событие предшествует другому, а это в свою

очередь предшествует третьему, то первое событие пред-

шествует третьему. Если мы начинаем с рассмотрения

двух одновременных событий, то любое третье событие,

которое одновременно с двумя первыми, должно суще-,

ствовать в течение (но не обязательно только в течение)

того времени, когда они все три перекрываются. Поэто-

му Рассел определяет мгновение как такое множество

событий, любые два события из которого одновременны,

и не существует другого события (то есть события, не

содержащегося в множестве), одновременного со всеми

этими событиями. Предполагается, что мгновения, опре-

деленные таким образом, существуют.

Говорят, что событие происходит ≪в≫ данное мгнове-

ние, когда оно является элементом множества, опреде-

ляющего это мгновение. Временной порядок мгновений

определяется тогда следующим условием: одно из них

раньше другого, если в первом некоторое событие про-

изошло раньше, чем во втором. Если ни одно из мгнове-

ний не является более ранним, то они одновременны

(тождественны).

Определив мгновения с помощью этого метода, мы

сталкиваемся со следующим фундаментальным вопро-

сом: позволяет ли это определение вывести временной

континуум мгновений, постулируемый физиками? Этот

континуум, который мы будем обозначать символом Т,

обладает 'следующими формальными свойствами'.

(1) Т есть упорядоченное множество. Под этим мы

разумеем следующее: если p и g являются любыми дву-

мя мгновениями, то тогда либо p одновременно с q, либо

p предшествует q, либо q предшествует p и все эти три

отношения взаимно исключают друг друга. Более того,

если p предшествует q, a q предшествует другому мгно<

вению г, тогда p предшествует г, а про q говорят, что

оно произошло между риг.

1 Подобные свойства характеризуют линейный континуум ве-

щественных чисел, а в геометрии —континуум точек на непрерывной

Линии,

 (2) Т есть плотное множество. Это означает, что

если p предшествует г, то между р и г существует по

крайней мере одно мгновение q.

(3) Т удовлетворяет постулату Дедекинда, а именно

если T! и Т2 являются двумя непустыми частями Г, так

что каждое мгновение Т принадлежит либо к Tlt либо к

Tz и каждое мгновение TI предшествует каждому мгно-

вению TZ, то имеется по крайней мере одно такое мгно-

вение t, что любое мгновение, более раннее чем t, при-

надлежит к TI, а любое мгновение, более позднее чем

t, принадлежит к Tz.

(4) Т содержит линейную систему F, которая пред-

ставляет собой счетное подмножество, так что между

любыми двумя мгновениями Т имеется по крайней мере

одно мгновение, которое принадлежит к F.

В своей статье 1914 года Винер получил необходи-

мые условия, при которых удовлетворяется требование

(1), а также рассмотрел условия, которым удовлетво-

ряет требование (2). Несколько позже Рассел сформу-

лировал условия, при которых одно событие происходит

по крайней мере ≪в≫ одно мгновение, в частности в на-

чальное мгновение. В более поздней статье', опублико-

ванной в 1936 году, Рассел показал, что, для того чтобы

было выполнено требование (2), достаточно, чтобы: (а)

ни одно событие не длилось только одно мгновение и

(Ь) любые два перекрывающиеся события имели по

крайней мере одно общее мгновение.

В этой последней статье Рассела преимущественно

интересовала проблема существования мгновений. Рас-

сел показал, что это существование можно вывести де-

дуктивным путем, если сделать специальные предполо-

жения относительно событий. Однако, как отмечал он,

не существует ≪никаких оснований, ни логических, ни

эмпирических, для предположения о том, что эти предпо-

сылки являются истинными≫. Так, например, одна из

этих предпосылок состоит в том, что целое множество

событий может быть ≪вполне упорядоченным≫, то есть

каждое подмножество обладает начальным членом. Дру-

гие предпосылки касаются существования определенных

видов вполне упорядоченных рядов событий. ≪Но при от-

сутствии таких возможностей, когда может случиться

так, что все события, существующие в начале какого-

либо события (или в конце его), продолжаются в течение

какого-то периода, когда другие начинаются и прекра-

щаются (или уже существовали в течение этого пери-

ода), я не знаю, как доказать, что такие мгновения где-

то существуют≫,' —говорит Рассел. И он приходит к

выводу, что если начальные предположения были оши-

бочны, то ≪мгновения являются только логическими

идеалами≫, к которым можно бесконечно приближаться,

но которых нельзя достигнуть.

Десятью годами позднее проблема определения мгно-

вений с помощью длительностей была вновь подверг-

нута рассмотрению Уокером2. Уокер сначала зани-

мался логическим анализом континуума фундаменталь-

ных частиц, который составляет основу теоретической

модели мира, но был вынужден перейти к разработке

теории временного порядка, независимой от этого прак-

тического приложения. Уокер показал, как можно, опи-

раясь на идею сечения частично упорядоченного множе-

ства, определить временное мгновение. Свойства таких

множеств ранее были изучены Макнейлом3. С точки

зрения Уокера, понятие предшествования, имеющее

Ёажное значение для установления порядка и связанное

с множеством событий или длительностей, должно рас-

сматриваться как частичное, поскольку для любых двух

членов группы может случиться так, что один предше-

ствует другому, а может быть, и нет. Если ни один из

этих членов не предшествует другому, тогда о каждом

из них говорят, что он перекрывает другой. Уокер пред-

положил, что, если а, Ь, с и а есть четыре любые дли-

тельности, такие, что а предшествует b, b перекрывает с,

а с предшествует d, тогда а предшествует d. Это поло-

жение мы назовем постулатом Уокера. В нем подразу*

мевается, что существует следующее отношение. Если а

предшествует b и b предшествует d, то а предшествует

' d. Тогда мгновение определяется как упорядоченная

ных следующим образом. А есть класс всех длительно-

стей а, и В есть класс всех длительностей Ь, так что ка-

ждое а предшествует каждому Ь. Класс С есть множе-

ство всех длительностей, которые не принадлежат ни к

А, ни к В. Эти три класса определяют мгновение, если

любой член класса С перекрывается некоторым членом

класса А и некоторым членом класса В. Говорят, что

мгновение (А, В, С), определенное таким образом, пред-

шествует мгновению (А1, В', С'), если класс А' включает

класс А, где термин включает означает, что каждый член

класса А принадлежит также и к классу А', ≪о суще-

ствуют такие члены класса А', которые не являются чле-

нами класса А. Если классы Л и Л' являются тожде-

ственными, то из этого следует, что В' совпадает с В,

а С" с С. В этом случае мы говорим, что мгновение (Л',

В', С') одновременно с мгновением (А, В, С).

Можно доказать, что определенное таким образом

множество мгновений упорядоченно, так что: (1) из лю-

бых двух мгновений p и q либо q предшествует р, либо

p предшествует q, либо p и q одновременны; (2) из лю-

бых трех мгновений p, q и г, если p предшествует q, a q

предшествует г, то p предшествует г. Для того чтобы

прийти к такому выводу, мы должны предварительно

доказать теорему, которая гласит: если каждая длитель-

ность а класса А предшествует любой длительности Ь

класса В и если каждая длительность а' класса А' пред-

шествует каждой длительности Ь' класса В', тогда либо

Л и Л' тождественны, либо один включает другой.

Уокер вывел эту предварительную теорему с помо-

щью доказательства абсурдности противоположного ут-

верждения, поскольку если бы эта теорема была невер-

на, тогда отсюда должно было бы следовать, что суще-

ствует какая-то длительность а' (принадлежащая к Л),

которая не является членом А', а также длительность

а' (принадлежащая к А'), которая не является членом

Л. Мы покажем, что если бы это было так, то а необхо-

димо перекрывало бы а'. Такой вывод следует из того

(и это можно легко показать), что ни одно из них не

может предшествовать другому, поскольку если а пред-

шествует а', тогда, так как а' предшествует всякому Ь',

отсюда следует основной постулат, согласно которому а

должно предшествовать всякому Ь', следовательно, а

будет членом А', что находится в противоречии с пред-

положением, гласящим, что а не является членом А'.

Точно так же мы можем доказать, что а' не может пред-

шествовать а. Следовательно, а и а' должны перекры-

ваться. Теперь мы докажем существование такого члена

Ь' в классе В, что она' перекрываются, так как по-

скольку а' не находится в Л, то существует длительность

Ь класса В, которая либо предшествует, либо перекры-

вается с а'. Однако первое невозможно; так как посколь-

ку а предшествует Ь, то из нашего основного постулата

следует, что а должно предшествовать a', a мы только

что видели, что это невозможно. Следовательно Ь дол-

жно перекрываться а'. Точно так же мы можем дока*

зать, что а должно перекрываться с Ь'. Таким образом,

мы нашли, что а предшествует Ь, которое перекрывается

а', в свою очередь предшествующее Ь'. Следовательно,

согласно основному постулату, а должно предшество-

вать Ь'. Но это противоречит нашему начальному вы-

воду, что а должно перекрываться Ь'. Следовательно,

теорема, противоречащая предварительной, является не-

верной, и, таким образом, мы нашли, что или классы

Л и Л' идентичны, или же один из них включает другой.

Сейчас мы можем доказать, что два мгновения p и q

являются либо одновременными, либо одно из них пред-

шествует другому, так как, если p = (Л, В, С), a q =

—(А', В', С'), тогда из предварительной теоремы сле-

дует, что либо А тождественно Л' или же Л' включает

А, либо Л включает А'. Следовательно, p либо одновре-

менно с а, либо p предшествует q, либо q предшествует

р. Наконец, если p предшествует q и q предшествует г,

где г = (А", В", С"), тогда А' включает А, а А" вклю-

чает Л', следовательно, Л" включает Л; поэтому p пред-

шествует г.

Тот же самый метод можно использовать для дока-

зательства, что множество мгновений, построенное та-

ким образом, является замкнутым в том смысле, что

каждая ограниченная монотонная последовательность

из множества имеет предел, который является членом

группы. Так, рассмотрим бесконечную последователь≫

ность мгновений.

Pl> Р2> />3- •••Рп- •••.

где рп = (Ап, Вп, Сп) так, что р, предшествует р2, р2

предшествует р3 и т. д. Предположим, что каждый член

211

этой последовательности предшествует некоторому Mftfd-

вению q = (А*, В*, С*). Тогда пределом последователь-

ности, как это можно показать, будет мгновение p — —(А, В, С), где А есть класс всех длительностей, кото-

рые являются членами по крайней мере одного из

"1> "2> "3' ' ' ' "Я≫ •••в

а В есть класс всех длительностей, которые являются

общими для всех

а С —класс всех длительностей, которые не принадле-

жат ни к А, ни к В. Мгновение p существует, поскольку

существует класс, определяющий его, например В суще-

ствует, поскольку он включает В*. Более того, если р' =

= (А', В', С') , есть любое мгновение, предшествующее р,

тогда А включает в себя А'; и поскольку имеется всегда

конечная величина п, такая, что Ап включает А', то от-

сюда следует, что р' предшествует р„ которое предше-

ствует р. Следовательно, р есть предел ряда в том смы-

сле, что для каждого р', предшествующего р, имеется

член ряда рп, такой, что рп находится в промежутке ме-

жду р' и р. Подобный же результат может быть уста-

новлен для бесконечного ряда, в котором р2 предше-

ствует pi, рз предшествует р2 и т. д.

Можно также показать, что первоначальные дли-

тельности соответствуют интервалам упорядоченного мно*

жества мгновений, построенных из них. Интервал опреде-

ляется как множество мгновений, которым либо пред-

шествует данное мгновение р, либо они предшествуют

данному мгновению q, либо и то и другое1. Говорят, что

длительность с, которая принадлежит к классу С, содер-

жит мгновение t, где t = (А, В, С) . Предположим, что дли-

тельности с предшествует длительность а, а ей самой — длительность Ъ. Тогда мы можем определить мгновения

р и q так, что, если / содержится в с, тогда р предше-

ствует t, a t предшествует q, и обратно, если р предше-

ствует t, a t предшествует q, то отсюда следует, что с

содержит в себе t. Эти мгновения определяются следую-

1 Это определение содержит в себе утверждение, согласно кото-

рому вообще интервалы являются открытыми множествами мгнове-

ний, и не содержит утверждения о том, что они все не равны нулю,

щим образом: р= (Л4, BI, С1),где Л\ есть класс дли*

тельностей, которые предшествуют с, а В1 и GI являются

классами, соответствующими В и С; q = (А2, В2, C2)t

где В2 есть класс длительностей, которым предшествует

с, а Л2 и С2 являются классами, соответствующими А

и С. Теперь, если t содержится в с, то отсюда следует;

что с является членом С и, следовательно, не является

членом В. Однако с является членом оь и поэтому В

должно включать в себя Bt, откуда следует, что р дол-

жно предшествовать t. Точно так же мы можем дока1*

зать, что t должно предшествовать д.

Наоборот, если р предшествует t, a t предшествует

<7, тогда А2 включает в себя А, А включает в себя А ц

BI включает В, a В включает В2. Для того чтобы дока'

зать, что с содержит в себе t, мы должны показать, что

с есть член С. Этот вывод следует в том случае, если

мы сможем доказать, что с не принадлежит ни к Л, ни

к В. Теперь, если бы с было членом А, тогда с предше-

ствовало бы любой длительности х, входящей в В. Сле≪

довательно, х был бы членом В2, и поэтому Bz включало

бы В, что противоречит нашему предварительному уело≪

вию, что В включает В2. Поэтому с не может принадле-

жать к А. Точно так же мы можем доказать, что с не

может принадлежать к В. Следовательно, с должно при≪

надлежать к С и, таким образом, с содержит t.

Хотя этот метод и позволяет нам получить упорядо-

ченное множество мгновений из частично упорядоченного

множества длительностей таким образом, что исходные

длительности соответствуют интервалам множества

мгновений, все же это еще не может дать нам времен"

нбй континуум, постулируемый физиками. В самом деле,

анализ показывает, что выполняются только условия (1)

и (3), приведенные выше, и он совместим с гипотезой

о существовании хронона, то есть с гипотезой, гласящей,

что каждая конечная длительность содержит конечное

целое число мгновений. Этот метод показывает, однако,

что, если предполагается, что длительности подчиняются

постулату Уокера, тогда можно считать, что они со-

стоят из мгновений, которые образуют одномерную по-

следовательность, удовлетворяющую постулату Деде-

кинда.

Поэтому, для того чтобы построить временной конти≪

нуум, нужно на упорядоченное множество мгновений Т,

полученных из ощущаемых на опыте длительностей, на-

ложить дополнительные условия. Мы покажем', что

если множество обладает отмеченным выше свойством

(2), то есть везде, плотно, то оно также обладает и свой-

ством (4) и, следовательно, изоморфно с континуумом

вещественных чисел, что обеспечивается наложением

еще одного условия относительно плотности множества

часов.

Пусть t0 будет любое данное мгновение множества Т,

которое предшествует какому-то другому мгновению tt.

Тогда, согласно условию (2), мы можем выбрать..мгно-

вение tz, которое предшествует t.i и которому предше-

ствует мгновение t0. Мы обозначим это следующей форму-

лой: to < t2 < t\. Точно так же мы можем выбрать мгно-

вение t3 так, что tu<t3<t2vi вообще любое мгновение tn,

которое является таким, что tQ < tn < tn-\ для всех по-

ложительных чисел п. Ссылаясь на наши прежние вы-

воды о замкнутости множества мгновений или, напро-

тив, опираясь на условие (3), мы можем показать, что

любая конечная последовательность этого типа должна

стремиться к единственному пределу t в множестве Т,

в том смысле, что любое мгновение, предшествующее t,

также предшествует каждому т„ а любое мгновение, ко-

торому предшествует т, также имеет предшественника в

виде какого-то tn. Поэтому мы можем подразделить Т

на два непустых множества Т\ и Г2 согласно следующе-

му критерию: любое мгновение t множества Т является

элементом Tit если оно предшествует каждому t„ и оно

является элементом Т2, если имеется какое-нибудь мгно-

вение tn, которое предшествует ему. 'Ясно, что каждое

мгновение принадлежит либо к TI, либо к Tz и что ни

одно из этих множеств не является пустым, ибо t0 яв-

ляется элементом Т^ a ti элементом Tz- Более того, по-

скольку множество Т упорядочено, то отсюда непосред-

ственно следует, что каждое мгновение множества TI

предшествует каждому мгновению множества Т2. Поэто-

му, согласно постулату Дедекинда, существует по край-

ней мере одно мгновение t, такое, что любое мгновение

более раннее, чем t, относится к 7\ и любое мгновение,

более позднее, чем т, относится к Т2. Однако, поскольку

множество Т везде плотно, то отсюда следует, что t

должно быть единственным, поскольку если бы имелись

два различных мгновения этого типа, то тогда существо-

вало бы промежуточное мгновение, которое принадле-

жало бы как к Т\, так и к TZ, а это невозможно.

Теперь мы введем понятие монотонно упорядоченного

плотного множества ≪часов≫. Во-первых, под ≪часами≫

мы понимаем гипотетический ≪механизм≫, который, бу-

дучи ≪заведен≫ в любое данное мгновение х, пробьет в

одно более позднее мгновение!/. Функциональное отноше-

ние этих двух мгновений мы обозначим у = 6(*). Мы по-

ставим также следующее условие: если xi < хг, то tji <

<Уа, и t/2 являются {/-мгновениями, соответствующими

лг-мгновениям, xt и х% соответственно. Начиная с любого

мгновения t, временная цепь мгновений может быть по-

строена так, что если часы ≪заведены≫ в момент t, то они

≪пробьют≫ в момент 6(/), если они ≪заведены≫ в мгнове-

ние 8(/),то ≪пробьют≫ в мгновение S{6(0}, и вообще если

он≫ ≪заведены≫ в Q p ( t ) , то они ≪пробьют≫ в №+ t ( t ) , где

бР+1(/) = 6{6p(/)} Для всех положительных целых чисел р.

Эту цепь можно экстраполировать в обратном направле-

нии: если часы ≪бьют≫ в мгновение t, то они были ≪заведе-

ны≫ в мгновение б'1 (t) ; и вообще если они ≪бьют≫ в 8~' (t),

го это означает, что они были ≪заведены≫ в 8~4~l(t) =

= 6~'{8~9(0) для всех положительных целых чисел q.

С помощью такого определения ≪часов≫ мы постулируем,

что цепь мгновений ≪боя≫, построенная при помощи за-

данных часов, начиная с любого данного мгновения t, по-

крывает ! все мгновения множества Г, в том смысле, что

любое другое мгновение t*, принадлежащее к множеству

Т, будет либо мгновением этой цепи или же является та-

ким, что может быть найдено любое целое число p (по-

ложительное, отрицательное или нуль), так что

1 (/)</*< о" 0).

1 Этот постулат может рассматриваться как аналогия аксиомы

Архимеда в геометрии (см. также Евклид, кн. V, опред. 4,

а именно: ≪Говорят, что величины имеют отношение между собой,

если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга≫). Однако

в отличие от аксиомы Архимеда он не содержит никаких ссылок

на измерение и конгруэнтность, а только утверждает, что рассма-

триваемые часы идут все время.

Мы говорим, что множество часов монотонно упорядо-

чено, если порядок ≪боя≫ любой пары часов, ≪заведен-

ных≫ в одно и то же мгновение х, не зависит от х, то есть

если он всегда одинаков. Мы предположим, что имеется

плотное множество таких часов, так что для двух лю-

бых данных мгновений а и р , где а < ß, существует такой

член этого множества, что, когда часы ≪заведены≫ в

мгновение а, он отмечает мгновение, которое предшест-

вует ß. Все вместе эти определения и постулаты опреде-

ляют монотонно упорядоченное непрерывное множество

часов, каждое из которых покрывает множество. Т. По

идее, не требуется никаких предположений относительно

применяемого ≪механизма≫, кроме гипотезы, гласящей,

что существуют правила для выделения подмножеств

мгновений, составляющих временные цепи с описанны-

ми выше свойствами.

Теперь покажем, что в множестве Т содержится ли-

нейная система F, которая представляет собой счетное

подмножество мгновений —такое, что между любыми

двумя мгновениями а и р множества Т существует по

крайней мере одно мгновение, которое принадлежит к F.

Мы начнем с выбора определенной последовательности

мгновений А, 4, ..-, tr..., в которой tr+i предшествует tr,

для /•1,2, ..., сходящегося к некоторому мгновению т.

Мы также выберем из множества часов, введенного вы-

ше, подмножество, связанное с функцией вг, так что

мгновение ≪боя≫ часов бг, которое ≪заведено≫ в мгнове*

вне т, есть 8r(t), где

и часы бг+1 ≪бьют≫ раньше часов 6Г, несмотря на то, что

они были ≪заведены≫ в одно и то же мгновение. Мы так-

же выберем другие часы, связанные с функцией 6, так

что если они ≪заведены≫ в мгновение а, то они ≪про-

бьют≫ в 9 (а), где

Поскольку последовательность мгновений tr сходится

к т, мы можем найти некоторый член этой последова-

тельности, скажем tn, который предшествует б(т). Таким

образом, поскольку 8П (т) < tn, то отсюда следует, что

On (t) <6(i:) и поэтому.6п(0 <б(0 для любого мгновения

/. Отсюда следует, что 6„а) <б(а), a поскольку 8(a)<ß,

то мы можем вывести, что еп(а) <ß. Так как часы охва-

тывают все моменты Т, то отсюда следует, что должна

существовать целое p (положительное, отрицательное

или нуль) такое, что

где -^ обозначает предшествование или тождество.

Поскольку

то мы делаем вывод, что

Подмножество мгновений 8≪ (t) является счетным, по-

скольку p и n оба являются целыми числами, a t фикси-

ровано. Мы, следовательно, построили такую линейную

систему моментов F, что между любыми двумя мгнове-

ниями множества Т существует по крайней мере один

член множества F, и F является счетным подмножеством

множества Т.

Абстрактный одномерный континуум мгновений мате-

матической физики, изоморфный математическому кон-

тинууму вещественных чисел и, следовательно, геоме-

трическому континууму точек на линии, рассматривается,

таким образом, как логическая конструкция, выведенная

на основе наблюдений над частично перекрывающимися

длительностями. Для построения этого континуума были

сделаны следующие предположения:

(1) если длительность a предшествует b, a b пере-

крывается с с, а с предшествует d, то a предшествует d;

(2) множество мгновений Т, полученное путем под-

бора соответствующего класса длительностей, как это

объяснялось ранее, везде плотно;

(3) подмножества мгновений могут быть выбраны та-

ким образом, что строится монотонно упорядоченное

плотное множество ≪часов≫, покрывающих множество Т.

При построении этого линейного континуума матема-

тического времени мы пользовались только определени-

ями и постулатами, касающимися понятия порядка, и

нам не было никакой необходимости обращаться к ка-

ким-либо метрическим понятиям. Хотя было введено по-

нятие ≪временная цепь≫, с ним не было связано никакого

метрического Понятия периодичности. Следовательно,

связь конкретных мгновений с определенными вещест-

венными числами оставалась произвольной.

Подводя итог,- можно сказать, что в нашу задачу

входило не установление ≪реальности≫ мгновений, а толь-

ко анализ принципов, лежащих в основе их теоретиче-

ского построения на основе эмпирических данных созна-

ния и, следовательно, ответ на вопрос, почему для

математического времени мы получаем тот же самый

арифметический континуум, что и для системы точек,

составляющих геометрическую линию. В этом смысле

мы стремились ≪подтвердить≫ галилеевскую геометриза-

цию времени, хотя континуум не обладающих длитель-

ностью мгновений, полученный таким образом, по суще-

ству, представляет собой логическую абстракцию.